高中数学二项式定理题型总结

高中数学二项式定理题型总结

二项式定理

知识点归纳

1．二项式定理及其特例：

（1）(ab)CnaCnabCnan1rrn0n1nrnrbCnb(nN)，

rnn（2）(1x)1CnxCnxx2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnarnrrnb(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）

(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以

外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：

n(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，

定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnCnn2nmnmn012nr）直线rn2是图象的对称轴n12n1（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn（3）各二项式系数和：∵(1x)1CnxCnxx，令x1，则2CnCnCnCnCn，Cn2取得最大值n1rrnn012rn题型讲解

例1如果在（x+

12x4）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，

r=C8r1n2，

n(n1)8，由题意得2×

n2=1+

n(n1)8358，得n=8设第r+1项为有理项，

T

1r163rx

42点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r

，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=

x，T9=1256x2例2求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+

1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项

－2）3=（｜x｜+

1|x|－2）（｜x｜+

1|x|1|x|－2）（｜x｜+

1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号

11中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取

3

，一个括号取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）

r+（－12）=－20解法二：（|x|+

1|x|－2）3=（|x|－

1|x|）6设第r+1项为常数项，则Tr1=C6（－1）r（

1|x|）r|x|

6r=

（－1）6C6|x|

r62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C6=－203例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）++（1+x）的展开式中x的系数4x－4）4的展开式中的常数项；

34503

解：⑴原式=

4

1x441x（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C

846－1=14⑵（x+

4x－4）

=

(x4x4)x42=

(2x)x4，展开式中的常数项为C

4824（－1）4=1120

⑶方法一：原式

348513=

(1x)[(1x)1](1x)1=

(1x)(1x)x4展开式中x3的系数为C51方法二：原展开式中x3的系数为

44C3+C3+C3++C3=C4+C3++C3=C5+C3++C3==C51505050444355点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键129例4求x展开式中x的系数

2x解：Tr19Crr9x29r31r1183r令1r182rr12193C9xxC9x183r9,则r3,故x的系数为:C9＝－22x222rrr点评：①Cnanrb是ab展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，rn1第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C，二者并不相同2393939例5求

3xr32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数

解：Tr1C1003x100r23r100rrC100xr100r3223依题意：

100r2,r3Z，r为3和2的倍数，即

为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由

960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征解法一：x051例6求x223x2展开式中x的系数

53x2x1x2

4505144455555C5xC5xC5xC5C5xC5x2C5x2C524故展开式中含

x的项为

5C5xC52C5C5x2Tr1C5x1r455544240x，故展开式中x的系数为240，解法二：x3x2252x23x52245r3x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即

rT2C5x22，故x的系数为152240，解法三：

x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的乘法法则，从

23x15xx42x64x48x222228642442以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53C42240

点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用

144例7设an=1+q+q2++q

n1（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2++Cnan

12n（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3

012nn024135n1点评：①记住课本结论：CnCnCnCn2，CnCnCnCnCnCn2②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2

例9已知2x解：令x1时，有22

634a0a1xa2xa3xa4x，求a0a2a4a1a32342234a0a1a2a3a4，令x1时，有2234a0a1a2a3a4

∵a0a2a4a1a3a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4∴a0a2a4a1a32223243411

4点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三

例10求x2y展开式中系数最大的项

7rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即

rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1116222rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312rr1r22r!7r!3r17rr1!7r1!故系数最大项为T6C7x2y5255672xy

25点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最

12大；当n为奇数时，中间两项Tn121，Tn12的二项式系数相等且为最大

1小结：

1在使用通项公式Tr1=Cnarnrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项

式系数Cn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T

rr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五

个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法学生练习

1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B

22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12

C24

D48解析：（2x+3（2x3－

x）4=x2（1+2x）4，在（1+2

2

x）4中，x的系数为C242=24答案：C

1x

）7的展开式中常数项是

3

A14

B－14

C42

D－42

解析：设（2x－

1x）的展开式中的第r+1项是T

7

r=C7r1（2x）

3

7r（－

1x）

r=C72

7r（－1）x

r23(7x)，

24一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

A20B219C220D220－1

当－

r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C7（－1）621=14答案：A

解析：C1+C2++C20=220－1答案：D2020205已知（x－

ax）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是B38

A28

C1或38

D1或28

rr4解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C

36已知（x2+x

13）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）

3解析：∵（x2+x

r713）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128，∴n=7设该二项展开式中

3的r+1项为Tr1=C（x2）

7r6nn32*

7若（x+1）=x++ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________

（x

136311r）r=Cx

r76，令

6311r=5即r=3时，x5项的系数为C7=35答案：35

3解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n=11答案：11

328（x－

1x）8展开式中x5的系数为_____________解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－答案：28

9若（x3+

r1xrr）=（－1）C8x

r83r2令8－

3r22

=5得r=2时，x5的系数为（－1）C8=2821xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________

解析：T

rr=Cnr1（x）

3n－r

（x

32）=Cx

rn3n92r，令3n－

92r=0，∴2n=3r∴n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，

r=6时，Cn=C9=84答案：9

610已知（x

lgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为201*0，求x的值

解：由题意Cnn2＋Cnn1＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=6∴第4项的二项式系数最大∴C6（x

n2103lgx）3=201*0，即

x3lgx=1000∴x=10或x=

1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，

所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+－a11=0②

1①+②得a0+a2++a10=

12点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项

（－26+0）=－32（1）求它是第几项；（2）求

rab－

的范围

解：（1）设Tr1=C12（axm）12r（bxn）r=C12a12rbrxm

∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，

－

r（12－r）+nr

为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，

∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②由①得

43451211109432a8b4≥

12111032a9b3，

∵a＞0，b＞0，∴由②得

94b≥a，即

ab≤94ab≥

85，∴

854≤

ab≤9413在二项式（

x+

1）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项2x分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为Cn，

