九年级数学教学总结

九年级数学教学总结

九年级数学教学总结

这学期根据学校工作安排，我担任

初三级数学教学。一期来，我能够吃透教材，按课改的要求去上课，在教学过程中，我比较注重以下几点：1．深入了解学生。

为了了解学生的知识水平和学习能力，以便备课时能根据学生的具体设计教学方案，我主动和学生进行沟通，了解学生已掌握知识的情况和理解能力，然后根据学生的知识水平和学习能力来设计教学方案。2、深入钻研教材，认真备课。

教材是教学的依据，同时也是学生学习的主要参考书，所以我重视教材的钻研。每一节课都在上课前花大量进行备课，在备课过程中，一是在不离开教材的原则下，参考其他教科书，对比它们的不同之处，寻求让学生更容易接受的教法。

二是根据学生的知识水平和学习能力，对课本知识进行适当处理，设置成经过学生独立思考或合作讨论能解决的问题，从而使学生能够顺利地完成每一节的学习任务，并且每一节课都学有所得。

3．对教学内容进行适当补充。

由于新教材与旧教材相比，删去了部分内容，但是，一方面删去的内容中有部分无论是对解决问题带来方便，还是对学生今后进一步学习都是有益的；另一方面，考试命题者还没有完全从旧教材中跳出来，经常出一些需要用旧课本知识解决的题目，并狡辩说课改后只要与课本内容有点占边的题目都不算超标，同时，尽管提倡素质教育，反对应试教育，但社会对学校、教师的评价也只是看学生的考试分数。因此，本学期我对教学内容进行了适当的补充，扩大了学生的知识面，也提高了应对命题者说“要与课本内容有点占边的题目都不算超标”。的能力。4．坚持学生为主体。

在课堂上，坚持学生为学习的主体，老师只充当组织者和引导者，根据学生的知识水平和学习能力，引导学生思考、讨论，使学生通过独立思考或合作探究去学习，并在解决一个一个问题中掌握知识，从而培养了学生的学习能力和解决问题的能力。5、认真批改并及时讲评作业

作业是学生对所学知识巩固的过程。为了做到布置作业有针对性，有层次性，我常常多方面的搜集资料，对课本习题和各种辅导资料进行筛选，力求每一次练习都能让学生起到最大的效果。同时对学生的作业批改及时、认真，并分析学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题及时评讲，使学生能及时纠正自己作业中的错误。本人也根据反映出的情况及时改进自己的教学方法，做到有的放矢。6、取得的成绩和存在问题：

通过努力学生的学习能力和解决问题的能力得到了较大的提高，中等难度的问题大部分学生能独立解决，难度较大的问题也有部分学生能解决或通过合作讨论后能解决；段考，有50%学生段考成绩在90分以上，期考有人成绩在90分以上。

存在问题：（1）学生基础较差，有分学生对初一、二课本里中等难度的题目都不会做，难度较大的题目更是几乎没有人会做；（2）大部分学生有粗枝大叶的作风，经常不小心做错题，影响了考试成绩。《九年级数学教学总结》一文由斐斐课件园搜集整理，版权归作者所有,转载请注明出处!标签(Cl_AD760_100)错误，请检查标签代码。

扩展阅读：人教版九年级下册数学教案

.第二十六章二次函数

[本章知识要点]

1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．

3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．

4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

26．1二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]

例1．m取哪些值时，函数y(m2m)x2mx(m1)是以x为自变量的二次函数？

分析若函数y(m2m)x2mx(m1)是二次函数，须满足的条件是：

m2m0．

解若函数y(m2m)x2mx(m1)是二次函数，则m2m0．解得m0，且m1．

因此，当m0，且m1时，函数y(m2m)x2mx(m1)是二次函数．回顾与反思形如yax2bxc的函数只有在a0的条件下才是二次函数．

探索若函数y(m2m)x2mx(m1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得S6a2(a0)，其中S是a的二次函数；

x2(x0)，其中y是x的二次函数；（2）由题意，得y40x≥0且是正整数），（3）由题意，得y100001.98%x1000（

其中y是x的一次函数；

11（4）由题意，得Sx(26x)x213x(0x26)，其中S是x的二

22次函数．

例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．

15解（1）S1524x22254x2(0x)；

2（2）当x=3cm时，S225432189（cm2）．[当堂课内练习]

