高一数学必修3公式总结以及例题
高一数学必修3公式总结以及例题
1算法初步
秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个n
次多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：
anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1
例题：秦九韶算法计算多项式
3x64x55x46x37x28x1,当x0.4时,
需要做几次加法和乘法运算?答案：6，6
即:3x4x5x6x7x8x1
理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，
其意义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明
书是空调使用的算法…(algorithm)
1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2.算法的特征：
①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去
②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可
以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。
③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在
一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度
3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②
控制结构:顺序结构，选择结构，循环结构
流程图：（flowchart）:是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及
程序结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。
注意：1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯
2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。
3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。A算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构ApYNApYNpABNBY
直到型循环当型循
环Ⅰ.顺序结构（sequencestructure）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、
控制转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行
的。
Ⅱ.选择结构（selectionstructure）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要
是注意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不
能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。
Ⅲ.循环结构（cyclestructure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）
和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。
基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudocode），且是使用BASIC
语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用xy，也可以用xy;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”Ⅰ.赋值语句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示将y的值
赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.
一般格式：“变量表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“xy”，
但此时的“=”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注：1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“=”具有计算功能。如：3=a,b+6=a,都是错误的，而a=3*51,a=2a+3
都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a=b=c=2,a,b,
c=2都是错误的，而a=3是正确的.
例题：将x和y的值交换
pxxy,同样的如果交换三个变量x,y,z的值:yppxxyyzzpⅡ.输入语句（inputstatement）:Reada,b表示输入的数一次送给a,b
输出语句（outstatement）：Printx,y表示一次输出运算结果x,y
注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.Read语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋值语句，意旨不能在Print语句中用“=”4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用“；”
隔开.
例题：当x等于5时，Print“x=”;x在屏幕上输出的结果是x=5Ⅲ.条件语句（conditionalstatement）：
1.行If语句:IfAThenB注：没有EndIf2.块If语句：注：①不要忘记结束语句EndIf，当有If语句嵌套使
用时，有几个If，就必须要有几个EndIf②.ElseIf是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：
IfAThenBElseCEndIf例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.
Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen
Printb
Else注：1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。Printc2.也可以类似的求出四个数中最小、大的
数EndIfIfEnd
IfAThenBElseIfCThenDEndIfⅣ.循环语句（cyclestatement）：当事先知道循环次数时用For循环，即使是N次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用While循环Do循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.WhileAForIFrom初值to终值Step步长……EndWhileWhile循环EndForFor循环DoWhilepDo……Loop当型Do循环LoopUntilp直到型Do循环说明：1.While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.2.凡是能用While循环书写的循环都能用For循环书写3.While循环和Do循环可以相互转化4.Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化5.注意临界条
件的判定.
例题：设计计算135...99的一个算法.（见课本P21）
S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSI1WhileI97
II2SSIEndWhilePrintS
S1I1WhileI99SSIII2EndWhilePrintS
S1I1DoSSIS1I1DoII2
II2SSILoopUntilI99LoopUntilI100(或者I99)PrintSPrintSS1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintS
S1I1DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS
陈老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。
2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。
3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！
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阳光家教网高三数学学习资料高一数学必修3公式总结以及例题
1算法初步
秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个
多项式，只要作n次乘法和n次加法即可。表达式如下：
anxan1xnn1n次
...a1anxan1xan2x...xa2xa1
例题：秦九韶算法计算多项式3x64x55x46x37x28x1,当x0.4时,
需要做几次加法和乘法运算?答案：6，6
即:3x4x5x6x7x8x1
理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意
义具有广泛的含义，如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…(algorithm)
1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.
2.算法的特征：
①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去
②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是
一个或多个。没有输出的算法是无意义的。
③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定
时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度
3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结
构:顺序结构，选择结构，循环结构
流程图：（flowchart）:是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序
结构的一种图形程序，它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。
注意：1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯
2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。
算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构AApAYNNppY
BABYN
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第1页4/18/202
阳光家教网高三数学学习资料直到型循环当型循环
Ⅰ.顺序结构（sequencestructure）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制
转移和重复执行的操作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。
Ⅱ.选择结构（selectionstructure）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注
意临界条件的确定。它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行
某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。
Ⅲ.循环结构（cyclestructure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）
和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循
环次数时）用当型循环。
基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudocode），且是使用BASIC
语言
编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用xy，也可以
用xy;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”
Ⅰ.赋值语句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示将y的值赋给x，
其中x是一个变量，y是一个与x同类型的变量或者表达式.
