北师大版九年级数学期末复习知识总结

北师大版九年级数学期末复习知识总结

九年级数学期末复习北师大版

【同步教育信息】

一.本周教学内容：期末复习

从今天开始我们将进入期末复习，分二部分，今天复习第一、二、三、四章，下次复习剩下的内容。首先来看一下各章的知识体系总结。

由于第一章和第三章知识有一定的联系，所以将第一、三章的知识体系放在一起。

证明（二）（三），这两章一共可分为五大部分：第一部分：通过探索、猜测、计算和证明得到定理。（1）与等腰三角形、等边三角形有关结论。（2）与直角三角形有关的结论。（3）与一般三角形有关的结论。（4）与平行四边形有关的结论。（5）特殊平行四边形有关的结论。第二部分：命题的逆命题及其真假。第三部分：尺规作图线段的垂直平分线角的平分线第四部分我们再来看一下平行四边形与几种特殊平行四边形的关系是边形四行的平等边相邻一组菱形一个角是直角的菱形平行四边形对角线垂直、相等的平行四边形是是矩形的相等边邻一组正方形有一个角是直角的平行四边形是矩形最后我们再一起回忆一般四边形和平行四边形及特殊平行四边形的关系：顺次连结任意四边形中点得到的四边形是平行四边形。顺次连结对角线相互垂直的四边形的四边中点得矩形。顺次连结对角线相等的四边形四边中点得菱形。顺次连结对角线相互垂直平分且相等的四边形的四边中点得正方形。下面再来看一下第二章：对于一元二次方程的解法，本章介绍了配方法、公式法和分解因式法。一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，但在解题时，应具体分析选择适当的方法。

对于利用方程解决实际问题，关键是找到其中的等量关系，解出一元二次方程的根之后，要根据实际情况合理的解释其实际意义，可列出如下的知识体系：近似解法配方法引入丰富的问题情境一元二次方程精确解法公式法分解因式法应用（注意验证解的合理性）第四章，本章知识分两大部分：视图和投影

先看视图，对于圆柱、圆锥和球的视图，复习时要分析它们三视图的异同；对于直立棱柱和直四棱柱的视图。要明确各棱之间的位置关系，并注意三种视图中虚线的意义。

再看投影，平行投影和中心投影要以回想实例为主，可从舞台的灯光、台灯、手电筒、探照灯、皮影、手影、日晷等实例中，体会其中包含的数学知识。本章的知识体系如下：

视图简单的几何体视图：圆柱、圆锥、球、直立棱柱、直四棱柱等。丰富的实例平行投影投影灯光与影子中心投影视线和盲区【例题分析】

例1.在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB＝10，AC＝16，求MN。ANBMDC分析：在本题中出现了角平分线、中点，于是我们应该联想到三角形中位线和角平分线性质定理，利用角平分线的性质，可考虑延长BN交AC于D，由AN⊥BN，AN平分∠BAD可得BN＝DN，AB＝AD，再由M、N分别是BC和BD中点得出MN是△BCD的中位线，最后不难得出结论。解：延长BN交AC于D∠1∠2，ANBDABAD且BNDN

又M是BC的中点，BMMCMN是BCD中位线MN1111DCACADACAB1610322即MN＝3

例2.命题“在直角三角形中如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请证明它。

分析：此题是让我们证明命题，证明命题应注意分以下几步：（1）根据条件和结论画出图形；（2）根据条件并结合图形写出已知，根据结论写出求证；（3）分析题意并写出证明过程。

此题告诉我们是在Rt△中且结论中有一个角为30°，所以我们想到另一个角为60°，于是我们就想到能否利用等边三角形解决这个问题，所以我们就把已画出的Rt△补成了一个等边三角形，再利用等边三角形三边相等和三角都等于60°来解决此题。解：已知RtABC中，C90，BC1AB，求证：CAB302ADCB证明：延长BC到D使CD＝BC，连结ADBCCD，BC12BD又BC12AB，BDAB又在RtACB和RtACD中，