1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx21x（2）y(x2)(x2)(x1)2

（4）yx22x3

22．当k为何值时，函数y(k1)xkk1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x（cm）．

(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]

A组

1．已知函数y(m3)xm27是二次函数，求m的值．

2．已知二次函数yax2，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值．

3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．

4．用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）

A．y(m1)2x2B．y(m1)2x2C．y(m21)x2D．y(m21)x2

6．下列函数关系中，可以看作二次函数yax2bxc（a0）模型的是（）

A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系[本课学习体会]

26.2用函数观点看一元二次方程（第一课时）

教学目标

(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．

(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．

3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点

1．体会方程与函数之间的联系．

2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点

1．探索方程与函数之间的联系的过程．

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?

2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究

1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.

观察：教材22页，学生小组交流.

归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高

1.根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声

2.抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.

3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华

本节课学了如下内容：

1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．

2．理解了二次函数与x轴交点的个数

与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.

3.数学方法:分类讨论和数形结合.

反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案

Ⅴ．课后作业P231.3.5

26．2二次函数的图象与性质（1）

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数yax2的图象，概括出图象的特点及函数的性质．[MM及创新思维]

我们已经知道，一次函数y2x1，反比例函数y是、

，那么二次函数yx2的图象是什么呢？

（1）描点法画函数yx2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数yx2的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y2x2解列表x-318-28-8-12-201*12-228-8318（2）y2x2

3的图象分别xy2x2y2x2-18-18分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图

象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，

曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

y2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，

曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

例2．已知y(k2)xk2k4是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

k2k42解（1）由题意，得，解得k=2．

k20（2）二次函数为y4x2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

1解（1）由题意，得SC2(C0)．

16列表：C2468119SC2141644描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．

（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．

（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．[当堂课内练习]

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

1（1）y3x2（2）y3x2（3）yx2

322．（1）函数yx2的开口，对称轴是，顶点坐标是；

31（2）函数yx2的开口，对称轴是，顶点坐标

4是．

3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

1（1）y4x2（2）yx2

42．填空：

（1）抛物线y5x2，当x=时，y有最值，是．（2）当m=时，抛物线y(m1)xm（3）已知函数y(k2k)xk时，y随x的增大而增大．3．已知抛物线ykxk2k1022m开口向下．

2k1是二次函数，它的图象开口，当x

中，当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线yax2经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5cm3．6．二次函数yax2与直线y2x3交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减

小．

7．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出MON的面积．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（2）

[本课知识要点]

会画出yax2k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]

同学们还记得一次函数y2x与y2x1的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数yx2与yx21的图象之间的关系吗？

，那么yx2与yx22的图象之间又有何关系？

．[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2x22的图象．解列表．x-31820-2810-124002124281031820

y2x2y2x22描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y2x2与y2x22的图象之间的关系吗？

例2．在同一直角坐标系中，画出函数yx21与yx21的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线yx21得到抛物线yx21．解列表．x-3-8-2-3-5-10-201-110-22-3-53-8

yx21yx21-10-10描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

可以看出，抛物线yx21是由抛物线yx21向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线yx21和抛物线yx21分别是由抛物线yx2向上、向下平移一个单位得到的．

探索如果要得到抛物线yx24，应将抛物线yx21作怎样的平移？

12x相同，顶点纵坐标是-2，且抛2物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），

例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与y因此所求函数关系式可看作yax22(a0)，又抛物线经过点（1，1），所以，1a122，解得a3．故所求函数关系式为y3x22．

回顾与反思yax2k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向a0a0对称轴顶点坐标yax2k[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

111yx2，yx22，yx22．

222观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位

1置．你能说出抛物线yx2k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

212．抛物线yx29的开口，对称轴是，顶点坐标

41是，它可以看作是由抛物线yx2向平移个单位得到的．

43．函数y3x23，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．[本课课外作业]

