高二数学上知识点总结
高二数学上知识点学生掌握情况总结求解并证明不等式教师评价求点的运动轨迹求解双曲线的焦点、渐近线求解抛物线的焦点、焦距、渐近线判定直线和圆、圆和圆之间的位置关系求解最大值、最小值在生活中的应用
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不等式单元知识总结
一、不等式的性质
1．两个实数a与b之间的大小关系
(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b=0a=b；(3)a－b＜0a＜b．
(4)ab＞1a＞b；若a、bR，则(5)ab=1a=b；(6)ab＜1a＜b．
2．不等式的性质
(1)a＞bb＜a(对称性)
(2)a＞bb＞ca＞c(传递性)
(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法单调性)
a＞bc＞0ac＞bc
(4)(乘法单调性)
a＞bc＜0ac＜bc
(5)a＋b＞ca＞c－b(移项法则)
(6)a＞bc＞da＋c＞b＋d(同向不等式可加)
(7)a＞bc＜da－c＞b－d(异向不等式可减)(8)a＞b＞0c＞d＞0ac＞bd(同向正数不等式可乘)《中学数学信息网》系列资料版权所有@《中学数学信息网》
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(9)a＞b＞00＜c＜dac＞bd(异向正数不等式可除)
(10)a＞b＞0nNan＞bn(正数不等式可乘方)(11)a＞b＞0nNna＞nb(正数不等式可开方)
(12)a＞b＞01a＜1b(正数不等式两边取倒数)
3．绝对值不等式的性质
(1)|a|≥a；|a|=a(a≥0)，－a(a＜0)．
(2)如果a＞0，那么
|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．
(3)|ab|＝|a||b|．
(4)|ab|＝|a||b|(b≠0)．
(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a1＋a2＋＋an|≤|a1|＋|a2|＋＋|an|．
二、不等式的证明1．不等式证明的依据
(1)实数的性质：a、b同号ab＞0；a、b异号ab＜0a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)
③ab2≥ab(a、bR，当且仅当a=b时取“=”号)
2．不等式的证明方法
(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等式的方
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法叫做比较法．
用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号．
(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．
(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．
三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
(1)f(x)g(x)＞0与f(x)＞0g(x)＞0或f(x)＜0g(x)＜0同解．(2)f(x)g(x)＜0与f(x)＞0f(x)＜0g(x)＜0或同解．g(x)＞0
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(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0与或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0
f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0与或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．
f(x)＞[g(x)]2(7)f(x)＞g(x)与f(x)≥0或f(x)≥0g(x)≥0g(x)＜0同解．
(8)f(x)＜g(x)与f(x)＜[g(x)]2同解．f(x)≥0
(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．
(10)当a＞1时，logf(x)＞g(x)af(x)＞logag(x)与f(x)＞0同解．
f(x)＜g(x)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)与f(x)＞0同解．g(x)＞0
单元知识总结
一、坐标法1．点和坐标
建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式
设两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离
|P1P2|=(x22x1)(y2y1)2
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特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示：(1)当x1=x2时(两点在y轴上或两点连线平行于y轴)，则|P1P2|=|y2－y1|
(2)当y1=y2时(两点在x轴上或两点连线平行于x轴)，则|P1P2|=|x2－x1|
3．线段的定比分点
(1)定义：设P点把有向线段P1P2分成P1P和PP2两部分，那么有向线段P1P和PP2的数量的比，就是P点分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1PPP，点P叫做分线段P1P2为定比λ的定比分点．2
当P点内分P1P2时，λ＞0；当P点外分P1P2时，λ＜0．
(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)连线所成的比为λ的分点坐标是
xx1λx21λ(λ≠1yy1λy)21λ
特殊情况，当P是P1P2的中点时，λ=1，得线段P1P2的中点坐标
公式
x1x2x2yy1y22
二、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)当直线和x轴相交时，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．
当直线和x轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．
(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜
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率，直线的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠π2)．
∴当k≥0时，α=arctank．(锐角)当k＜0时，α=π－arctank．(钝角)
(3)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为
k=y2y1x(x1≠x2)2x1
2．直线的方程
(1)点斜式已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则其方程为：y－y0=k(x－x0)(2)斜截式已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则其方程为：y=kx＋b(3)两点式已知直线过两点(x1，y1)和(x2，y2)，则其方程为：
yy1y=xx1x(x1≠x2)2y1x21
(4)截距式已知直线在x，y轴上截距分别为a、b，则其方程为：
xayb1
(5)参数式已知直线过点P(x0，y0)，它的一个方向向量是(a，b)，
则其参数式方程为xx0atyy(t为参数)，特别地，当方向向量为0bt
v(cosα，sinα)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为
xx0tcosαyy0tsinα(t为参数)
这时，t的几何意义是tv=p→→0p，|t|=|p0p|=|p0p|
(6)一般式Ax＋By＋C=0(A、B不同时为0)．(7)特殊的直线方程
