高中数学必修2第二单元知识点整理总结1
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1平面
判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面推论2：两条相交直线确定一个平面推论3：两条平行直线确定一个平面
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.1.2空间中直线与直线的位置关系
判断直线与直线平行：平行于同一条直线的两直线互相平行（平行的传递性）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线垂直：如果两条异面直线所成角是直角，那么这两条线互相垂直。异面直线所成角不大于90度!
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系：在平面内,与平面相交,与平面平行。1.1.4平面与平面之间的位置关系
平面与平面的位置关系有且只有两种：相交于平行
2.2直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1.直线与平面平行的判定
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。
2.2.2平面与平面平行的判定
定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行
2.2.3直线与平面平行的性质
定理1：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此平面平行。（作用：证明线线平行做法：经已知直线做一个平面与已知平面相交）
2.2.4平面与平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。补充：证明线线平行的方法：1.平行的传递性
2.线面平行的性质定理（关键：寻找面面的交线）3.证明为第三个平面与两个平行平面的交线
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。线面角：平面的一条斜线与它的射影所成的角叫做这条直线与这个平面所成的角。线面角不超过90度!补充知识：
1.证明线线垂直的方法：法一：a∥b,c⊥b，→a⊥b
法二：一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面中的任意一条线。2.三垂线定理法：
1.平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的摄影垂直，那么也和这条斜线垂直。2.逆定理：若平面内一条直线，和一条斜线垂直，那么也和斜线的摄影垂直。
2.3.2平面与平面垂直的判定
定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。特征：线面垂直，则面面垂直定义法：两个平面的二面角是直角。
2.3.3直线与平面垂直的性质
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行2.3.4平面与平面垂直的性质
定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
注：本单元求角的方法
异面直线所成角：1平移2.补形3.向量
线面角：1.定义2.等积求高法（装模作样法）3.向量法（关键是求平面的法向量）二面角：1.定义2.三垂线定理法3.向量法4.封闭图形的射影比原图形法。
扩展阅读：高中数学必修2知识点归纳
必修2知识点归纳第一章空间几何体
1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
αABlAl,BllA,B公理1的作用：判断直线是否在平面内
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
C若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面BαA
推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面
简单组合体
若Al，则点A和l确定平面
Aαl推论2：过两条相交直线有且只有一个平面
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
Aαl
m若mnA，则m,n确定平面
推论3：过两条平行直线有且只有一个平面
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
若mn，则m,n确定平面
公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
αmn3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线。
αβPP,Pl且PlL
2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画
出的图形.
公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
3、斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系xOy，使xOy""""""0
=45（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.ab,cbac
公理4作用：证明两直线平行。
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
aaa,bb且1与2方向相同1＝2b1‘
a1不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；ba"
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持
‘一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即S原图＝22S直观
4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；S侧面2rl
方向相反则aa,bb且1与2方向相反12＝180方向相同则∠1+∠2＝180°∠1＝∠2
2b"a"2b"作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。rlrAAlVθlrhlB图中：扇形的半径长为l，圆心角为θ，弧AB的长Lθl(注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角π为弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)426、线线位置关系：平行、相交、异面。ab,（1）没有任何公共点的两条直线平行
abA,a,b异面
aAblS侧＝2πrlB（2）有一个公共点的两条直线相交
（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线AB=2πr
7、线面位置关系：
⑵圆锥侧面积：S侧面rl
aaA(3)(1)a
(2)
（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；a（2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；a
（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；aA
圆锥的侧面展开图是扇形，1扇形面积S扇形弧长半径2O1rhO2Rl8、面面位置关系：平行、相交。
⑶圆台侧面积：S侧面rlRl
⑷体积公式：
9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）
13ROdO1⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
V柱体Sh；V锥体V台体13hS上Sh；
rd=R2-r2S上S下S下
aba//
a//b证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；
⑸球的表面积和体积：
S球4R，V球
243R.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
-1-
③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，
那么这条直线和它们的交线平行；
性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行12、面面垂直：
laab
b④平行线的传递性：ab,cbac
⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；
al⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
aab
b⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
ll（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）
a⑥垂直于同一平面的两直线平行；ab
b⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③）
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
10、面面平行：（即两平面无任何公共点）
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a,babA
a,b
判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两
平面平行
mlllm
证明两直线垂直和主要方法：
①利用勾股定理证明两相交直线垂直；