A组

1111．已知函数yx2，yx23，yx22．

333（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

12x5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．312．不画图象，说出函数yx23的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明

41它是由函数yx2通过怎样的平移得到的．

4（3）试说出函数y3．若二次函数yax22的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4．在同一直角坐标系中yax2b与yaxb(a0,b0)的图象的大致位置是()

5．已知二次函数y8x2(k1)xk7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（3）

[本课知识要点]

会画出ya(xh)2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]

我们已经了解到，函数yax2k的图象，可以由函数yax2的图象上下

11(x2)2的图象，是否也可以由函数yx2平移而得22呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

111yx2，y(x2)2，y(x2)2，并指出它们的开口方向、对称轴和

222平移所得，那么函数y

顶点坐标．解列表．x1yx22-3-2-102121211222392

1125192202y(x2)22822描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2；顶点坐标分别是

（0，0），（-2，0），（2，0）．

1回顾与反思对于抛物线y(x2)2，当x时，函数值y随x的增大

2而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值y=．

11探索抛物线y(x2)2和抛物线y1(x2)2分别是由抛物线yx2向

2221左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线y(x4)2，应将抛物线

21yx2作怎样的平移？

212

92112y(x2)2201*25282例2．不画出图象，你能说明抛物线y3x2与y3(x2)2之间的关系吗?解抛物线y3x2的顶点坐标为（0，0）；抛物线y3(x2)2的顶点坐标为（-2，0）．

因此，抛物线y3x2与y3(x2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x2．抛物线y3(x2)2是由y3x2向左平移2个单位而得的．

回顾与反思ya(xh)2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向a0a0对称轴顶点坐标ya(xh)

[当堂课内练习]

21．画图填空：抛物线y(x1)2的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线yx2向平移个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y2x2，y2(x3)2，y2(x3)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]

A组

1111．已知函数yx2，y(x1)2，y(x1)2．

222（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．

12．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得

211到抛物线y(x1)2和y(x1)2？

223．函数y3(x1)2，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x

时，函数取得最值，最值y=．

4．不画出图象，请你说明抛物线y5x2与y5(x4)2之间的关系．

B组

5．将抛物线yax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点

（1，3），求a的值．[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（4）

[本课知识要点]

1．掌握把抛物线yax2平移至ya(xh)2+k的规律；

2．会画出ya(xh)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]

由前面的知识，我们知道，函数y2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y2x22的图象；函数y2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y2(x3)2的图象，那么函数y2x2的图象，如何平移，才能得到函数y2(x3)22的图象呢？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

111yx2，y(x1)2，y(x1)22，并指出它们的开口方向、对称轴和

222顶点坐标．解列表．

-3-2-10123xyyy12x2922921201*321221232921(x1)2286200-2201(x1)22252

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．

它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数ya(xh)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．

探索你能说出函数ya(xh)2+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．开口方向ya(xh)2+ka0a0对称轴顶点坐标例2．把抛物线yx2bxc向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线yx2，求b、c的值．

分析抛物线yx2的顶点为（0，0），只要求出抛物线yx2bxc的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．

b2b2b2b2c(x)c．解yxbxcxbx442422

b2b22，向上平移2个单位，得到y(x)c24bb222，再向左平移4个单位，得到y(x4)c24bb22)，而抛物线yx2的顶点为（0，0），则其顶点坐标是(4,c24b4022cb204b8解得

c14探索把抛物线yx2bxc向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线yx2，也就意味着把抛物线yx2向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线yx2bxc．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．

[当堂课内练习]

1．将抛物线y2(x4)21如何平移可得到抛物线y2x2（）

A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

32．把抛物线yx2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物

2线的函数关系式为．

113．抛物线y12xx2可由抛物线yx2向平移个单位，再

22向平移个单位而得到．[本课课外作业]

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y3x2，y3(x2)2，y3(x2)21，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．将抛物线yx22x5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．