ACACACBACD90

DCBCACDACBADAB

ABD为等边三角形ABC60CAB30即原命题得证。

例3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，EF∥AC。求证：BE＝FCAE123DBFC分析：要证明BE＝FC，但由于BE和FC既不是一个三角形中的两边，也不是同一个四边形中的边，所以应设法找另一线段来过渡，观察图很容易看出四边形EFCD是平行四边形，那么FC＝ED，所以ED即为所找的过渡边，然后由角平分线定义和平行线的性质，可得到ED＝BE，问题就很轻松解决了。证：∵ED∥FC，EF∥CD∴四边形EFCD为平行四边形∴FC＝ED

又∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2又∵ED∥BC，∴∠3＝∠2

∴∠1＝∠3，∴BD＝ED，∴BE＝FC例4.正方形ABCD中M是BC上一点，N是CD中点，且AM＝DC＋CM。求证：AN平分∠DAMA1DN2BMCE分析：已知AM＝DC＋CM，于是可以把MC延长，同时把AN延长，两者交于E。利用正方形边相等和三角形全等证明AM＝ME，从而证明△AME为等腰三角形，得到两底角相等，进而证明AN平分∠DAM。证：延长MC交AN延长线于E∵N是DC中点，∴DN＝CN又∵四边形ABCD为正方形∴AD＝CD，∠D＝∠NCE＝90°∵AD∥CB，∴∠1＝∠2∴在△ADN与△ECN中，

DNCN∠DAN∠E

∠D∠NCEADNECN(AAS)CEADCD又∵AM＝CM＋CD∴AM＝CM＋CE＝ME∴△AME为等腰三角形∴∠E＝∠EAM又∵∠E＝∠DAN

∴∠DAN＝∠NAM，即AN平分∠DAM

（说明：此题也可以利用补长AD，利用等腰三角形顶角角平分线与底边中线重合，证之。）例5.用配方法解一元二次方程3x2＋8x－3＝0。

分析：配方法解一元二次方程是解一元二次方程的三种方法中难度最大的一种，其要点是：（1）化成一元二次方程的一般形式；（2）把常数项移到等号右边；（3）把二次项系数化为1；（4）等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化成xpq(q0)的形式；（5）两边同时开方，化二次方程为一次方程；（6）解一次方程。解：移项得：3x28x3两边同时除以3得：x2228x13281625442两边同时加上得：xx133399425配方得：x394545或x33331解一元二次方程得：x1，x23

3两边同时开方得：x

例6.将进货单价为40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价1元，每月销售量就减少10个，为了每月赚8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？分析：本题的主要等量关系是：每件商品的利润×平均每月销售该商品的数量＝8000

如果设售价为x元，那么每件商品涨了（x－50）元，每件该商品的利润即为（x－40）元，平均每月销售的数量为［500－10（x－50）］个，这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。解：设售价为x元，根据题意，得：x4050010x508000解这个方程得：x180，x260

2x5080501050010201*1x5060501050010400当x260时，50011当x180时，500答：当售价为80元时应进货200个；当售价为60元时应进货400个。

例7.画出如图所示立体图形的三视图（相当于在平放着的一块砖的中间靠后又立放着一块砖）分析：从正面看是一个横放的较窄长方形，上面中间处贴放着一个竖放的稍宽一点的小长方形，从左面看一个横放的窄长方形最左边的上方贴放着一个竖放的窄长方形，从上往下看，外围是一个横放的较宽的长方形，在此长方形的最上边靠中间位置处又放着一个横放的小长方形，由此我们可以画出这个几何体的三视图。解：

主视图左视图俯视图例8.下列两幅图形中，左图表示北方某地中心广场一角，中间有一路灯，周围有护栏，请判断右图是左图在上午、下午，还是晚上的景象？北西东南分析：此题可用排除法解决。若是上午该护栏的影子应在西方，而右图中影子是北偏东方向，所以不可能是上午。若是晚上，护栏的影子应与路灯的底部和该护栏的底部在同一条直线上，而此图不满足此要求。所以答案只能是下午。解：是下午的景象。

