【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式
【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式
【编者按】二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础。对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：
1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列结论：1）
是非负数；（2）
；（3）
；4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
一．知识框架
二．知识概念
1.二次根式定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，√ā表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）
2.二次根式概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。其中，a叫做被开方数。
3.二次根式√ā的简单性质和几何意义（1）a≥0;√ā≥0[双重非负性]
（2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式]
（3)c=√a^2+b^2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。
4.二次根式的乘法和除法(1)积的算数平方根的性质√ab=√a√b（a≥0，b≥0）(2)乘法法则
√a√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。(3)除法法则
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。(4)有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。5.二次根式的加法和减法（1）同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
例如：2√5+√5=3√56.知识与技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）=a（a≥0），a=a（a≥0）．
2（3）掌握ab＝ab（a≥0，b≥0），ab=ab；
aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．
bbbb（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．7.教学重点
（1）二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）＝a（a≥0）；a22
=a（a≥0）及其运用．
（2）二次根式乘除法的规定及其运用．（3）最简二次根式的概念．
（4）二次根式的加减运算．8.教学难点
（1）对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）＝a（a≥0）及a=a（a≥0）
22的理解及应用．
（2）二次根式的乘法、除法的条件限制．
（3）利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．
（参考教材：初中数学九年级人教版）
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【人教版】初中数学九年级知识点总结：21二次根式
【编者按】二次根式是初中数学的基础性内容，也是考试的常考点。这一部分知识是在学完了八年级的反比例函数、勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础。因此，对于这种基础性的知识希望同学们能够牢固的掌握。一、目标与要求
对于本章内容，学习后应达到以下几方面要求：
1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列结论：1）
是非负数；（2）
；（3）
；4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。二、知识框架
三、重点
1.二次根式a（a≥0）的内涵，a（a≥0）是一个非负数，（a）2＝a（a≥0），a=a（a≥0）及其运用。
2.二次根式乘除法的规定及其运用。
3.ab＝ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b≥0）及它们的运用。
ab24.=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算。
5.最简二次根式的概念。6.二次根式的加减运算的运用。
7.二次根式的乘除、乘方等运算规律；四、难点
1.对a（a≥0）是一个非负数的理解，对等式（a）2＝a（a≥0）及a=a（a≥0）的理解及应用。
22.用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数，用探究的方法导出（a）=a（a≥0）。
23.二次根式的乘法、除法的条件限制。4.会判断这个二次根式是否是最简二次根式。
5.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式。五、知识点、概念总结
1.二次根式定义：一般形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，√ā表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）
2.二次根式概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。其中，a叫做被开方数。3.二次根式的性质（1）(a)2a(a0)
a(a0)（2）a2a
a(a0)
（3）ab（4）
ababab(a0,b0)
(a0,b0)
4.二次根式√ā的几何意义
（1）a≥0;√ā≥0[双重非负性]
（2)c=√a2+b2表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论。5.最简二次根式
若二次根式满足被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。6.化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。7.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8.二次根式的乘法和除法(1)积的算数平方根的性质√ab=√a√b（a≥0，b≥0）(2)乘法法则
√a√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。(3)除法法则
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。(4)有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。9.二次根式的加法和减法（1）同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。10.二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
（参考教材：初中数学九年级人教版）
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