1313．将抛物线yx2x如何平移，可得到抛物线yx22x3？

222B组4．把抛物线yx2bxc向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物

线

yx23x5，则有

（）

A．b=3，c=7B．b=-9，c=-15C．b=3，c=3D．b=-9，c=215．抛物线y3x2bxc是由抛物线y3x2bx1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．

6．将抛物线yax2(a0)向左平移h个单位，再向上平移k个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（5）

[本课知识要点]

1．能通过配方把二次函数yax2bxc化成ya(xh)2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM及创新思维]

我们已经发现，二次函数y2(x3)21的图象，可以由函数y2x2的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数y2(x3)21的开口，对称轴是，顶点坐标是．那么，对于任意一个二次函数，如yx23x2，你能很容易

地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]

例1．通过配方，确定抛物线y2x24x6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解y2x24x6

2(x22x)62(x22x11)62(x1)162

2(x1)28因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：

x-2-101234y2x24x6-1006860-10描点、连线，如图26．2．7所示．

回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索对于二次函数yax2bxc，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．例2．已知抛物线yx2(a2)x9的顶点在坐标轴上，求a的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

a22(a2)2)9解yx(a2)x9(x，242a2(a2)2则抛物线的顶点坐标是,9．

42a20，2解得a2．

当顶点在x轴上时，有(a2)20，当顶点在y轴上时，有94解得a4或a8．

所以，当抛物线yx2(a2)x9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是2，4，8．[当堂课内练习]

1．（1）二次函数yx22x的对称轴是．

（2）二次函数y2x22x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．

（3）抛物线yax24x6的顶点横坐标是-2，则a=．

12．抛物线yax22xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？

3[本课课外作业]

A组

151．已知抛物线yx23x，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的

22图象．

2．利用配方法，把下列函数写成ya(xh)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）yx26x1

（2）y2x23x4

（3）yx2nx（4）yx2pxq

3．已知y(k2)xk22k6是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

B组4．当a0时，求抛物线yx22ax12a2的顶点所在的象限．

5.已知抛物线yx24xh的顶点A在直线y4x1上，求抛物线的顶点坐标．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（6）

[本课知识要点]

1．会通过配方求出二次函数yax2bxc(a0)的最大或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM及创新思维]

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y10x2100x201*．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x23x5；（2）yx23x4．

分析由于函数y2x23x5和yx23x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解（1）二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

349因为y2x23x5=2(x)2，

48349所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48（2）二次函数yx23x4中的二次项系数-1＜0，因此抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

325因为yx23x4=(x)2，

24325所以当x时，函数yx23x4有最大值是．

24回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

探索试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数yx22x3的最大值或最小值．

例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．

解由表可知x+y=200，

因此，所求的一次函数的关系式为yx200．设每日销售利润为s元，则有

sy(x120)(x160)21600．

因为x201*,x1200，所以120x200．

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．

回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．

例3．如图26．2．8，在RtABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，

设DE=x，DF=y．

（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

AEACDF8y．

（2）由DE∥BC，得

DEAEx8y，即，BCAC48所以，y82x，x的取值范围是0x4．（3）Sxyx(82x)2x28x2(x2)28，所以，当x=2时，S有最大值8．

[当堂课内练习]

1．对于二次函数yx22xm，当x=时，y有最小值．

2．已知二次函数ya(x1)2b有最小值1，则a与b之间的大小关系是（）

A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定

3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]

A组

1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）yx22x；（2）y2x22x1．2．已知二次函数yx26xm的最小值为1，求m的值．，

3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y0.1x22.6x43(0x30)．y值越大，表示接受能力越强．

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接

受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？

B组

4．不论自变量x取什么数，二次函数y2x26xm的函数值总是正值，求m的取值范围．

5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．

（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．[本课学习体会]

26.2二次函数的图象与性质（7）

[本课知识要点]

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM及创新思维]

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数ykxb(k0)的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数yk(k0)的关系式时，x通常只需要一个条件：如果要确定二次函数yax2bxc(a0)的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]

例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，

在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是yax2(a0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．

解由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入yax2(a0)，得

2.4a0.82

15．4所以a因此，函数关系式是y152x．4例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．

分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为

yax2bxc的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为

ya(x1)23，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为ya(x3)(x5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入ya(x3)22，即可求出a的值．