扩展阅读：新人教版九年级上册数学期末复习资料知识点归纳

二次根式

知识点1．式子a（a≥0）叫做二次根式．1、下列各式①－

m21②38③x1

④5⑤π是二次根式的是

2、x为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义3x4x5x1x23xx25(x6)2x77x2x6x1知识点2．最简二次根式

同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．1、下列式子中是最简的二次根式的是：

42①

8y2②x21③a④

1.7⑤

3⑥73

2、（1）18n是整数,求自然数n的值是(2)24n整数，求正整数n的最小值是知识点3．同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．1、若a43b1与a4是同类二次根式，则

ab2、若3x1与x3是同类二次根式，则x=知识点4．二次根式的性质

①（a）2

=a（a≥0）；a0(a0)

②a2=│a│=a(a0)0(a0)；

a(a0)1、化简x11x=______．2、若a0）．1、(4641238)222、(322)2

3、23022313254、12(13112)

一元二次方程

知识点1．一元二次方程的判断标准：（1）方程是整式方程

（2）只有一个未知数（一元）

（3）未知数的最高次数是2（二次）三个条件同时满足的方程就是一元二次方程

1、下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2

-2x=1；③x+3=

1x；④x2-y=0；④（x+1）2=x2

-1．一元二次方程的个数是.

2、若方程kx2+x=3x2

+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．

3、若关于x的方程xk22k1x50是一元二

1、直接开方解法方程

次方程，则k的取值范围是_________．

|m|+1

4、若方程（m-1）x-2x=4是一元二次方程，则m=______．

知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，1(x6)230(x3)22

22、用配方法解方程

x22x10x24x30

都能化成一元二次方程的一般形式

ax2bxc0(a0)，

ax2是二次项，a为二次项系数，bx是一次项，b为一次项系数，c为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号1、将一元二次方程3x(x1)5(x2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________知识点3．完全平方式

1、说明代数式2x24x1总大于x22x4

2、已知a1a10,求a1a的值.

3、若x2

+mx+9是一个完全平方式，则m=，

若x2+6x+m2

是一个完全平方式，则m的值是。若4x2kx9是完全平方式，则k=。知识点4．整体运算

1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2

+9x+12的值为

2、已知实数x满足x2x10则代数式3x23x7的值为____________知识点5．方程的解

1、已知关于x的方程x2+3x+k2

=0的一个根是x=-1，则k=___．

2、求以x11，x23为两根的关于x的一元二次方程。

知识点6．方程的解法⑴方法：①直接开方法；

②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次

3、用公式法解方程

2x27x30x2x10

4、用因式分解法解方程

3x(x2)2x4(2x4)2(x5)2

5、用十字相乘法解方程

x2x9002x2x100

知识点7．一元二次方程根的判别式：b24ac1、关于x的一元二次方程x2(m2)x2m10.

求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。

3、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，

则m的取值范围是知识点8．韦达定理

xxbca,x2

121x2a(a≠0,Δ=b-4ac≥0)使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件0

1、已知方程5x2mx6=0的一个根为x=3,求它

的另一个根及m的值。

2、已知2x24x30的两根是x1,x2，利用根于

系数的关系求下列各式的值

1x1xx2221x2(x11)(x21)(x1x2)12

3、已知关于x的一元二次方程x2

－（m+2）x+

14m2

－2=0．（1）当m为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x2

2

1，x2满足x1+x2=18，求m的值．

知识点9．一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题

3、握手问题（单循环问题）4、贺卡问题（双循环问题）5、围栏问题

6、几何图形（道路、做水箱）7、增长率、折旧、降价率问题

8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）9、数字问题10、折扣问题

旋转

知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度

1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为，旋转角度为度（2）△ADD′的形状是。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是度

知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；

1、如图，AOB90°，B30°，△AOB可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A在AB上。（1）求旋转角大小；

（2）判断OB与AB的位置关系，并说明理由。

B

ABAO

2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15后得到△ABC，则图中阴影部分的面积

是多少？

AB

CCB

3、如图，在△ABC中,CAB70.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB/C/的位置,使得

CC///AB,求BAB/的度数。

4、如图6，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E、

F分别在边AB和BC上，

DCM是由ADE逆时针旋转得到的图形。

（1）旋转中心是点__________；

（2）旋转角是________度，EDM=_________度；（2）若EDF45，求证EDF≌MDF.并求此时BEF的周长.图6

5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，AP＝3.（1）求△APQ的面积；（2）判断BQ与CQ的位置关系，并说明理由。

6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

7、如图，在Rt△ABC中，ABAC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，证明①△AED≌△AEF②BE2DC2DE2

8、如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．（1）求∠AEB的大小；（2）如图（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.