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；
④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）
αA斜影Oa线P如图：POOA是PA在平面上的射影又直线a,且aOAaPA
abA
aa,bba,b（2）两平面平行的性质：
性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；
a,b
即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。
空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一
条上取一点，过该点作另一条直线平行线，
如图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异面直线a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]aab
b2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的
一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。
性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；
性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；
3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二
面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直
如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，
且OAl,OBl,则AOB为二面角-l-的平面角。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：①明确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角的平面角是哪个？
而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）
A,CACBD
B,DABCD性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
a或a
aa11、线面垂直：
4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）
5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。
如图：O为P在平面上的射影，线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法
等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC中有：VSABCVASBCVBSACVCSAB
lnl
mnAm,n⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
lmaab
b第三章直线与方程
1.直线方程的概念：一条直线l与一个二元一次方程F(x,y)AxByC0有如下两个对应：
①直线l上任意一点的坐标(x,y)都满足方程F(x,y)AxByC0；②以方程F(x,y)AxByC0的解为坐标的点(x,y)都在直线l上。则称方程F(x,y)AxByC0为直线l的方程，直线l为方程的直线。
8、交点与距离公式
（1）两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点坐标需将两直线方程组成
方程组求解，即：
A1xB1yC10①AxByC0222当①有唯一解时，两直线相交；当①无解时，两直线平行；当①有无数个解时，两直线重合。（2）过两直线l:AxByC0,l:AxByC0交点的直线系方程为：
111122222.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。
3.直线倾斜角的范围：0180，当直线与x轴平行或者是重合时，倾斜角为0
4.直线斜率的定义：倾斜角不为90直线，倾斜角的正切值叫直线的斜率。
记作ktan(90)
当倾斜角为90时直线的斜率不存在。
AxByC(AxByC)0
111222将含有一个参数的直线方程化为直线系方程的样式就可解决直线恒过定点问题。
y2y1x2x1(x1x2)
5、直线l过点P(x1,y1),P2(x2,y2)1，则直线的斜率为：k（3）两点间距离公式：
P1P2x2x12y2y12
Ax0By0CAB226、直线方程的表示形式：
⑴点斜式：yy0kxx0，
当斜率不存在时，直线与x轴垂直，倾斜角为90，此时直线方程为：xx0，如右图，特别地y轴所在直线方程为x0。
当直线斜率k0时，直线与x轴平行或者是重合直线方程为：yy0，x轴所在的直线方程为y0。⑵斜截式：ykxb（b为直线在y轴上的截距）
（4）点P0(x0,y0)到直线l:AxByc0距离公式：d（5）两平行线间的距离公式：对于直线
l1:AxByC10,l2:AxByC20，l1与l2间的距离为：d|CC|21
AB22x1x2x2（6）线段中点坐标公式：，A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x,y)是线段AB的中点。
yy1y22第四章圆与方程
当直线过y轴上一定点(0,b)时，通常设直线方程为：ykxb，例如直线l过定点
1、圆的第一定义：到定点的距离等于定长的点的集合.P(0,2)，设l:ykx2。
当直线过x轴上一定点（a,0）时，，通常设直线方程为：xmya，例如直线l过定点(2,0)，设l:xmy2
yy1y2y1xx1x2x1{M(x,y)|MO|r}
圆的第二定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合。
2、圆的标准方程：xa2
3、圆的一般方程：x2yb2r2，圆心为(a,b)，半径为r。
⑶两点式：
⑷截距式：
xayb1(a0,b0)，
yDxEyF0(DE4F0)。
222一般地，问题中出现两个截距时，通常设直线方程为方程中a,b分别表示直线的横截距和纵截距，一般地，在直线方程中，令
2xayb1(a0,b0)。圆心为(22D,2E)2，半径r212DE4F。
22y02可求得横截距a，令x0可求得纵截距b
当DE4F0时，方程xyDxEyF0表示点(222D,2E)2
⑸一般式：AxByC0(AB0)，所有直线方程都可化为一般式。当B0，直线的斜率kAB当DE4F0时，方程xyDxEyF0不表示任何图形。
CA2（1）当P0(x0,y0)满足x0ay0br时点P在圆上；
2222，当B0时，直线斜率不存在，方程可化为x
4、点P(x00,y)0与圆xa2yb2r2的位置关系的判定：
7、两直线的位置关系的判定：
当两直线倾斜角相等时，即时，两直线平行；当两直线倾斜角满足||90时，两直线垂直；当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。
对于直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：
（2）当P0(x0,y0)满足x0ay0br2时点P在圆内；（3）当P0(x0,y0)满足x0ay0br2时点P在圆外；
2222k1k2⑴l1//l2；⑵l和l相交k1k2；
b1b2125、求圆方程的方法，主要有两种：
（1）待定系数法：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：①根据提设，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
⑶l1和l2重合k1b1k2b2；⑷l1l2k1k21.
③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。（2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；
①三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；②垂径定理：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；
③弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求
对于直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20有：
A1B2A2B1⑴l1//l2；（2）l和l相交BCBC122112A1B2A2B1；
得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写出圆的标准方程。
6、直线与圆的位置关系的判定：
几何法（1）相切：圆心到直线的距离d＝r；
（2）相交：圆心到直线的距离dr；（3）相离：圆心到直线的距离dr。
-3-
A1B2A2B1ll⑶和重合；⑷lB1C2B2C1121l2A1A2B1B20.
l:Ax+By+C=0drC(a,b)d=|Ax0+By0+C|l:Ax+By+C=0drC(a,b)l:Ax+By+C=0d直线方程过两圆的交点，因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程。
A2+B222圆C:（x-a)+(y-b)=r2相切：d=rA2+B222圆C:（x-a)+(y-b)=r2d=|Ax0+By0+C|r|Ax0+By0+C|C(a,b)d=A2+B2圆C:（x-a)2+(y-b)2=r2相离：d>r①
相切：dr1+r2外切:有一个公共点，圆心距｜C1C2｜＝r1+r2相交:有两个公共点，圆心距|r1-r2|
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