解（1）设二次函数关系式为yax2bxc，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c=-1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到

ab1ab3解这个方程组，得

a=2，b=-1．

所以，所求二次函数的关系式是y2x22x1．

（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为ya(x1)23，又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到

1a(01)23

解得a4．

所以，所求二次函数的关系式是y4(x1)234x28x1．（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为ya(x3)(x5)．又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到3a(03)(05)．

1．5112所以，所求二次函数的关系式是y(x3)(x5)x2x3．

555（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

解得a（1）一般式：yax2bxc(a0)，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：ya(xh)2k(a0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

（3）交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求．[当堂课内练习]

1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．[本课课外作业]

A组1．已知二次函数yx2bxc的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），（1）求该二次函数的关系式；

（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成ya(xh)2k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．

2．已知二次函数的图象与一次函数y4x8的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．

3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面

2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

4．已知二次函数yax2bxc，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．

B组

5．已知二次函数yx2bxc的图象经过（1，0）与（2，5）两点．(1)求这个二次函数的解析式；

(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数yx2bxc解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同．

6．抛物线yx22mxn过点（2，4），且其顶点在直线y2x1上，求此二次函数的关系式．[本课学习体会]

26.3实践与探索（1）

[本课知识要点]

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．

[MM及创新思维]

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在201*雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？[实践与探索]

例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是

125yx2x，问此运动员把铅球

1233推出多远？

解如图，铅球落在x轴上，则y=0，

125因此，x2x0．

1233解方程，得x110,x22（不合题意，舍去）．

所以，此运动员把铅球推出了10米．

探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外

5一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距

3铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．

例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）

分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．

解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．

由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），因此，设抛物线为ya(x1)22.25．

将A（0，1．25）代入上式，得1.25a(01)22.25，解得a1

所以，抛物线的函数关系式为y(x1)22.25．当y=0时，解得x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．

（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y(xh)2k．由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h=-1．6，k=3．7．所以，水流最大高度应达3．7m．[当堂课内练习]

1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？[本课课外作业]

A组

1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，

达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

B组

4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处

2距水面10m，入水处距池边的距离为4m，同时

3运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．

（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入

3水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说

5明理由．

[本课学习体会]

26.3实践与探索（2）

[本课知识要点]

让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．[MM及创新思维]

二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费

为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．[实践与探索]

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

b24acb2（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ya(x)的形式，写

2a4a出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均

获利最多，是多少？

分析若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。

解（1）根据题意，得

y(x30)[602(70x)]500

2x2260x6500(30≤x≤70)。（2）y2x2260x65002(x65)21950。

顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：X（十万元）012y11．51．8（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

解（1）设二次函数关系式为yax2bxc。

c1由表中数据，得abc1.5。

4a2bc1.81a103解得b。

5c1所以所求二次函数关系式为y123xx1。105（2）根据题意，得S10y(32)xx25x10。

565（3）Sx25x10(x)2。

24由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．[当堂课内练习]

1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）

A、5元B、10元C、15元D、20元2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且

x277yx，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出

101010年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？[本课课外作业]

A组

1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），

与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？

3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

B组

4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过140千米/时，对这种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米/时）0102030405060刹车距离00．31．02．13．65．57．81以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；

2观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；3该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？

[本课学习体会]

26.3实践与探索（3）

[本课知识要点]

（1）会求出二次函数yax2bxc与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数yax2bxc与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

[MM及创新思维]

给出三个二次函数：（1）yx23x2；（2）yx2x1；（3）

yx22x1．

它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数yax2bxc的图象寻找方程不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的ax2bxc0(a0)，解？

[实践与探索]

例1．画出函数yx22x3的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x22x30有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

解图象如图26．3．4，

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．

（2）当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程x22x30的解相同．

（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例2．（1）已知抛物线y2(k1)x24kx2k3，当k=时，抛物线与x轴相交于两点．

（2）已知二次函数y(a1)x22ax3a2的图象的最低点在x轴上，则a=．

（3）已知抛物线yx2(k1)x3k2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且2217，则k的值是．

