高中数学数列知识点总结
数列
一、数列定义:
数列是按照一定次序排列的一列数,是定义在正整数集N(或它的有限子集
*{1,2,3,,n})上的函数f(n),当自变量从1开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列
函数值为f(1),f(2),;通常用an代替f(n),于是数列的一般形式常记为a1,a2,或简记为{an},其中an表示数列{an}的通项。
注意:(1){an}与an是不同的概念,{an}表示数列a1,a2,,而an表示的是数列的第n项;
S1(n1)(2)an和Sn之间的关系:anSS(n2)n1n二、等差数列、等比数列的性质:
等差数列如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫等差数列等比数列如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列定义递推公式通项公式anan1d(nN*,n2)anan1q(nN*,n2)ana1qn1(a1,q0)ana1(n1)dnSn(a1an)2Snna1n(n1)d2求和公式()任意两个数a,b有且只有一个等差中等差(比)ab项,即为A=;两个数的等差中项中项两个数a,b的等比中项为G(满足2G2ab,ab0)a1ana2_________anma中2就是这两个数的算术平均数。等差(比)a1ana2_________anm数列的性2a中质
若mnpq,则amanapaq;在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列若mnpq,则amanapaq;在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列若数列{an}与{bn}均为等差数列,则若数列{an}与{bn}均为等差数列,则公差为;{mankbn}仍为等差数列,{manbn}仍为等比数列,公比为;{man}仍为等比数列,公比为;bn三、判定方法:
(1)等差数列的判定方法:
①定义法:an1and或anan1d(n2)(d为常数){an}是等差数列②中项公式法:2an1anan2{an}是等差数列
③通项公式法:anpnq(p,q为常数){an}是等差数列④前n项和公式法:SnAnBn(A,B为常数){an}是等差数列(2)等比数列的判定方法:
①定义法:
2an1aq或nd(n2)(q是不为零的常数){an}是等比数列anan12②中项公式法:an1anan2(anan1an20){an}是等差数列③通项公式法:ancq(c,q是不为零常数){an}是等差数列④前n项和公式法:Snkqk(k2na1是常数){an}是等差数列q1四、数列的通项求法:
(1)观察法:如:(1)0.2,0.22,0.222,……(2)21,203,201*,201*7,……(2)化归法:通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。①递推式为an1and及an1qan(d,q为常数):直接运用等差(比)数列。②递推式为an1anf(n):迭加法
如:已知{an}中a111,an1an,求an24n21③递推式为an1f(n)an:迭乘法如:已知{an}中a12,an1n1an,求ann④递推式为an1panq(p,q为常数):
构造法:Ⅰ、由an1panq相减得(an2an1)p(an1an),则
an2pan1q{an1an}为等比数列。
Ⅱ、设(an1t)p(ant),得到pttq,t为等比数列。
如:已知a11,an12an5,求an⑤递推式为an1panq(p,q为常数):
两边同时除去qn1nqq,则{an}p1p1得
an1pan1anp1b,令,转化为,bbnn1nn1nnqqqqqqq再用④法解决。如:已知{an}中,a1511n1,an1an(),求an632⑥递推式为an2pan1qan(p,q为常数):
将an2pan1qan变形为an2tan1s(an1tan),可得出stp解出
stqs,t,于是{an1tan}是公比为s的等比数列。
如:已知{an}中,a11,a22,an2(3)公式法:运用an221an1an,求an33S1,n1SnSn1,n2
①已知Sn3n5n1,求an;②已知{an}中,Sn32an,求an;
2Sn(n2),求an③已知{an}中,a11,an2Sn12
五、数列的求和法:
(1)公式法:
①等差(比)数列前n项和公式:②123nnn1;2③123n(2)倒序相加(乘)法:
2222n(n1)(2n1)n(n1)23333];④123n[62如:①求和:SnCn2Cn3Cn(n1)Cn;
②已知a,b为不相等的两个正数,若在a,b之间插入n个正数,使它们构成以a为首项,b为末项的等比数列,求插入的这n个正数的积Pn;
(3)错位相减法:如:求和:Sx2x3xnx(4)裂项相消法:an23n012n1;ann(nk)1nkn;
如:①S1111;122334n(n1)1111;132435n(n2)1nn1,则Sn;
②S③若an(5)并项法:如:求S100123499100
(6)拆项组合法:如:在数列{an}中,an102n1,求Sn,