一般格式：“变量表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“xy”，但
此时的“=”不是数学运算中的等号，而应理解为一个赋值号。注：1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“=”具有计算功能。如：3=a,b+6=a,都是错误的，而a=3*51,a=2a+3都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a=b=c=2,a,b,
c=2都是错误的，而a=3是正确的.
例题：将x和y的值交换
pxpxxy,同样的如果交换三个变量x,y,z的值:ypxyyzzp
Ⅱ.输入语句（inputstatement）:Reada,b表示输入的数一次送给a,b
输出语句（outstatement）：Printx,y表示一次输出运算结果x,y注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.Read语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋值语句，意旨不能在Print语句中用“=”4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用“；”隔开.例题：当x等于5时，Print“x=”;x在屏幕上输出的结果是x=5Ⅲ.条件语句（conditionalstatement）：
1.行If语句:IfAThenB注：没有EndIf
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阳光家教网高三数学学习资料2.块If语句：注：①不要忘记结束语句EndIf，当有If语句嵌套使用时，
有几个If，就必须要有几个EndIf②.ElseIf是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：
Reada,b,cIfabThenIfacThenPrintaReada,b,cIfabandacThenPrintaElseIfbcThenPrintbElsePrintcEndIfIfAThenBElseCEndIf例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.
IfAThenBElseIfCThenDEndIf
Else或者Printc
EndIfElseIfbcThenPrintbElse注：1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。Printc2.也可以类似的求出四个数中最小、大的数EndIf
EndIf
Ⅳ.循环语句（cyclestatement）：当事先知道循环次数时用For循环，即使是N次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用While循环Do循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.WhileAForIFrom初值to终值Step步长……EndWhileWhile循环EndForFor循环DoWhilepDo……Loop当型Do循环LoopUntilp直到型Do循环说明：1.While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.2.凡是能
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阳光家教网高三数学学习资料用While循环书写的循环都能用For循环书写3.While循环和Do循环可以相互转化4.Do
循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化5.注意临界条件的判定.
例题：设计计算135...99的一个算法.（见课本P21）
S1S1I1WhileI99S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSI1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSSSIII2EndWhilePrintSS1I1Do
S1I1DoSSIII2LoopUntilI100(或者I99)PrintSS1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintSII2SSILoopUntilI99PrintSS1I1
DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS
颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。
2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。
3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！
Ex:1.对于任意给定的N,一定存在自然数1121314...n,使得111001213...1nN
2.用循环语句写出求的一个算法.
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第4页4/18/205
阳光家教网高三数学学习资料3.设计一个计算1ReadNS0n0WhileSN1213...1100的一个算法,并画出流程图,写出伪代码.
S0a1ForIFrom1to100aI算法:S1S0S2I1答案：1nn12.SSSSEndWhliePrintn1n3.S3如果I100则1SSII1转S3I否则输出S
aa-1EndForPrintS流程图：伪代码：开始S0S0II1S0I1WhileI100ForIFrom1to1001ISSI1SS1I或者SS1IEndForPrintSII1EndWhilePrintSI100YN典型例题：3.与下列为代码对应的输出数学表达式是2.下面的伪代码的目的是10Readm,nReadn1.下面的伪代码输出的结果是：20Ifm/n=Int(m/n)ThenGoto70e0I230cm-Int(m/n)*nS1Fornfrom2To10Step2I2I+1IfI>20ThenII-20EndIfEndfor40mn50ncForIfrom1TonS=S*Iee+1/SEndforPrinte60Goto2070PrintnPrintI4.下面的程序输出的是ReadnI1WhileInIfn/I=Int(n/I)ThenSI5.I0FornFrom1to100IfInt(n/7)=n/7thenII+1EndIfEndForPrintI上面一段为代码的目的是：6．a1b2c3abbccaPrinta,b,cI=I+1Endifa=b=PrintS水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第5页4/18/201*c=Endwhile6
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7.市话话费计算方式为：自接通起。3分钟内（含3分钟）0.2元，超过3分钟的部分每分钟0.1
元（不足1分钟按1分钟计），输入一个证书作为通话时长，用条件语句描述通话话费。
8.某电视机厂201*年全年生产电视机60万台，计划从201*年开始每年的产量比上一年增长15%，设计一个算法，计算从哪一年开始，该厂的电视机产量超过300万台，只写出伪代码.9.（斐波那契数列）假定一对大兔子没一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生育能力，问从一对小兔子开始，一年后能繁殖多少兔子？这就是著名的斐波那契数列问题，其规律是从第三个月开始，每个月的兔子数量都是前两个月的兔子数量的和。用循环语句描述这一算法。
10.一个三位数的十位和个位上的数字交换，得到一个新的三位数，新旧两个三位时都能被4整
除，设计一个算法求满足条件的三位数的个数，并写出伪代码.11.若x,y是两个互质的数，则一定存在整数u,v，使得uxvy1,设x33,y35设计一个算法求出一组满足条件的u,v,并用伪代码表示.