分析（1）抛物线y2(k1)x24kx2k3与x轴相交于两点，相当于方程

2(k1)x24kx2k30有两个不相等的实数根，即根的判别式＞0．（2）二次函数y(a1)x22ax3a2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a1)x22ax3a20的两个实数根相等，即=0．

（3）已知抛物线yx2(k1)x3k2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程x2(k1)x3k20的两个根，又由于2217，以及22()22，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．

回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．例3．已知二次函数yx2(m2)xm1，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数yx2(m2)xm1的

图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x2(m2)xm10有两个不相等的实数根，即＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程x2(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程x2(m2)xm10有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①＞0，②

x1x20．

解（1）=(m2)24(1)(m1)m28，由m20，得m280，所以＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．（2）由x1x2m20，得m2；由x1x2m10，得m1；又由（1），＞0，因此，当m1时，两个交点都在原点的左侧．

（3）由x1x2m20，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．

探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数

yx2(m2)xm1是由函数yx2上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．[当堂课内练习]

1．已知二次函数yx23x4的图象如图，则方程x23x40的解是，不等式x23x40的解集是，不等式x23x40的解集是．

2．抛物线y3x22x5与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．

3．已知方程2x23x50的两根是轴的两个交点间的距离为．

5，-1，则二次函数y2x23x5与x24．函数yax2ax3x1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．

[本课课外作业]

A组

1．已知二次函数yx2x6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程x2x60的解是什么？

（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？2．如果二次函数yx26xc的顶点在x轴上，求c的值．

3．不论自变量x取什么数，二次函数y2x26xm的函数值总是正值，求m的取值范围．

4．已知二次函数y2x24x6，

求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x为何值时，y＞0．

5．你能否画出适当的函数图象，求方程x2x2的解？

B组

6．函数ymx2x2m（m是常数）的图象与x轴的交点有（）

A．0个B．1个C．2个D．1个或2个7．已知二次函数yx2axa2．

（1）说明抛物线yx2axa2与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？[本课学习体会]

26.3实践与探索（4）

[本课知识要点]

掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．[MM及创新思维]

上节课的作业第5题：画图求方程x2x2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．

甲：将方程x2x2化为x2x20，画出yx2x2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．

乙：分别画出函数yx2和yx2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．

你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．[实践与探索]

例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）x22x30；（2）2x25x20．

分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线yx2的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．

解（1）在同一直角坐标系中画出函数yx2和y2x3的图象，如图26．3．5，

得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程x22x30的解为3，1．

（2）先把方程2x25x20化为

x2

5x10，然后在同一直角2坐标系中画出函数yx2和y5x12的图象，如图26．3．6，

11得到它们的交点（，）、（2，4），

241则方程2x25x20的解为，2．

2回顾与反思一般地，求一元二次方程ax2bxc0(a0)的近似解时，可先将方程ax2bxc0化为x2ybcx0，然后分别画出函数yx2和aabcx的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．aa例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

13yxy3x6(1)；（2）．222yx2xyx213分析（1）可以通过直接画出函数yx和yx2的图象，得到它们的

22交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．

解（1）在同一直角坐标系中画出函数yx2和

13yx的图象，如图26．3．7，

2239得到它们的交点（，）、（1，1），

42313x1yx2x21,则方程组的解为．22y9y21yx214

（2）在同一直角坐标系中画出函数yx22x和

y3x6的图象，如图26．3．8，

y3x6得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为2yx2xx12x23．,y10y215

探索（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线yx2的图象，请尝试一下．[当堂课内练习]

1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）x2x10（精确到0．1）；（2）3x25x20．

yx22．利用函数的图象，求方程组的解：2yx[本课课外作业]

A组

1．利用函数的图象，求下列方程的解：

321（1）x2x10（2）x2x0

2332．利用函数的图象，求下列方程组的解：

yxyx6（1）；（2）．22y(x1)5yx2xB组

3．如图所示，二次函数y1ax2bxc(a0)与

y2kxb(k0)的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使y1y2成立的x的取值范围。

[本课学习体会]