n六、数列问题的解题的策略:
分类讨论问题:
①在等比数列中,用前n项和公式时,要对公比q进行讨论;只有q1时才能用前n项和
公式,q1时S1na1
②已知Sn求an时,要对n1,n2进行讨论;最后看a1满足不满足an(n2),若满足an中的n扩展到N,不满足分段写成an
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五、数列
一、数列定义:
数列是按照一定次序排列的一列数,那么它就必定有开头的数,有相继的第二个数,有第三个数,……,于是数列中的每一个数都对应一个序号;反过来,每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此,数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,,n})上的函数f(n),当自变量从1开始由小到大依次取正整数时,相对应的一列函数值为通常用an代替f(n),于是数列的一般形式常记为a1,a2,或简记为{an},f(1),f(2),;
其中an表示数列{an}的通项。
注意:(1){an}与an是不同的概念,{an}表示数列a1,a2,,而an表示的是数列的第n项;
(2)数列的项与它的项数是不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,
它是一个函数值;而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值。S1(n1)(3)an和Sn之间的关系:an
SS(n2)n1n*如:已知{an}的Sn满足lg(Sn1)n(nN),求an。
二、等差数列、等比数列的性质:
定义等差数列如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫等差数列等比数列如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列anq(nN*,n2),或公差(比)anan1d(nN,n2),或*an1an1anan1and;q(q0);通项公式anamd=anam由错项相减法推得求和公式由倒序相加法推得Sn=①q1,Sn=②q1,Sn用函数的思想理解通
若{an}为等差数列ananb,则a,b;n若{an}为等比数列anca,则a,c;项公式等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点若{an}为等比数列,SnAanB,等差数列{an},SnAn2BnC,用函数的思想理解求和公式则a;A;B;则C;A;B;(其中的系数与为互为相反数,这是公式一很重要特点,若C0,说明:;注意前提条件q0,q1。)(n,Sn)在二次函数的若BA,说明:;等比数列{an},Sn3na,则a;{an}为递增数列;图象上,是一群孤立的点。{an}为递增数列;{an}为递减数列;增减性{an}为递减数列;{an}为常数列;{an}为常数列。{an}为摆动数列;等差(比)中项任意两个数a,b有且只有一个等差中项,即为;两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。a1ana2_________anm2a中两个数a,b的等比中项为;(ab0)a1ana2_________anma中2若mnpq,则____________;若mnpq,则____________;特别当mn2p,则;特别当mn2p,则;等差(比)数列的性质在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列,但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如:a1,a3,a5,;问公差为a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列,剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如:a1,a3,a5,;问公比为a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9是数列;公差为;Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差数是数列;公比为;a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9列。是数列;公比为;
a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9是数列;公差为;是数列;公比为;若数列{an}与{bn}均为等差数列,则若数列{an}与{bn}均为等差数列,则公差为;{mankbn}仍为等差数列,公比为;{manbn}仍为等比数列,{manbn}仍为等比数列,公比为;如:(1)在等差数列{an}中Sn10,S2n30,则S3n;
(2)在等比数列{an}中Sn10,S2n30,则S3n;另外,等差数列中还有以下性质须注意:
(1)等差数列{an}中,若anm,amn(mn),则amn;(2)等差数列{an}中,若Snm,Smn(mn),则Smn;