12!13!1n!答案：1.152.求m,n的最大公约数3.e1...4.n的所有约数
5.计算1100能被7整除的数的个数6.a=2b=3c=27.解：8.解：
ReadXIfX3ThenY0.2ElseIfIntX-3X-3ThenY0.2IntX-310.1ElseY0.2IntX-30.1EndIfPrintYS60I201*WhileS300S10.15SII1EndWhilePrintI
9.解：
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第6页4/18/207
阳光家教网高三数学学习资料S1T1ForIFrom1to12PSTSTTPEndForPrintPa1b1S2ForIFrom3to12或者
CabSSCabbCEndForPrintS
10.解：
I0ForNFrom100to999step4XIntN100
YIntN100X/10ZN-100X-10YIfInt100X10ZY/4100X10ZY/4ThenII1EndIfEndForPrintI
11.解：v1WhileInt1-35v/331-35v/33vv1EndWhileu1-35v/33Printu,v
算法案例
这一节要求较低，但要掌握几个重要的算法，对于今后的进一步学习和提高数学的素养都有着重要的意义。（要求掌握的用矩形框框起来）
1．求最大公约数(greatestcommonfactor)辗转相除法----Euclidalgorithm
Reada,bSub求最大公约()WhileMod(a,b)≠0a=InputBox("输入第一个自然数")r=aModbb=InputBox("输入第二个自然数")水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第7页4/18/201*a=bWhileaModb0b=rr=aModbEndWhilea=bExcel宏程序8
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辗转相除法-----VB程序
PrivateSubCommand1_Click()
DimMAsLong,NAsLong,rAsLongM=Val(Text1.Text)"取数据MN=Val(Text2.Text)"取数据N
IfMInt(M)OrM<1OrNInt(N)OrN<1Then"检验数据合法性！Text3.Text="数据错误！"ElseDo
r=MModN
M=N"求出最大公约数N=r
LoopUntilr=0Text3.Text=CStr(M)EndIfEndSub
PrivateSubCommand2_Click()
IfText1.Text""ThenText1.Text="""清除文本框1IfText2.Text""ThenText2.Text="""清除文本框2IfText3.Text""ThenText3.Text="""清除文本框3EndSub
PrivateSubCommand3_Click()EndEndSub
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
PrivateSubCommand1_Click()
a=InputBox("输入第一个自然数")
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第8页4/18/209
阳光家教网高三数学学习资料b=InputBox("输入第二个自然数")WhileaModb0r=aModba=bb=r
Wend
MsgBox("最大公约数为："&b)EndSub
PrivateSubCommand2_Click()EndEndSub
2．孙子定理-----VB程序
PrivateSubCommand1_Click()
m=2
WhilemMod32OrmMod53OrmMod72m=m+1Wend
MsgBox"不定方程的一个解为"&mEndSub
PrivateSubCommand2_Click()EndEndSub
PrivateSubCommand3_Click()m=2
DoWhilem<10000Do
m=m+1
LoopUntilmMod3=2AndmMod5=3
AndmMod7=2PrintmLoopEndSub
孙子问题-----Excel宏程序
Sub孙子问题()
m=2
WhilemMod32OrmMod53OrmMod72
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第9页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料m=m+1Wend
MsgBox"不定方程的一个解为"&mEndSub
m2WhileMod(m,3)≠2或Mod(m,5)≠3或Mod（m，7）≠2说明：孙子问题被称为“孙生剩余定理”，或“中国剩余定理”，出自《孙子算经》，后来我国南宋数学家秦九韶作出比较完整的阐述，并发明“大衍求一术”，是解决一次同余式的关键。1592年明朝程大位的《算法统宗》里有一首“数学诗”暗示了孙子问题的解法:三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七字团圆正半月，除百零五便得知。m=m+1EndWhilePrintm它的运算涉及到数轮的知识，如数轮倒数，同余式等，这在以后的高校中会有更深入地介绍。
其表述有如下几种方式
Mod(m,3)=2Mod(m,5)=3Mod（m，7）=2mMod3=2mMod5=3mMod7=2m≡2（Mod3）m≡3（Mod5）m≡2（Mod7）意义为：3m25m37m2
3.二分法问题不作要求，有兴趣的同学可以自行阅读，它是一种很重的数学思想，
我们以后在高校里会再学习。（见课本P29）
说明：里面出现了跳转语句的表达方法：也就是在各语句的前面标上标号，在需要运行跳转时就可用“GotoX”,其中X表示某行语句的标号。这种表达方式比较自由，在不知用何种语句才能实现想到达的地方时，就可以以Goto…直接跳转，方便易行，但在以后的编程终究要尽量少用这种跳转，因为特别是对于大型的程序设计，Goto语句用多了，就不易于检查，而且它破坏了语言结构的规范性，容易出错。由于我们高一阶段的要求比较低，所以也就不要有这种担心。，