第二十六章小结与复习

一、本章学习回顾1．知识结构

实二二次函数的图象

际次二次函数的应用问函二次函数的性质题数

2．学习要点

（1）能结合实例说出二次函数的意义。（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。3．需要注意的问题

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。二、本章复习题

A组

一、填空题1．已知函数ymxm2m，当m=时，它是二次函数；当m=时，

抛物线的开口向上；当m=时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．2．抛物线yax2经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为．3．抛物线y(k1)x2k29，开口向下，且经过原点，则k=．4．点A（-2，a）是抛物线yx2上的一点，则a=；A点关于原点的对称点B是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线yx2上的是．

5．若抛物线yx24xc的顶点在x轴上，则c的值是．

16．把函数yx2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新

6图象的函数关系式为．

7．已知二次函数yx28xm的最小值为1，那么m的值等于．8．二次函数yx22x3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为．

9．抛物线yx22x1的对称轴是，根据图象可知，当x时，y随x的增大而减小．

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为．

11．若二次函数yx2bxc的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为．

12．抛物线yx22x3的开口方向向，顶点坐标是，对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x=时，y有最值是．

13．抛物线yx2xc与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若

x1x23，那么c值为，抛物线的对称轴为．14．已知函数y(m1)x22xm24．当m时，函数的图象是直线；

22当m

时，函数的图象是抛物线；当m时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．

15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式．二、选择题

16．下列函数中，是二次函数的有（）

1①y12x2②y2③yx(1x)④y(12x)(12x)

x

A、1个B、2个C、3个D、4个17．若二次函数y(m1)x2m22m3的图象经过原点，则m的值必为（）

A、-1或3B、-1C、3D、无法确定18．二次函数

yx22(m1)x4m的图象与x轴

（）

A、没有交点B、只有一个交点C、只有两个交点D、至少有一个交点

19．二次函数yx22x2有（）

A、最大值1B、最大值2C、最小值1D、最小值2

120．在同一坐标系中，作函数y3x2，y3x2，yx2的图象，它们的共

3同特点是

（D）

A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下

C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

21．已知二次函数ykx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是

（）

77A、KB、K且k0

4477C、KD、K且k0

441122．二次函数y(x1)22的图象可由yx2的图象

22（）

A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，

每床每晚应提高（）

A、4元或6元B、4元C、6元D、8元

24．若抛物线yax2bxc的所有点都在x轴下方，则必有（）

A、a0,b24ac0B、a0,b24ac0C、a0,b24ac0D、a0,b24ac0

25．抛物线y2x24x1的顶点关于原点对称的点的坐标是（）

A、（-1，3）B、（-1，-3）C、（1，3）D、（1，-3）三、解答题

126．已知二次函数yx22x1．

2（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；（3）作出函数图象的草图；

（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y=0；x为何值时，y＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．

29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．

（1）求二次函数的函数关系式；

（2）设此二次函数图象的顶点为P，求ABP的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：

y3x1（1）2x2x30；（2）．2yxx31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

B组

一、选择题

32．若所求的二次函数的图象与抛物线y2x24x1有相同的顶点，并且在

对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为（D）

A、yx22x4B、yax22axa3(a0)C、y2x24x5D、yax22axa3(a0)33．二次函数yax2bxc(a0)，当x=1时，函数y有最大值，设(x1,y1)，

（x2,y2)是这个函数图象上的两点，且1x1x2，则（）

A、a0,y1y2B、a0,y1y2C、a0,y1y2D、a0,y1y2

xa3134．若关于x的不等式组无解，则二次函数y(2a)x2x的

4x155a图象与x

（）

A、没有交点B、相交于两点

C、相交于一点D、相交于一点或没有交点二、解答题

35．若抛物线y2xm4m3(m5)的顶点在x轴的下方，求m的值．36．把抛物线yx2mxn的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是yx22x2，求m、n．