①垂直于x轴且截距为a的直线方程是x=a，y轴的方程是x=0．②垂直于y轴且截距为b的直线方程是y=b，x轴的方程是y=0．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当直线l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1≠b2．
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当l1和l2是一般式方程时，A1B1CA≠12B2C2
(2)重合：当l1和l2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2，当l1和l2是
一般方程时，A1AB1C12B2C2
(3)相交：当l1，l2是斜截式方程时，k1≠k2
当lA2B11，l2是一般式方程时，A≠2B2
交点：A1xB1yC10①A的解2xB2yC20斜到角：l到lkk112的角tanθ2(1k1交1kk2≠0)1k2夹角公式：l和l夹角tanθ|k2k1|(1k121k1k2≠0)1k2
②垂直当l1和l2有叙截式方程时，k1k2=－1当l1和l2是一般式方程时，A1A2＋B1B2=0
4．点P(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C=0的位置关系：
Ax0＋By0＋C=0P在直线l上(点的坐标满足直线方程)Ax0＋By0＋C≠0P在直线l外．
点P(x+By0+C|0，y0)到直线l的距离为：d=|Ax0A2B2
5．两条平行直线l1∶Ax＋By＋C1=0，l2∶Ax＋By＋C2=0间
的距离为：d=|C1C2|A2B2．
6．直线系方程
具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定的系数(也称参变量)．
确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．
(1)共点直线系方程：
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经过两直线l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系数．
在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．当λ=0时，即得A1x＋B1y＋C1=0，此时表示l1．
(2)平行直线系方程：直线y=kx＋b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是：Bx－Ay＋λ=0．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．
二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，
例如，z=ax＋by，其中x，y满足下列条件：
A1x＋B1y＋C1≥0(或≤0)A2x＋B2y＋C2≥0(或≤0)(*)Anx＋Bnx＋Cn≥0(或≤0)
求z的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x、y的线性约束条件，z=ax＋by叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程1．定义
在选定的直角坐标系下，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解
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建立了如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点(一点不漏)．
这时称方程f(x，y)=0为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若设点M的坐标为(x0，y0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：
(1)M∈P(x0，y0)∈Q，即PQ；(2)(x0，y0)∈QM∈P，即QP．
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：
(1)(x0，y0)QMP；(2)MP(x0，y0)Q．
显然，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才能称方程f(x，y)=0
为曲线C的方程；曲线C为方程f(x，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题
(1)由曲线(图形)求方程的步骤：
①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②立式：写出适合条件p的点M的集合p={M|p(M)}；③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)=0；④化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；
⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．
(2)由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)；②求截距：
方程组f(x，y)0y0的解是曲线与x轴交点的坐标；
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方程组f(x，y)0x0的解是曲线与y轴交点的坐标；
③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．
3．交点
求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
4．曲线系方程
过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
2．圆的方程
(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)为圆心，r为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x2＋y2=r2(2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0
D2配方(x2)2(yE2DE24F2)4
当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－DE2，－2)为圆心，以12D2E24F为半径的圆；
当D2＋E2－4F=0时，方程表示点(－D2，－E2)
当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，无轨迹．
(3)参数方程以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
xarcosθybrsinθ(θ为参数)
特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
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xrcosθyrsinθ(θ为参数)
3．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
(1)点在圆外d＞r；(2)点在圆上d=r；(3)点在圆内d＜r．
4．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C=0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，则
d|AaBbC|A2B2．
(1)相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞0或d＜r；(2)相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△=0或d=r；(3)相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜0或d＞r．
5．求圆的切线方法
(1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
①若已知切点(x0，y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是