一些常用的函数
1.Int(x)：求小于等于x的最大整数2.Fix(x)：返回x的整数部分
3.Cint(x)：将x的小数部分四舍五入取整4.Exp(x)：求e的x次方
5.Sqr(x)：求x的平方根
6.Sgn(x)：符号函数，即当x>0时，返回1；0；当x0时，返回上一次生成的随机数
8.Int(Rand((上界-下界)+1))+1产生上界下界之间的随机数颜老师说明：不要求大家都记忆，以后在计算机语言的学习中还会再学习
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阳光家教网高三数学学习资料 2统计
基本定义：
（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.
(2)个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体.(3)样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本.(4)样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.
抽样方法：
（1）简单随机抽样（simplerandomsampling）：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.（关于制签和随机数表的制作，请参照课本第41页）
(2)系统抽样(systematicsampling):将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每一部分抽取一个个体作为样本。先用随机的方法将总体进行编号，如果N不能被n整除就从中用随机数表法剔除几个个体，使得能整除，然后分组，一般是样本容量是多少，就分几组，间隔kNn，
然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体，假设编号为l，然后就可以将编号为
实际就是从每一组抽取与第一组相同编号l,lk,l2k...ln1k的个体抽出作为样本，
的个体。
(3)分层抽样（stratifedsampling）：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.
样本容量越大，估计越精确！
颜老师友情提醒：1.把每一种抽样的具体步骤看清楚，要求会写过程2.个体数N的总体中抽取一个样本容量为n的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于
nN.其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的
3.三种抽样都是不放回的抽样4.在具体问题中对于样本，总体，个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力状况，从中抽取20个同学，则个体应该是20名同学的视力，而不是20名同学，样本容量则为20，同样的总体也是全班级同学的视力
两种抽样方法的区别与联系：
类别简单随机抽样分层抽样共同点各自特点从总体中逐个抽取抽取过程中每个个体被抽取的概率相等将总体分成几层进行抽取将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取相互联系适用范围总体中个体数较少各层抽样可采总体有差异明显的几用简单随机抽样部分组成或系统抽样在起始部分抽样时采用简单随总体中的个体较多机抽样系统抽样水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第11页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料★典型例题剖析：例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.
解：设任意一个个体为α，那么个体α被抽到分两种情况：
（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P1=
5616，
（2）第二次被抽到：即是个体α第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生.个体α第一次没被抽到的概率是
,个体α第一次没被抽第二次被抽到的概率是.
5561根据相互独立事件同时发生的概率公式,个体α第二次被抽到的概率是P2=
×15=
16.(也
可这样分析：根据等可能事件的概率求得，一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6×5=30，个体α第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为5×1=5，所以个体α第二次被抽到的概率是P2=
530=
16)
161613个体α在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体α被抽到的概率P=P1+P2=
+=.13由个体α的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于)
点评：注意区分“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于样过程中被抽到的概率”为
nN1N,“任一个个体α在整个抽
.例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本，
求①每个个体被抽到的概率，
②若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，
③若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率.
