高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
①若axN(a0,且a1),则x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,其中a叫做底数,
N叫做真数.
②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:xlogaNaxN(a0,a1,N0).
(2)几个重要的对数恒等式:loga10,logaa1,logaabb.
N;自然对数:lnN,即loge(3)常用对数与自然对数:常用对数:lgN,即log10…).e2.71828(4)对数的运算性质如果a0,a1,M①加法:logaN(其中
0,N0,那么
MlogaNloga(MN)
M②减法:logaMlogaNlogaN③数乘:nlogaMlogaMn(nR)
④alogaNN
nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式:logaNlogbN(b0,且b1)
logba【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a1yx10a1yx1ylogaxylogax图象O(1,0)O(1,0)xx定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0),即当x1时,y0.非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低,越靠近x轴在第一象限内,a越小图象越靠低,越靠近x轴在第四象限内,a越大图象越靠高,越靠近y轴在第四象限内,a越小图象越靠高,越靠近y轴(6)反函数的概念
设函数果对于
yf(x)的定义域为A,值域为C,从式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如
y在C中的任何一个值,通过式子x(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子
x(y)表示x是y的函数,函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数,记作xf1(y),习惯
上改写成
yf1(x).
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y);
f1(y)改写成yf1(x),并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质
①原函数②函数
yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称.
yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域.
yf(x)的图象上,则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上.
③若P(a,b)在原函数④一般地,函数
yf(x)要有反函数则它必须为单调函数.
一、选择题:1.
log89的值是log23A.
()
23B.1C.
32D.2
2.已知x=2+1,则log4(x3-x-6)等于
A.()C.0
D.32B.
54123.已知lg2=a,lg3=b,则
lg12等于lg15()
A.
2ab
1abB.
a2b
1abC.
2ab
1abD.
a2b
1ab4.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则x的值为
yA.1
B.4
()C.1或4C.(C.ln5
D.4或-1()
5.函数y=log1(2x1)的定义域为
2A.(
1,+∞)B.[1,+∞)2B.5e
1,1]2D.(-∞,1)()D.log5e()
y6.已知f(ex)=x,则f(5)等于
A.e5
7.若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是
yyyABCD
8.设集合A{x|x10},B{x|log2x0|},则AB等于
A.{x|x1}C.{x|x1}
B.{x|x0}D.{x|x1或x1}
2OxOxOxOx()
9.函数ylnx1,x(1,)的反函数为()x1ex1,x(0,)B.yxe1ex1,x(,0)D.yxe1ex1,x(0,)A.yxe1ex1,x(,0)C.yxe1二、填空题:10.计算:log2.56.25+lg
11log23+lne+2=10011.函数y=log4(x-1)2(x<1的反函数为__________.12.函数y=(log1x)2-log1x2+5在2≤x≤4时的值域为______.
44三、解答题:
13.已知y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,求a的取值范围.
14.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
15.已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当x∈R时f(x)≥2x恒成立,求实数a的值,并求此时f(x)的最小值?
一、选择题:ABBCBCDCBAAB13.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8,16.
25y84
13,14.y=1-2x(x∈R),217.解析:因为a是底,所以其必须满足a>0且a不等于1
a>0所以2-ax为减函数,要是Y=loga(2-ax)为减函数,则Y=loga(Z)为增函数,得a>1又知减函数区间为[0,1],a必须满足2-a*0>02-a*1>0即得a
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〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义
①若axN(a0,且a1),则x叫做以a为底N的对数,记作xlogaN,其
中a叫做底数,N叫做真数.
②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:xlogaNaxN(a0,a1,N0).
(2)几个重要的对数恒等式:loga10,logaa1,logbaab.
(3)常用对数与自然对数:常用对数:lgN,即log10N;自然对数:lnN,即logeN(其中e2.71828…).
(4)对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0,那么
①加法:logaMlogaNloga(MN)
②减法:logaMlogaNlogMaN
③数乘:nlogaMlogaMn(nR)
log④
aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)
⑥换底公式:logbNaNloglog(b0,且b1)
ba【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数函数名称对数函数定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a10a1yx1ylogx1axyylogax图象(1,0)OO(1,0)xx定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0),即当x1时,y0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(0x1)a变化对在第一象限内,a越大图象越靠低,越靠近x轴在第四象限内,a越大图象越靠高,越靠近y轴在第一象限内,a越小图象越靠低,越靠近x轴在第四象限内,a越小图象越靠高,越靠近y轴④一般地,函数
yf(x)要有反函数则它必须为单调函数.
图象的影响(6)反函数的概念
设函数
yf(x)的定义域为A,值域为C,从式子yf(x)中解出x,得式子
x(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x(y),x在A中都有唯一
确定的值和它对应,那么式子
x(y)表示x是y的函数,函数x(y)叫做函数
yf(x)的反函数,记作xf1(y),习惯上改写成yf1(x).
(7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式
yf(x)中反解出
xf1(y);
③将xf1(y)改写成yf1(x),并注明反函数的定义域.
(8)反函数的性质
①原函数②函数
yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称.
yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域.
yf(x)的图象上,则P(b,a)在反函数yf(x)的图象
"1③若P(a,b)在原函数上.一、选择题:1.log89log的值是
23A.
23B.1
2.已知x=2+1,则log4(x3
-x-6)等于
A.3B.5243.已知lg2=a,lg3=b,则lg12lg15等于A.
2ab1ab
B.
a2b1ab
D.a2b1ab
4.已知2lg(x-2y)=lgx+lgy,则xy的值为A.1
B.4
5.函数y=log1(2x1)的定义域为
2A.(12,+∞)B.[1,+∞)1)
6.已知f(ex)=x,则f(5)等于
C.
32()C.0
()
C.
()C.1或4C.(
12,1]()
D.2
D.122ab1abD.4或-1)
D.(-∞,
()
A.e5B.5e
C.ln5D.log5e7.若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是()
yyyyABCD
OxOxxOOx
8.设集合A{x|x210},B{x|lo2xg0|}则,AB等于
()A.{x|x1}B.{x|x0}
C.{x|x1}
D.{x|x1或x1}
9.函数ylnx1x1,x(1,)的反函数为()A.yex1ex1,x(0,)B.yex1ex1,x(0,)C.yex1ex1ex1,x(,0)D.yex1,x(,0)二、填空题:
10.计算:log2.56.25+lg
1100+lne+21log23=
(11.函数y=log4(x-1)2(x<1的反函数为__________.12.函数y=(log1x)2-log1x2+5在2≤x≤4时的值域为______.
44三、解答题:
13.已知y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,求a的取值范围.
14.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
15.已知f(x)=x2
+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当x∈R时f(x)≥2x恒成立,求
实数a的值,并求此时f(x)的最小值?
一、选择题:ABBCBCDCBAAB13.132,14.y=1-2x(x∈R),
15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8,16.254y8
17.解析:因为a是底,所以其必须满足a>0且a不等于1
a>0所以2-ax为减函数,要是Y=loga(2-ax)为减函数,则Y=loga(Z)为增函数,得a>1
又知减函数区间为[0,1],a必须满足2-a*0>02-a*1>0即得a
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