137．如图，已知抛物线yx2(5m2)xm3，与

2x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，（1）求m的值；

（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．

44

2轴38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．

C组

解答题

39．如图，已知二次函数yx2mxn，当x=3时，

有最大值4．

（1）求m、n的值；

（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；

（3）当y＜0时，求x的取值范围；

（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点坐标．

40．阅读下面的文字后，解答问题．

2

有这样一道题目：“已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(0,a)、

B(1,-2)、、，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程，若不能请说明理由；

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．

41．已知开口向下的抛物线yax2bxc与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2，P为顶点，∠APB=90°，若x1、x2是方程

x22(m2)xm2210的两个根，且x1x226．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．

42．已知二次函数yx2(m2)x3(m1)的图象如图所示．

（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）求m的取值范围；

45

（3）在（2）的情况下，若OAOB6，求C点坐标；（4）求A、B两点间的距离；（5）求ABC的面积S．

第二十六章自我检测题（时间45分钟，满分100分）

一、精心选一选（每题4分，共20分）1

．抛物线

yx24的顶点坐标是

（）

A、（2，0）B、（-2，0）C、（1，-3）D、（0，-4）

2．若（2，5）、（4，5）是抛物线yax2bxc上的两个点，则它的对称轴是（）

bA、xB、x1C、x2D、x3

aa3．已知反比例函数y(a0)，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数

xyax2a的图象经过的象限是

（）

A、第三、四象限B、第一、二象限C、第二、三、四象限D、第一、二、三象限

4．抛物线yax2bxc与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状

与抛物线y2x2相同，则yax2bxc的函数关系式为（）

A、y2x2x3B、y2x24x5C、y2x24x8D、y2x24x6

5．把抛物线yx2bxc向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物（）

46线

yx22x1，则A、b=2，c=-2B、b=-6，c=6C、b=-8，c=14D、b=-8，c=18

二、细心填一填（每空3分，共45分）6．若y(2m)xm22是二次函数，则m=。

7．二次函数yx22x的开口，对称轴是。

123xx的最低点坐标是，当x时，y随22x的增大而增大。

8．抛物线y9．已知二次函数yax22的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为，它与x轴的交点的个数为个。

10．若y与x2成正比例，当x=2时，y=4，那么当x=-3时，y的值为。11．抛物线yx23x4与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是。

12．有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为。

13．抛物线yax2与直线y3xb只有一个公共点，则b=。14．已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=。15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）

、。三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）

16．已知二次函数yx2bx1的图象经过点（3，2）。（1）求这个二次函数的关系式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

17．根据下列条件，求二次函数的关系式：

（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；

（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。

18．已知抛物线yax24axt与x轴的一个交点为A（-1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。

19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。

（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？

相似形图形的相似

教学目标

通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形．

在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点

引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力．教学难点

理解相似图形的概念．教学过程

41.2.一、观察课本第42页图24.1.1、图2，每组图形中的两图之间有什么关系？

二、归纳：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同．具有相同形状的图形叫相似图形．师可结合实例说明：

⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形．三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．

四、观察课本第43页图24.1.3中的三组图形，它们是否相似形？为什么？五、想一想：

放大镜下的图形与原来的图形相似吗？

放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？可让学生动手实验，然后讨论得出结论．

六、观察课本第43页图24.1.4中的三组图形，它们是否相似形？为什么？让学生通过比较图24.1.3与图24.1.4，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点．

七、课本第43页“试一试”．

让生各自独立完成作图，再展示评析．八、巩固：

⒈课本第43页练习．

⒉课本第44页习题24.1．

对于第2题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的看法．九、小结：

你通过这节课的学习，有哪些收获？

十、作业：略．

相似三角形

教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质教学重点：相似三角形的判定与性质教学过程：一知识要点：

1、相似形、成比例线段、黄金分割

相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线

ac段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那

bd么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0618。这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？（2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？

（3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：

（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米

（2）15厘米，25厘米，45厘米，65厘米（3）11厘米，22厘米，33厘米，44厘米（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米。

例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟鞋？

例4：等腰三角形都相似吗？

矩形都相似吗？正方形都相似吗？2、相似形三角形的判断：a两角对应相等

b两边对应成比例且夹角相等c三边对应成比例

3、相似形三角形的性质：

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