xD(xx0)E(yy00xy0y2)2F0．
当(xy＋D(x0xy0y0，0)在圆外时，x0x＋y0y2)＋E(2)＋F=0表示过两个切点的切点弦方程．
②若已知切线过圆外一点(x0，y0)，则设切线方程为y－y0=k(x－x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③若已知切线斜率为k，则设切线方程为y=kx＋b，再利用相切条件求b，这时必有两条切线．
(2)已知圆x2＋y2=r2．
①若已知切点P0(x0，y0)在圆上，则该圆过P0点的切线方程为x0x＋y0y=r2．
②已知圆的切线的斜率为k，圆的切线方程为y=kx±rk21．
6．圆与圆的位置关系
已知两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，则
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(1)两圆外切|O1O2|=r1＋r2；(2)两圆内切|O1O2|=|r1－r2|；(3)两圆相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．
单元知识总结
一、圆锥曲线1．椭圆
(1)定义
定义1：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
定义2：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常
数e＝ca(0＜e＜1)时，这个点的轨迹是椭圆．
(2)图形和标准方程
图8－1的标准方程为：x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0)8－2的标准方程为：x2y2图b2＋a2＝1(a＞b＞0)
(3)几何性质
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条件{M|MF1|+|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}|MF|MF{M|1|2|点M到l=1的距离点M到l1}2的距离=e，0＜e＜标准方程x2y2x2y2a2b21(a＞b＞0)b2a21(a＞b＞0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b，0)，B2(b，0)轴对称轴：x轴，y轴．长轴长|A1A2|=2a，短轴长|B1B2|=2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|=2c(c＞0)，c2=a2－b2
离心率e＝ca(0＜e＜1)准线方程la2a2a21：x＝c；lx＝a22：cl1：y＝c；l2：y＝c焦点半径|MF1|＝a＋ex0，|MF1|＝a＋ey0，|MF2|＝a－ex0|MF2|＝a－ey0＞外点和椭圆x2200的关系a2yb21(x0,y0)在椭圆上＜内(ky＝为切线斜率kx±a2k)2，b2(ky＝为切线斜率kx±b2k)2，a2切线方程x0xy0y0ya2＋b2＝1x0xb2＋ya2＝1(x0，y0)为切点(x0，y0)为切点切点弦(x0，y(xx0)在椭圆外x0，y0)在椭圆外0y0yx0x方 程a2＋b2＝1b2＋y0ya2＝1|x－y12－x1|1+k2或|y12|1+k2弦长公式其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率
2．双曲线
(1)定义
定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．
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定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．
(2)图形和标准方程
图8－3的标准方程为：
x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
图8－4的标准方程为：
y2x2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
(3)几何性质
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P＝{M|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．条件P＝{M||MF1||MF2|点M到l＝l＝e，e＞1}．1的距离点M到2的距离标准方程x2a2－y2b＝1(a＞0，b＞0)y2x22a2－b2＝1(a＞0，b＞0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2＋b2离心率e＝ca(e＞1)a2a2准线方程la2a21：x＝－c；l2：x＝cl1：y＝－c；l2：y＝c渐近线y＝±bx(或x2y2y＝±a程2－方aab2＝0)bx(或y2x2a2－b2＝0)共渐近线x2y2y2的双曲线a2－b2＝k(k≠0)a2－x2b2＝k(k≠0)系方程焦点半径|MF1|＝ex0＋a，|MF1|＝ey0＋a，|MFy＝2kx|＝±ex0a2－k2ab2|MFy＝2kx|＝±ey0b2－k2aa2(kk＞为切线斜率b)b(ka或k＜－ak＞为切线斜率a)ab或k＜－b切线方程x0x0ya2－y0yb2＝1ya2－x0xb2＝1((xxy0＝，a2y的切线方程：0)为切点x0yy0((xx0y)为切点2＝，a2((x00，y0)为切点
切点弦(x0，y0)在双曲线外(x0，y0)在双曲线外方程x0xy0ya2－y0yb2＝1a2－x0xb2＝1|x12－x1|1+k2或|y1－y2|1+k2弦长公式其中(x1，y1)，(x2，y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率
3．抛物线
(1)定义
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平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：
①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．
②p的几何意义：焦点F到准线l的距离．
③弦长公式：设直线为y＝kx＋b抛物线为y2＝2px，|AB|＝1k2
|x2－x1|＝11k2|y2－y1|
焦点弦长公式：|AB|＝p＋x1＋x2
4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程1．定义
缺xy项的二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A、C不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．
A＝C是方程※为圆的方程的必要条件．A与C同号是方程※为椭圆的方程的必要条件．A与C异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A与C中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件．
2．对于缺xy项的二元二次方程：
Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般
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方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．
(xh)2(yk)2(xh)2(yka2＋b2＝1或b2＋)2椭圆：a2＝1
中心O′(h，k)
双曲线：(xh)2(yk)2(yk)2(xh)2a2－b2＝1或a2－b2＝1
中心O′(h，k)
抛物线：对称轴平行于x轴的抛物线方程为(y－k)2＝2p(x－h)或(y－k)2＝－2p(x－h)，顶点O′(h，k)．
对称轴平行于y轴的抛物线方程为：(x－h)2＝2p(y－k)或(x－h)2＝－2p(y－k)顶点O′(h，k)．
以上方程对应的曲线按向量a＝(－h，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．
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