(3)等差数列{an}中,若SnSm(mn),则am1am2an;Smn;(4)若SPSq,则n时,Sn最大。(5)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,
则ambmS______T______;
ambnS______T______
(6)项数为偶数2n的等差数列{an},有S2n间的两项)
S偶S奇;n(a1a2n)2n2(anan1)(an与an1为中
S奇S偶;
项数为奇数2n1的等差数列{an},有S2n1(2n1)an(an为中间项)
S奇S偶;S奇S偶;S奇S偶;
等比数列中还有以下性质须注意:
(1)若{an}是等比数列,则{an}(0),{|an|}也是等比数列,公比分别;;
(2)若{an}是等比数列,则{三、判定方法:
(1)等差数列的判定方法:
1an},{an}也是等比数列,公比分别;;
2①定义法:an1and或anan1d(n2)(d为常数){an}是等差数列②中项公式法:2an1anan2{an}是等差数列
③通项公式法:anpnq(p,q为常数){an}是等差数列④前n项和公式法:SnAn2Bn(A,B为常数){an}是等差数列注意:①②是用来证明{an}是等差数列的理论依据。(2)等比数列的判定方法:
①定义法:
an1anq或
anan1d(n2)(q是不为零的常数){an}是等比数列
②中项公式法:an1anan2(anan1an20){an}是等差数列
n③通项公式法:ancq(c,q是不为零常数){an}是等差数列
22④前n项和公式法:Snkqk(ka1q1是常数){an}是等差数列
注意:①②是用来证明{an}是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法:(1)观察法:如:(1)0.2,0.22,0.222,……(2)21,203,201*,201*7,……(2)化归法:通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。
①递推式为an1and及an1qan(d,q为常数):直接运用等差(比)数列。②递推式为an1anf(n):迭加法如:已知{an}中a112,an1an14n12,求an
③递推式为an1f(n)an:迭乘法如:已知{an}中a12,an1n1nan,求an
④递推式为an1panq(p,q为常数):
an1panq构造法:Ⅰ、由相减得(an2an1)p(an1an),则
apaqn1n2{an1an}为等比数列。
Ⅱ、设(an1t)p(ant),得到pttq,t为等比数列。
如:已知a11,an12an5,求an⑤递推式为an1panqn(p,q为常数):
两边同时除去qn1得再用④法解决。如:已知{an}中,a156qp1,则{anqp1}
an1qn1pqanqn1q,令bnanqn,转化为bn1pqbn1q,
,an111n1an(),求an32⑥递推式为an2pan1qan(p,q为常数):
将an2pan1qan变形为an2tan1s(an1tan),可得出s,t,于是{an1tan}是公比为s的等比数列。
stpstq解出
如:已知{an}中,a11,a22,an2S1,n1(3)公式法:运用an
SnSn1,n223an113an,求an
2①已知Sn3n5n1,求an;②已知{an}中,Sn32an,求an;
③已知{an}中,a11,an五、数列的求和法:
2Sn22Sn1(n2),求an
(1)公式法:
①等差(比)数列前n项和公式:②123n;
③123n(2)倒序相加(乘)法:
012n如:①求和:SnCn2Cn3Cn(n1)Cn;
2222n(n1)(2n1)6;④123n[3333n(n1)2]
2②已知a,b为不相等的两个正数,若在a,b之间插入n个正数,使它们构成以a为首项,b为末项的等比数列,求插入的这n个正数的积Pn;
(3)错位相减法:如:求和:Sx2x23x3nxn(4)裂项相消法:an1121131n(nk)1231241nn1;an1nkn;
如:①S1341351n(n1)1n(n2);
②S;
③若an,则Sn;
(5)并项法:如:求S100123499100
n(6)拆项组合法:如:在数列{an}中,an102n1,求Sn,
六、数列问题的解题的策略:
(1)分类讨论问题:①在等比数列中,用前n项和公式时,要对公比q进行讨论;只有q1
时才能用前n项和公式,q1时S1na1
②已知Sn求an时,要对n1,n2进行讨论;最后看a1满足不满足
an(n2),若满足an中的n扩展到N,不满足分段写成an。
*(2)设项的技巧:
①对于连续偶数项的等差数列,可设为,a3d,ad,ad,a3d,,公差为2d;对于连续奇数项的等差数列,可设为,a2d,ad,a,ad,a2d,,公差为d;
aq3②对于连续偶数项的等比数列,可设为,,aqaq,aq,aq,,公比为q;
32对于连续奇数项的等比数列,可设为,aq2,,a,aq,aq,公比为q;
2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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