解：①因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P1=②因为总体个数为120，则体α第15次被抽到的的概率P2=③用分层抽样方法：按比例36×
16201*01120201*0=
1616=
16分别在一级品、二级品、三级品中抽取24×
424=4个，
=6个，60×
16=10，所以一级品中的每个个体被抽到的概率为P3=
=16.
16注：其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为.
nN点评：本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等.且为.
例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，每个考生被抽到的概率为
110，求这个样本容量.
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第12页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料解：设样本容量为n，则
n3000=
110，所以n=300.
nN点评：“在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”为这一结论的逆用.
例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.(1)从无限多个个体中抽取50个个体作样本.
(2)盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
解：(1)不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的.
(2)不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一个零件重复出现.
点评：简单随机抽样的特点：
(1)它要求被抽取样本的总体个数是有限的.(2)它是从总体中逐个地进行抽取.(3)它是一种不放回抽样.例5、某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?
解：可用两种方法：方法一：（抽签法）
（1）编号：将1200名学生进行随机编号为1，2，，1200，（可按学生的学号或按学生的生日进行编号）.
（2）制签：做1200个大小、形状相同的号签，分别写上这1200个数，放在个容器里，并进行均匀搅拌.
（3）逐个抽取：连续抽取60个号签，号签对应的同学即为样本.方法二：（随机数表法）
（1）编号：将1200名学生进行编号分别为0000，0001，，1199，（2）选数：在课本附表1随机数表中任选一个数作为开始.(如从第11行第7列的数9开始)(3)读数：从选定的数开始向右（或向上、向下、向左）读下去，选取介于范围的号码，直到满60个号码为止.
(4)抽取：抽取与读出的号码相对应的学生进行分析.
点评：抽签法和随机数表法是常见的两种简单随机抽样方法，本问题显然用随机数表法更方便一些，因为总体个数较多.另外随机数表法编号时,位数要一样,首数确定后,可向左、向右、向上、向下各个确定的方向进行抽取.
例6、某工厂中共有职工3000人,其中,中、青、老职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？
解：采用分层抽抽样样方法较为合理.由样本容量为400,中、青、老职工的比例为5∶3∶2,所以应抽取中年职工为400×应抽取青年职工为400×
210510=200人,应抽取青年职工为400×
310=120人,
=80人.
例6.见课本P43例1.
点评：因为总体由三类差异较明显的个体构成，所以应采用分层抽抽样样方法进行抽取.
总体分布的估计
.频率分布表：见课本第51页：★例1
1.注意全距，组距的确定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取适当的量作为全距，水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第13页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料正常情况下分为十组左右，组距全距组数，也就是合理分组
2.分组的时候一般取左闭右开区间，最后一个区间取闭区间，然后填写分组、频数、频率、合计
3.如果全距不利于分组（如不能被组数整除）就可适当的增大全距，即在左右两端增加相同的量
4.分组过少，总体的特征不明显；分组过多，总体特征不利于比较
.频率分布直方图：1.横轴表示数据的内容，每一线段表示一个组的组距，注意横轴要有单位
2.纵轴表示的是：
频率组距3.每个小矩形的面积都是该组所对应的频率
.频率分布折线图：1.由频率分布直方图直接得到，取值区间的两端点分别向外延伸半个组
距并取此组距上再x轴上的点，然后顺次连接直方图中每一个小矩形上底边的中点，形成折线图2.当样本容量足够大，分组的组距取得足够小时，折线图取与一条平滑的曲线，称这条曲线为总体分布的密度曲线，而且曲线与横轴围成的面积为13.在总体密度曲线中，总体在区间（a,b）内取值的可能性就是直线x=a,x=b,y=0和总体密度曲线围成的面积4.累计频率分布曲线上任意一点Pa,b的纵坐标标b表示的连续型总体，取小于等于a的值的可能性
.三者的特点
频率分布表：数据翔实、具体、清晰明了，便于查阅频率分布直方图：形象直观，对比效果强烈频率分布折线图：能够反映变化趋势
.茎叶图的特点：优点简单易行，杂乱的数据在用茎叶图表示后能直观地反映出数据的
水平状况、稳定程度；所有的数据都可以在茎叶图中找到.缺点分析只是粗略的，对差异不大的两组数据不易分析，另外，对位数较多的数据不易操作，数据较多时效果不是很好.
