高中数学必修一集合知识点总结大全
高中数学必修1知识点
集合
（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）12）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（子集：若xAxB，则AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即AA注关系3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），则A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合与集合定义：ABx/xA且xB交集性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定义：ABx/xA或xB并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB运算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义：CUAx/xU且xAA补集性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.（2）常用数集及其记法
N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义(1)AAA中的任一元素都属于B(2)A(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则AB（1）A（A为非空子集）性质示意图AB子集（或A(B)BABA)AB或且B中至AB，少有一元素不属于A真子集（或B(2)若AB且BC，则ACBAA）集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAABA(B)（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非空真子集.
n【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集名称记号意义性质（1）AAA（2）A（3）ABA示意图交集AB{x|xA,且xB}并集AB{x|xA,或xB}ABB⑷∩=（1）AAA（2）AA（3）ABAABB⑷∪=（）∩=,∪=,=,∩=∪,(∪)=()∩()ABAB⑴{x|xU,且xA}⑵补集⑶⑷⑸⑼集合的运算律：交换律：ABBA;ABBA.
结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)
分配律:A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU等幂律：AAA,AAA.
求补律：A∩=A∪=U==
反演律：(A∩B)=(A)∪(B)(A∪B)=(A)∩(B)
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集合
（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）12）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（子集：若xAxB，则AB，即A是B的子集。1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个。2、任何一个集合是它本身的子集，即AA注关系3、对于集合A,B,C,如果AB，且BC,那么AC.4、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若AB且AB（即至少存在x0B但x0A），则A是B的真子集。集合集合相等：AB且ABAB集合与集合定义：ABx/xA且xB交集性质：AAA，A，ABBA，ABA,ABB，ABABA定义：ABx/xA或xB并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABABB运算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)定义：CAx/xU且xAAU补集性质：(CUA)A，(CUA)AU，CU(CUA)A，CU(AB)(CUA)(CUB)，C(AB)(CA)(CB)UUU
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函数
映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合A到集合B的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x).近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如f(x1)f(x2)，则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。单调性导数定义：在区间a,b上，若f(x)0，则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间；如f(x)0a,b是的递减区间。则f(x)在a,b上递减,最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；函数（2）存在x0I，使得f(x0)M。则称M是函数yf(x)的最大值函数的基本性质最值最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。则称N是函数yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期（1）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a个单位：yy,xaxyf(xa)平移变换向上平移b个单位：x1x,y1byybf(x)11向下平移b个单位：xx,y11byybf(x)横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w1时）到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1wxyf(wx)伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍1函数图象的画法（横坐标不变），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x12x0x2）变换法关于点(x,y)对称：2y0yf(2x0x)00yy12y0y12y0yxx12x0x12x0x关于直线xx0对称：yf(2x0x)yy1y1y对称变换xx1xx关于直线yy0对称：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx1关于直线yx对称：yf1(x)yy1
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附：
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数ytanx中xk2(kZ)；余切函数ycotx中；6、如果函数是
由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)g(x)在这个区间上也为增（减）函数2、若f(x)为增（减）函数，则f(x)为减（增）函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则yf[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则yf[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在x0处有定义，则f(0)0，如果一个函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)0（反之不成立）
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
11[f(x)f(x)][f(x)f(x)]，该式的22
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零点：对于函数yf（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,零点与根的关系那么，函数yf(x)在区间[a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也是方程f(x)0的根。（反之不成立）关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点(1)确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度；函数与方程(2)求区间(a,b)的中点c;函数的应用(3)计算f(c)；二分法求方程的近似解①若f(c)0,则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)0,则令b（此时零点cx(a,b)）；0③若f(c)f(b)0,则令a（此时零点cx(c,b)）；0(4)判断是否达到精确度：即若a-b,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24。几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型mna,n为根指数，a为被开方数根式：nmaan分数指数幂arasars(a0,r,sQ)指数的运算rs指数函数rs性质(a)a(a0,r,sQ)(ab)rarbs(a0,b0,rQ)定义：一般地把函数yax(a0且a1)叫做指数函数。指数函数性质：见表1对数：xlogaN,a为底数，N为真数loga(MN)logaMlogaN;基本初等函数logaMlogaMlogaN;.N对数的运算性质nnlogM;(a0,a1,M0,N0)logM对数函数aalogcb换底公式：logb(a,c0且a,c1,b0)alogac对数函数定义：一般地把函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数性质：见表1
定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x是自变量，是常数。幂函数性质：见表2第4页共4页
指数函数yaxa0,a1xR对数数函数ylogaxa0,a1x0,定义域值域y0,yR图象过定点(0,1)过定点(1,0)减函数增函数减函数增函数x(,0)时，y(1,)x(,0)时，y(0,1)x(0,1)时，y(0,)x(0,1)时，y(,0)x(0,)时，y(1,)x(0,)时，y(0,1)x(1,)时，y(,0)x(1,)时，y(0,)性质abababab第5页共5页
幂函数yx(R)pq00111p为奇数q为奇数奇函数p为奇数q为偶数p为偶数q为奇数偶函数第一象限性质减函数增函数（0，1）过定点
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高中数学必修2知识点
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0,90时，k0；当90,180②过两点的直线的斜率公式：k时，k0；当90时，k不存在。
y2y1(x1x2)
x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程
①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：④截矩式：