知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。

1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．

2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转______度能与自身重合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__

知识点4．中心对称和中心对称图形

1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．

A．1B．2C．3D．4

2.下列图形中不是中心对称图形的是（）A、①③B、②④C、②③D、①④

知识点5．作图

1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关

于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标

2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交

点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）

1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；写出A1，B1，C1点坐标；

(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90后得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标

2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．

（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有条；这个整体图形至少旋转度与自身重合

知识点6．旋转割补法如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求S四边形ABCD（提示：将四边形ABCD割补为正方形）A

DBEC

知识点7．关于原点对称

填空：⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（，）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关

于的对称。⑶C（－4，－2）关于y轴的对称

点为C（′，）；⑷点D（5，0）关于原点的对

称点为D′（，）。

圆

【考点1】和圆有关的概念

（1）等弦对等圆心角（）

（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（）

（3）等弧对等弦()（4）等弦对等弧（）

（5）等弧对等圆心角（）(6)直径是圆的对称轴（）

【考点2】垂径定理及其推论

如果一条直线满足

(1)过圆心（2）垂直弦（3）平分弦(4)平分弧（优

弧和劣弧）（5）平分圆心角

知之其中两个条件可以推出三个（知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。(1)平分弦的直径垂直于弦.（）(2)垂直于弦的直径平分弦.（）

1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

DBEOAC

2、如图，⊙O中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，(1)求证：AB＝CD(2)如果AB>CD，则OEOF

3．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长

【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，

MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．求证：AM=BN（连接MO,NO,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等

弧）MNABCOD

2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B。

ACEFO

D图15B

3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，求证：AD⌒=3CB⌒(连接OC、OD，外角，圆心角证弧)

4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CFBF；（2）若AD2，⊙O的半径为3，求BC的长．

【考点4】：直径所对的圆90°

1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于D，求证：点D为BC中点

【考点5】知识点(4)圆内接四边形对角互补1、如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=40，

点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是【考点6】外接圆与内切圆相关概念

三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等；

三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等

1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是

2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°,∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于

【考点6】与圆有关的位置关系画圆与圆位置关系的数轴

【考点7】切线的性质

切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径4、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

【考点8】切线的证明（两种方法）

1、已知圆上一点“连半径，证垂直”2、没告诉圆与直线有交点“作垂直，证半径”。1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线。

2、如图，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，证明⊙O与AC相切

【考点9】切线长定理

切线长相等，平分切线所成的夹角。

1、如图5，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，BAC30，（1）求P的度数；

A（2）若BC2cm，求PB的长。OPC

B

图5

3、如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，

∠BOC=60o(1)求证：PB是⊙O的切线。

(2)若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。

4、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，是点C劣弧AB上任一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E若PA=10，求△PDE的周长

1、如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，P是CD上一点，

则∠BPC=____________

2、如图，小明在操场上从点O出发，沿直线前进5米后向左转45，再沿直线前进5米后，又向左转

0450，……照这样走下去，他第一次回到出发地O点

时，一共走了_____米。

3、求半径为6的正六边形的中心角度数.周长和面积。

35、如图（1）所示，直线yx3与x轴相交于

4点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F。所示，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r。

【考点10】正多边形的计算

(n2)18001、正n边形的每内角=

n2、正n边形的中心角=

360n04已知⊙O1，⊙O2，⊙O3，尺规作图:(1)作出⊙O1的内接正三角形;(2)作出⊙O2的内接正四边形;(3)作出⊙O3的内接正六边形

36003、正n边形的外角=

n4、边心距r、半径R、边长a之间的关系：

aR2r2()2

25、正n边形的周长C=na6、正n边形的面积S=nCr/2

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