注意点：1.对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏2.茎要从小到大自上而下的排列，中
间用一条竖线隔开3.叶也要按照从小到大的顺序排列，对于两组数据的可以用两条竖线把茎和叶隔开，左边的叶最好按照从大到小的顺序排列，右边的叶按照从小到大的顺序排列4.茎叶图一般在衡量一位或者两位运动员在比赛时的得分情况（例题见课本P58）
总体特征数的估计
反映总体某种特征的量较总体特征数，比如平均数、中位数、方差、众数等
.平均数（average）或均值（mean）：aa1a2...ann1nnai1i
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第14页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料其原理：最小二乘法设与实验数据近似的值为x则它与这n个实验数据的离差为
xa1,xa2,xa3,...,xan由于上面的离差有正有负，故不易直接相加，就考虑离差
的平方和fxxa1xa2...xan
222nx2a1a2...anxa1a2...an
222所以当xa1a2...ann1nnai1i时，离差的平方和的函数取得最小，误差也就最小，故
而用
a1a2...ann作为这组数据的理想近似值.
.平均数的求法:题目类型有离散型和连续型两种情况
①xx1x2...xnn1ninxni1②加权平均数:xx1p1x2p2...xnpnxi1ipi
（其中p1,p2,...,pi为x1,x2,...,xi对应的频率），这里也是为我们今后将要学习的数学期望作铺垫
见课本例2P6465注：特别地，对于连续型的随机变量在分好组后，其x1,x2,...,xi
应该取每一组的组中值近似的表示
1n1n.样本方差（variance）:s2xi1nix2
222=
[(x1x)(x2x)(x3x)(xnx)]
2样本标准差(standarddeviation)：s1nxi1nix2
说明：1.平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量
2.方差、标准差是反映一组数据波动大小或稳定程度或各个数据与平均数的离散程
度的统计量，记住它们的表达形式，在选择题中常出现关于它们的判断3.一个重要结论：s21n2ixni1x
24.方差与越大，稳定性越差
5.关于它们的运算，分连续型和离散型两种情况，见课本P6768对于离散型的
随机变量也要注意选择组中值
例题：从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm）:水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第15页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640根据以上数据回答下面的问题：（1）哪种玉米苗长得高？（2）哪种玉米苗长得齐？
[分析]：看哪种玉米苗长得高，只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可；要比较哪种玉米苗长得齐，只要比较哪种玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齐，因为方差反映的是一组数据的稳定程度
x甲110110252741403722141939214230cm解：（1）
x乙
16442744164040164031cmx甲x乙乙种玉米长得高s甲2
（2）
22222212530413040303730223014301019302393022130242302104.2cms乙22
22110227312316313403124431222128.8cm
2x甲x乙甲种玉米长得齐
评：1.特别注意本题中的两问的说法的不同，所以算法就不同2.一般的说哪组数据齐、稳定、
波动情况等都是通过方差来判断
.几个重要的结论：对于一组数据x1,x2,...,xn的平均数为x方差为s2标准差为s
2①若xi,i1,2,...,n都增加a,则平均数为xa方差为s标准差为s
也可以这样解释：同时增加a，也就是相当数据平移了，不会改变数据的波动程度，所以方差
和标准差都不会变.
2②若xi,i1,2,...,n都递增a%，则平均数为1a%x方差为1a%s标准差为
21a%s
22③若xi,i1,2,...,n都变为原来的a倍，则平均数为ax方差为as标准差为as
例题:已知x1,x2,...,xn的方差为2，则2x13,2x解法1：（公式推导法）
23,...,2xn3的标准差为？
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第16页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料x1x2...xnn1x2x132x223...2xn3n2x3
方差2x6i1ni32x341x6i1nix24s2428
标准差22
解法2：（推理法）
因为数据的每一项都是先2倍后加上3，而加上3对方差没有影响，2倍后则方差变
为原来的4倍，即方差标为8，则标准差为22.