yy1xx1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2y2y1x2x1xy1ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）
1各式的适用范围○2特殊的方程如：注意：○
平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0xB0yC0（C为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：（）过两条直线l1:yy0kxx0，直线过定点x0,y0；
A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为
，其中直线l2不在直线系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）（6）两直线平行与垂直
当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，
l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点
l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交
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A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。A2xB2yC20方程组无解l1//l2；方程组有无数解则|AB|(x2x1)2(y2y1)2
l1与l2重合
（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，Bx2,y2）（9）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C
22AB（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程
（1）标准方程xaybr，圆心
222a,b，半径为r；
22（2）一般方程xyDxEyF0
1DE，半径为当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为rD2E24F,22222当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位。3、直线与圆的位关系：
直线与圆的位关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，则有
22AB2222drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交
（2）设直线l:AxByC0，圆C:xaybr2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令
其中的判别式为，则有
0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交
2注：如果圆心的位在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
2①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r(课本命题)．
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．4、圆与圆的位关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2两圆的位关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；
当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。
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三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD"
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位关系，即反映了物体的高度和宽度。
"""""""""""""""3、空间几何体的直观图斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
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（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）
"S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积1ch"S圆锥侧面积rl
2S正棱台侧面积1(rR)l(c1c2)h"S圆台侧面积22rrlS圆锥表rrlS圆台表r2rlRlR2
S圆柱表（3）柱体、锥体、台体的体积公式
12rhV柱ShV圆柱ShV锥ShV圆锥1r2h
331"11"22V台(S"S"SS)hV圆台(SSSS)h(rrRR)h
333
2（4）球体的表面积和体积公式：V球=4R3；S球面=4R3
4、空间点、直线、平面的位关系（1）平面
①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；
②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。
③点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：Al,Bl,A,Bl
（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：PABABl,Pl公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位关系
①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
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②异面直线性质：既不平行，又不相交。
③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位无关。②求异面直线所成角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位，顶点选在特殊的位上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位关系直线在平面内有无数个公共点．
三种位关系的符号表示：aαa∩α＝Aa∥α
（9）平面与平面之间的位关系：平行没有公共点；α∥β相交有一条公共直线。α∩β＝b5、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为0。
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②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角．．．．．叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系
（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位。
（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2
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高一数学必修3公式总结以及例题
1算法初步
秦九韶算法：通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值，对于一个
次乘法和n次加法即可。表达式如下：
anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1
n次多项式，只要作n
例题：秦九韶算法计算多项式3x64x55x46x37x28x1,当x0.4时,
需要做几次加法和乘法运算?答案：6，6
即:3x4x5x6x7x8x1
理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，其意义具有广泛的含义，
如：广播操图解是广播操的算法，歌谱是一首歌的算法，空调说明书是空调使用的算法…(algorithm)1.描述算法有三种方式：自然语言，流程图，程序设计语言（本书指伪代码）.2.算法的特征：
①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去
②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。
③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度
3.算法含有两大要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等②控制结构:顺序结构，选择结构，
循环结构
流程图：（flowchart）:是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序，
它直观、清晰、易懂，便于检查及修改。
注意：1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始和结束的好习惯
2.拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程，反过来再检查，比如：遇到判断框时，往往临界的范围或者条件不好确定，就先给出一个临界条件，画好大致流程，然后检查这个条件是否正确，再考虑是否取等号的问题，这时候也就可以有几种书写方法了。
3.在输出结果时，如果有多个输出，一定要用流程线把所有的输出总结到一起，一起终结到结束框。
算法结构：顺序结构，选择结构，循环结构
AAYpNpBABY
N直到型循环当型循环第13页共13页
ANpY
Ⅰ.顺序结构（sequencestructure）：是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的操
作，一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。
Ⅱ.选择结构（selectionstructure）：或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主要是注意临界条件的确定。
它有一个入口，两个出口，执行时只能执行一个语句，不能同时执行，其中的A,B两语句可以有一个为空，既不执行任何操作，只是表明在某条件成立时，执行某语句，至于不成立时，不执行该语句，也不执行其它语句。Ⅲ.循环结构（cyclestructure）：它用来解决现实生活中的重复操作问题，分直到型（until）和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时（即不知道循环次数时）用当型循环。
基本算法语句：本书中指的是伪代码（pseudocode），且是使用BASIC语言编写的,是介于自然
语言和机器语言之间的文字和符号，是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式，只要书写清楚，易于理解即可，但也要注意符号要相对统一，避免引起混淆。如：赋值语句中可以用xy，
也可以用xy;表示两变量相乘时可以用“*”，也可以用“”
Ⅰ.赋值语句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，
y是一个与x同类型的变量或者表达式.
