高一数学必修二各章知识点总结[1]

高一数学必修二各章知识点总结[1]

数学必修2知识点

1.多面体的面积和体积公式

名称棱柱棱锥棱柱直棱柱棱锥正棱锥棱台棱台侧面积（S侧）直截面周长×lCh各侧面面积之和S侧+S底ch′各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h（S上底+S下底+）S底h全面积（S全）S侧+2S底体积（V）S底h=S直截面hS底h正棱台（c+c′）h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2.旋转体的面积和体积公式

名称S侧S全圆柱2πrl2πr（l+r）圆锥πrlΠr（l+r）圆台π（r1+r2）lπ（r1+r2）l+π（r21+r22）球4πR2Vπr2h（即πr2l）πr2hπh（r21+r1r2+r22）πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展.

4、平面的基本性质：

公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

l,l,,l

,,C三点不共线有且只有一个平面,使,,C

公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

l且l

推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行.a//b,b//ca//c

5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：a,b,a//ba//

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：a//,a,ba//b

7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.数学符号表示：a,b,ab,a//,b////（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.（3）平行于同一个平面的两个平面平行.

面面平行的性质定理：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面.//,aa//（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.//,a,ba//b

8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.数学符号表示：m,n,mn,lm,lnl

（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

符号表示：a,a//符号表示：//,////

a//b,ab

//,aa

a,ba//b

9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.a,a平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.数学符号表示：,b,a,aba

10、直线的倾斜角和斜率：

（1）设直线的倾斜角为0180，斜率为k，则ktan（2）当090时，k0；当90180时，k0.

.当时，斜率不存在.22（3）过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线斜率k

y2y1(x2x1).

x2x

11、两直线的位置关系：

两条直线l1:yk1xb1，l2:yk2xb2斜率都存在，则：（1）l1∥l2k1k2且b1b2

（2）l1l2k1k21（当l1的斜率存在l2的斜率不存在时l1l2）（3）l1与l2重合k1k2且b1b2

12、直线方程的形式：

（1）点斜式：yy0kxx0（定点，斜率存在）（2）斜截式：ykxb（斜率存在，在y轴上的截距）（3）两点式：

yy1xx1(y2y1,x2x1)（两点）（4）一般式：xyC0A2B20

y2y1x2x1（5）截距式：

xy1（在x轴上的截距，在y轴上的截距）ab13、直线的交点坐标：

设l1:A1xB1yc10,l2:A2xB2yc20，则：（1）l1与l2相交A1B1ABCABC；（2）l1∥l2111；（3）l1与l2重合111.A2B2A2B2C2A2B2C2(x2x1)2(y2y1)2PP14、两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式12原点0,0与任一点x,y的距离OPx2y215、点P0(x0,y0)到直线l:xyC0的距离dAx0By0CAB

22

l:xC0的距离d（1）点P0(x0,y0)到直线

Ax0CABy0CBC（2）点P0(x0,y0)到直线l:yC0的距离d

（3）点0,0到直线l:xyC0的距离dAB2216、两条平行直线xyC10与xyC20间的距离dC1C2AB2217、过直线l1:A1xB1yc10与l2:A2xB2yc20交点的直线方程为

(A1xB1yC1)(A2xB2yc2)0R

18、与直线l:xyC0平行的直线方程为xyD0CD与直线l:xyC0垂直的直线方程为xyD019、中心对称与轴对称：

x1x2x02（1）中心对称：设点P(x1,y1),E(x2,y2)关于点M(x0,y0)对称，则

yy2y102（2）轴对称：设P(x1,y1),E(x2,y2)关于直线l:xyC0对称，则：a、B0时，有

x1x2yyCC且y1y2；b、A0时，有12且x1x22A2By1y2BxxAc、AB0时，有12

Ax1x2By1y2C02220、圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2（圆心Aa,b，半径长为r）圆心O0,0，半径长为r的圆的方程xyr。

22221、点与圆的位置关系：

设圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0,y0)，将M带入圆的标准方程，结果>r2在外，0、=0、

(x2y2D1xE1yF)1(x2y2D2xE2yF2)0(1).

当1时，即两圆公共弦所在的直线方程.

PP26、点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)间的距离12(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2，

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高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1）列举法：{a,b,c}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合

的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作ABA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A且属义于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：ABB(或

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

作‘A交B’），即（读作‘A并B’），记作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韦恩ABABS图A示图1图2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABＡ(CuA)(CuB)质ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.4.设集合A=x1x2，B=xxa，若

AB，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

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(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法

常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调

减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：

1任取x1，x2∈D，且x1金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例题：

1.求下列函数的定义域：⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为__

3.若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是4.函数

x2(x1)2，若f(x)3，则xf(x)x(1x2)2x(x2)2=

5.求下列函数的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]

(3)yx12x(4)y6.已知函数

f(x1)x4x，求函数

2x4x52f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则f(x)=。8.设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时,

f(x)x(13x),则当x(,0)时

f(x)=

f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间：⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1

210.判断函数yx31的单调性并证明你的结论．

211.设函数f(x)1x判断它的奇偶性并且求证：f(1)f(x)．

21xx

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

n1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，

*

且n∈N．

n负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00。

当n是奇数时，anna，当n是偶数时，ann(a0)a|a|

a(a0)2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

manna(a0,m,nN,n1)m*，

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amn1mn1na0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质

am(a0,m,nN,n1)

*（1）aaa(a0,r,sR)；（2）(a)a

rrsrsrsrrrs

(a0,r,sR)；

（3）(ab)aa(a0,r,sR)．（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

两个重要对数：

1常用对数：以10为底的对数lgN；○

2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．○

指数式与对数式的互化

幂值真数

ba＝NlogaN＝b

底数指数对数

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaM＋logaN；○

2log○3log○

MaNMnlogaM－logaaN；

anlogM(nR)．

注意：换底公式

logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnmlogab；（2）logab1logba．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其

中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y2log2x，ylogx5都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

52对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．○

2、对数函数的性质：a>10金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

0时，（2）幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．例题：1.已知a>0，a

0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是()

2.计算：①

loglog26413

3;②2784log23=；25113log5272log52=;

27③0.064()[(2)]0343160.750.012=

3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为

24.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=5.已知f(x)log

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的○

图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

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1xa1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使f(x)0的x的取值范围

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4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．5.函数的模型

检验符合实际用函数模型解释实际问题画散点图收集数据不符合实际选择函数模型金太阳新课标资源网

求函数模型wx.jtyjy.com

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