线性回归方程
.变量之间的关系：①确定的函数关系②相关关系（有一定的关系，但不能用函数表达出来）.对于一组数据探讨它们满足的关系，可以先画出散点图，看它们的大致趋势，然后选择一种
函数进行数据拟合，电脑和计算器一般给出6种拟合函数，也就是说对于一组数据可以用各种函数模型来拟合，只不过拟合度不同而已，当拟合度R2越接近于1则拟合得越好，本教材之研究线性拟合，也就是求线性回归方程
.线性回归分析：理论依据最小二乘法见课本P72.设线性回归方程为ybxa，关键在于求a,b
nnbi1nnxiyixiyii1i1nn2nxi1ni1iyinxy2ixi1nnixyiyx
2nxixii1i1aybx
nxnx2xi1i2x.相关系数：rni1iyinxyn称为y与x的样本相关系数
2222xinxyinyi1i1当r0时,正相关;当r0时,负相关;并且r1,r越接近于1线性相关程度越高r越接近于0线性相关程度越低
.颜老师说明：
1.由于公式的复杂，数据有的也较多，所以在具体做题目时可以列出表格来，对应填进去，然后用公式计算，这样就不会产生慌乱的感觉
2.做题目时要细心，不要乱，在我们高一阶段一般只给出5～6组数据，算起来已经不是很水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第17页4/18/201*
阳光家教网高三数学学习资料难了3.当然这种拟合（我们主要学习线性拟合就是求线性回归方程）在电脑里都可作出来图像来，而且求出相应的拟合度，有兴趣的同学可以在Excel软件里试一试
4.表格形式：
ixiyixi2yi2xiyi12n合计nnin2n2nxi1i1nyii12xii1nyixi1iyix1nni1yiy1nnni1yixii1i1yi2xi1iyi然后代入公式计算 3.概率
事件：随机事件（randomevent），确定性事件:必然事件(certainevent)和不可能事件(impossibleevent)
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A在n次实验中发生了m次，当实
验的次数n很大时，我们称事件A发生的概率为PAmn
说明：①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件
时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
概率必须满足三个基本要求：①对任意的一个随机事件A，有0PA1
②用和分别表示必然事件和不可能事件,则有P1,P0③如果事件
A和B互斥,则有:PABPAPB
古典概率（Classicalprobabilitymodel）：①所有基本事件有限个②每个基本事件发生
的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n，则每一个基本事件发生的概率都是水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第18页4/18/201*
1n，19
阳光家教网高三数学学习资料PAmn如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为
几何概型（geomegtricprobabilitymodel）：一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记
事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为
PAd的侧度D的侧度（这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地，线
段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）几何概型的基本特点：①基本事件等可性②基本事件无限多
颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。
互斥事件(exclusiveevents)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件（complementaryevents）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，
事件A的对立事件记为：A
独立事件的概率：若A,B为相互独立的事件事件若A1,A2,...,An为两两独立的事件,则PABPAPB，
,则PA1A2...AnPA1PA2...PAn
颜老师说明：①若A,B为互斥事件,则A,B中最多有一个发生,可能都不发生，但
不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集②
对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生③对立事件一定是互斥事件④从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤两个对立事件的概率之和一定是1，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若事件A,B是互斥事件，则有PABPAPB⑦一般地，如果
A1,A2,...,An两两互斥，则有PA1A2...AnPA1PA2...PAn⑧PA1PA⑨在本教材中A1A2...An指的是A1,A2,...,An中至少发生一个
⑩★在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题
例题选讲：
例1.在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第19页4/18/2020
阳光家教网高三数学学习资料同的解法解法1：（互斥事件）设事件A为“选取2个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A意
义为“选取2个球都是其它颜色球”PA1(65)2114PA1-PA1-1515151答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为
1415.
15种情况，设事件A为“选取2个
43214
解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
652球至少有1个是红球”，而事件A所含有的基本事件数有42所以PA1415
1415答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为.
解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件A为“选取2个球至少有1
个是红球”，事件A有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：
4625,2645,4635，则有PA46答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为
244314565651514152.
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1：在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件A为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A，意
义为“选取3个球都是白球”
PAC4C336432114321PA1-PA1-
(654)654555321432答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为
45.
3解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有C665432116204520种情况，设事件A为“选
取3个球至少有1个是红球”，而事件A所含有的基本事件数有
2C4142243216，所以PA45
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为.
解法3：（独立事件概率）设事件A为“选取3个球至少有1个是红球”，则事件A的情况如水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第20页4/18/2021
阳光家教网高三数学学习资料下：红白白1红2白白白红
白红白
红红白2红1白红白红白红红
所以PA3153264646262646115453525153424344414141515151
15145251511545
45答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为.