012解得n=8或n=1（舍去）Cn，

114Cn，由已知Cn=Cn+

3r421014Cn，即n2－9n+8=0，

2T

r=C8r1（x）

8－r

（2

4x）

－r

r=C8

12rx

4

∵4－

3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=

358x，T9=

1256x－2点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－14求证：2

扩展阅读：高中数学二项式定理题型总结

二项式定理

知识点归纳

1．二项式定理及其特例：

0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，

1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：

01，Cn，Cn2，，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量(ab)n展开式的二项式系数是Cn的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnnm）直线r是图象的对称轴n2（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值1rr（3）各二项式系数和：∵(1x)n1CnxCnxxn，

012rn令x1，则2nCnCnCnCnCn题型讲解

n2nn12nn12n例1如果在（的有理项x+

124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中

解：展开式中前三项的系数分别为1，n，n(n1)，由题意得2×n=1+n(n1)，

2828得n=8设第r+1项为有理项，Tr1=C

r81r2x

163r4

，则r是4的倍数，所以r=0，4，

8，有理项为T1=x4，T5=35x，T9=81256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+

1－2）3的展开式中的常数项|x|

解法一：（｜x｜+

1111－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－|x||x||x||x|3

2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，

1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+|x|1（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（|x|－1）6设第r+1项为常数项，则

|x||x|一个括号取

rTr1=C6（－1）r（

1r）r|x|6r=（－1）6C6|x|62r，得|x|6－2r=0，r=3∴T3+1=

（－1）3C36=－20

例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+4－4）4

x的展开式中的常数项；

⑶求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的展开式中x3的系数1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）

1x24(2x)84444(x4x4)44C6－1=14⑵（x+－4）==4，展开式中的常数项为C8（－1）24xxx(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)344=1120⑶方法一：原式==展开式中x3的系数为C51x(1x)1方法二：原展开式中x3的系数为

3333434334C33+C4+C5++C50=C4+C4++C50=C5+C5++C50==C51点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键192例4求x展开式中x的系数

2x9解

9：

339Tr1Cxr929r1r1183r1r182rrC9xxC9x2x22rrr令

211183r9,则r3,故x的系数为:C＝－22

3nnrr点评：①Cr是展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与ababn1某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C，

239939二者并不相同10033x2例5求展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数

100rr,Z，r为3和232的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，

解：Tr1Cr1003x100r23rCxr100100r3100r22依题意：

r3公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项

点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征

例6求x23x2展开式中x的系数

555解法一：x23x2x1x2

5145C50x5C5xC54xC5C50x5C51x42C54x24C5525故展开式中含x的项为

4554C5xC525C5C5x2424x0，故展开式中x的系数为240，解法二：

TCx23x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即TCx23x15xx42x64x48x2，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的x23x2x223x

r115r525rr248556424422522222乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则

14积为x的一次项，此时系数为C53C424240

点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用n例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2++Cnan（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3

∴a0a2a42a1a322323141

点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三

例10求x2y7展开式中系数最大的项

44rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1121622rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312r2r2r17rr13r1!7r1!r!7r!52故系数最大项为T6C7x25y5672x2y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项Tn1，Tn1

21212

1

的二项式系数相等且为最大小结：

1在使用通项公式Tr1=Crnanrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n

2证明组合恒等式常用赋值法课堂练习

1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于

A29B49C39D1

解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B

22x+x）4的展开式中x3的系数是

A6B12C24D482

解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C22=24答4案：C

3（2x3－

1x）7的展开式中常数项是

B－14

A14

C42

D－42

解析：设（2x3－

r=C72

7r

1xr）7的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－

1x）

（－1）x

2r

r3(7x)2，

61

当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）2=14答案：

A

4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

A20B219C220D220－1

2020解析：C120+C2++C=2－1答案：D20205已知（x－a）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各

x项系数的和是

A28B38C1或38D1或28

rr解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，4∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8

=38答案：C

6已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）

3213解析：∵（x+x）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项

r系数和为2=128，∴n=7设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r（x）

3213n

3213r

r=C7x

6311r6，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C37=35答案：35

7若（x+1）=x++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________

2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11答案：11

nn

68（x－

1x）8展开式中x5的系数为_____________r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x

8－r

（－

1xr）=（－1）C8x

83r2令8－

3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）2C8=28答案：28

9若（x3+

1xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Tr1=Crn（x3）n－r（x）r=Crnx

3293nr2，令3n－9r=0，∴2n=3r∴n必

26为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84答案：9

10已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为201*0，求x的值

2n1n10解：由题意Cn即C2∴n=6∴第4项的二项n＋Cn＋Cn=22，n＋Cn＋Cn=22，

33lgxlgx式系数最大∴C3（x）=201*0，即x=1000∴x=10或x=611若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，

所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+－a11=0②

110①+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求a的范围rr解：（1）设Tr1=C12（axm）12－r（bxn）r=C12a12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，

4345∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②

b由①得1211109a8b4≥121110a9b3，

43232∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤94b4由②得a≥8，∴8≤a≤9b55b413在二项式（x+

124x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中

的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项

111212210解：前三项系数为C0，C，C，由已知C=C+C，即n－9n+8=0，nnnnnn244解得n=8或n=1（舍去）rTr1=C8（

x）

8－r

（24x）

－r

1r=C8r2x

43r4∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，

∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=35x，T9=

8点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－3r∈Z即可，而不需要指数4

41256x－2

－3r∈N414求证：2

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