初二上数学第一章勾股定理总结

初二上数学第一章勾股定理总结

勾股定理知识总结

制作人周宇峰一：勾股定理

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直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c）要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题二：勾股定理的逆定理

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如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

222222

（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

222222

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c

扩展阅读：北师版八年级数学第一章.勾股定理知识点与常见题型总结及练习

北师版八年级数学第1章勾股定理

一．知识归纳１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4S1S正方形EFGHS正方形ABCD，42ab(ba)2c2，化简可证．

DCHEFGbaAcB

方法二：

baaccbbccaab

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S412abc22abc2

大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

方法三：S12b)(ab)，S11梯形(a梯形2SADESABE22ab2c2，化简得证

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长⑵已知AB17，AC15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210

⑵BCAB2AC28

题型二：应用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：

⑴ACAB2BC24，CDAACBC2.4ABDBC

⑵设两直角边的长分别为3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

1⑶设两直角边分别为a，b，则ab17，a2b2289，可得ab60Sab302cm2

例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长

CD12EAB

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DEAB于E，12，C90DECD1.5在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAEDACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

CAB

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m

AEBDC

分析：根据题意建立数学模型，如图AB8m，CD2m，BC8m，过点D作DEAB，垂足为E，则AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210

答案：10m

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt①a1.5，b2，c2.5②a52，b1，c43解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

②b2c21325，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形916例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？

解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264a2b2c2所以此三角形是直角三角形

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC

证明：

ABDC

AD为中线，BDDC5cm

在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2，ADB90，AC2AD2DC2169，AC13cm，ABAC

一、选择题

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论中恒成立的是()A、2abc2D、2ab≤c2

2、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15

3、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、8个

4、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶

1。其中正确的是（）

A、①②B、①③C、①④D、②④

5、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（）

A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定

6、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）

A、40B、80C、40或360D、80或360

7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A、4B、3C、5D、4.5ADBACCDE

A′D′

BADB′第7题图

C′第8题图第9题图

8、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）

A、2B、3C、4D、5

9.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

10.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。二.解答题

1.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？C

D第1题图

2、数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若奇数n为直角三角形的一直角边，用含n的代数式表示斜边和另一直角边。并写出接下来的两组勾股数。

3、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？A

A′

4.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

答案：

1-5DCACC9、10

6-8CBB10、1.5BACDL

第4题图

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