变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次抽取1只，试求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：设事件A为“第1次抽到的是次品”，事件B为“抽到的2次中，正品、次品各一次”则PA2613，PB4224661349（或者PB2646462649）
49答：第1次抽到的是次品的概率为，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为
变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来
解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少1人抽到选择题”，则B为“两人都抽到填空题”
11P3P3333或者PA（1）PA265106510P63332P3114PB1PB1（2）PB或者PB2则
556555P6321答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为
310，少1人抽到选择题的概率为
45.
变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回摸
出2个球，球两个球颜色不同的概率？
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球
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阳光家教网高三数学学习资料略解:PA35242534363或者PA255C5变式训练5：设盒子中有6个球，其中4个红球，2个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续
抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？略解:PA462626464266246649
例2.急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？
【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量
解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域D，事件“发放急救物品无效”为A，距离水池10米范围为区域d，即为图中的阴影部分，则有PAd测度D测度
805028010250104100010001042
答：略
颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的
变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚
硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？略解：PAd测度D测度222244141432
变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a,现有一直径等于
a2的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径
解：如图，正三角形ABC内有一正三角形A1B1C1，其中
16A1Dtan30ABa,A1DB1EA1Fa,ADBE
水激石则鸣，励激志则宏！知识改变命运，勤奋成就未来！共26页第22页4/18/2023
阳光家教网高三数学学习资料36a，A1B1AB2ADa3aa1333C当圆心落在三角形A1B1C1之外时，硬币与网格有公共点有公共点的概率PSABC-SA1B1C1SA1B1C12C1
FA1B1EBa/6a332aa144332AD340.82
a2答：硬币落下后与网格有公共点的概率为0.82.变式训练
3：如图，已知矩形ABCD中，AB5,AC7,在正方形内
任取一点P,求APB90的概率？
1522572AB略解：PA556
P变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r
硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？
解：设事件A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM，垂足为M，线段OM的长度的取值范围为0,a，其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域D的几何测度，只有当
0OMa时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足事件A的区域d的几何测度，所以
DCM2arPAr,a的长度0,a的长度ara
ara答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
【评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D和区域d，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。
蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为2a（a0），向平面内任意的投掷一枚长为ll2a的针，求针与平行线相交的概率？
解：以x表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线的交角，如图易知
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阳光家教网高三数学学习资料0xa,0，有这两式可以确定x-平面上的一个矩形，这是为了针与平
行线相交，其充要条件为xl2Sin，有这个不等式表示的区域A为图中的阴影部分，由等可
能性知PASASl20Sindala
如果l,a已知,则以值代入上式即可计算则也可以利用上式来求2aPA的值,反过来,如果已知PA的值,
，而关于PA的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既:如
nN果投针N次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为
PAln于是,lN，于是，
aNan注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出.在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求的.
会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可
离去，求两人能会面的概率？解：设“两人能会面”为事件A，以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为：xy15在平面上建立如图所示的坐标系，则x,y的所有可能的结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，由几何概型知，PA716SAS602452260716
答：两人能会面的概率.
◆课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，
求AMAC的概率？
【分析】点M随机的落在线段AB上，故线段AB为区域
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阳光家教网高三数学学习资料D，当点M位于如图的AC内时AMAC，故线段
"AC即为区域d
"解:在AB上截取AC"AC，于是P(AMAC)PAMAC"ACAB"ACAB22
答：AMAC的概率为
22【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC中，在ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率？
错解：在AB上截取AC"AC，在ACB内部任意作一条射线CM，满足条件的M看作是在线段AC"上任取一点M，则有
P(AMAC)PAMAC"ACAB"ACAB22
【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度，注意基本事件的等可能性.正解：在ACB内的射线是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，在AB上截取AC"AC，则ACC"67.5，故满足条件的概率为
67.5900.75
评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域D和d，求出其测度，再利用
几何概型来求概率.例3.
利用随机模拟法计算曲线yx,y0,和x2所围成的图形的面积.
22【分析】在直角坐标系中作出长方形（yx,y0,y4,x2所围成的部分，用随机模拟法
结合几何概型可以得到它的面积的近似值）解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上的随机数，a0rand,b0rand
（2）进行平移变换：a2a0,b4b0，其中a,b分别随机点的横坐标和纵坐标
（3）假如作N次试验，数处落在阴影部分的点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积
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阳光家教网高三数学学习资料由
S8N1N得出S8N1N2.7
评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是
利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.
另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：S220xdxx32302.7
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