一般格式：“变量表达式”，有时在伪代码的书写时也可以用“xy”，但此时的“=”不是数学
运算中的等号，而应理解为一个赋值号。
注：1.赋值号左边只能是变量，不能是常数或者表达式，右边可以是常数或者表达式。“=”具有计算功能。如：3=a,b+6=a,都是错误的，而a=3*51,a=2a+3
都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。如：a=b=c=2,a,b,c=2都是错误的，而a=3是正确的.
例题：将x和y的值交换
pxxy,同样的如果交换三个变量x,y,z的值:yppxxyyzzp
Ⅱ.输入语句（inputstatement）:Reada,b表示输入的数一次送给a,b输出语句（outstatement）：Printx,y表示一次输出运算结果x,y
注：1.支持多个输入和输出，但是中间要用逗号隔开！2.Read语句输入的只能是变量而不是表达式3.Print语句不能起赋值语句，意旨不能在Print语句中用“=”4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在
一行书写时用“；”隔开.
例题：当x等于5时，Print“x=”;x在屏幕上输出的结果是x=5Ⅲ.条件语句（conditionalstatement）：
1.行If语句:IfAThenB注：没有EndIf
2.块If语句：注：①不要忘记结束语句EndIf，当有If语句嵌套使用时，有几个If，就必须要
有几个EndIf②.ElseIf是对上一个条件的否定，即已经不属于上面的条件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每个条件的临界性，即某个值是属于上一个条件里，还是属于下一个条件。④为了使得书写清晰易懂，应缩进书写。格式如下：
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IfAThenIfAThen
BBElseElseIfCThen
CDEndIfEndIf
例题:用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法.
Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen
Printb
Else注：1.同样的你可以写出求三个数中最小的数。Printc2.也可以类似的求出四个数中最小、大的数EndIfEndIf
Ⅳ.循环语句（cyclestatement）：当事先知道循环次数时用For循环，即使是N次也是已知次数的循环当循环次数不确定时用While循环Do循环有两种表达形式，与循环结构的两种循环相对应.WhileAForIFrom初值to终值Step步长……EndWhileWhile循环EndForFor循环DoWhilepDo……Loop当型Do循环LoopUntilp直到型Do循环说明：1.While循环是前测试型的，即满足什么条件才进入循环，其实质是当型循环，一般在解决有关问题时，可以写成While循环，较为简单，因为它的条件相对好判断.2.凡是能用While循环书写的循环都能用For循环书写3.While循环和Do循环可以相互转化4.Do循环的两种形式也可以相互转化，转化时条件要相应变化5.注意
临界条件的判定.
例题：设计计算135...99的一个算法.（见课本P21）
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S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSS1I1WhileI99I1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSSSI
II2EndWhilePrintSS1S1I1I1DoSSIDoII2II2SSILoopUntilI99LoopUntilI100(或者I99)PrintSPrintSS1S1I1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintS
DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS
颜老师友情提醒：1.一定要看清题意，看题目让你干什么，有的只要写出算法，有的只要求写出伪代码，而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。
2.在具体做题时，可能好多的同学感觉先画流程图较为简单，但也有的算法伪代码比较好写，你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来，然后根据题目要求作答。一般是先写算法，后画流程图，最后写伪代码。
3.书写程序时一定要规范化，使用统一的符号，最好与教材一致，由于是新教材的原因，再加上各种版本，可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样，而且有时还会碰到我们没有见过的语言，希望大家能以课本为依据，不要被铺天盖地的资料所淹没！
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高中数学必修4知识点
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为k360k36090,k第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k
终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k
3、与角终边相同的角的集合为k360,k
终边在x轴上的角的集合为k180,k
4、已知是第几象限角，确定
n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴n*的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
l6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是．
r1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．
180终边所落在的n8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，
11Slrr2．
229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是
rrx2y20，则sinyxy，cos，tanx0．rrx第17页共17页
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：sin，cos，tan．12、同角三角函数的基本关系：1sincos1
22ysin21cos2,cos21sin2；2sintancosPTOMAxsinsintancos,cos．
tan13、三角函数的诱导公式：
1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
5sincos，cossin．22cos，cossin．226sin口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1倍（纵坐标不变），得到函数
ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍
（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移
个单位长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍
（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．
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函数ysinx0,0的性质：
①振幅：；②周期：2；③频率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则
11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函ycosxysinx数性质ytanx图象定义域值域RRxxk,k21,1x2k1,1当x2kk时，R2k2最值ymax1；当x2kymax1；当x2k既无最大值也无最小值k时，ymin1．k时，ymin1．周期性奇偶性2奇函数2偶函数奇函数2k,2k22在2k,2kkk上是增函数；在上是增函数单调性在2k,2k32k,2k22k上是减函数．k上是减函数．k,k22k上是增函数．对称性心k,0kk,0k心k,0k心22第19页共19页
xk2kxkk轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：ababab．
⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③a00aa．
⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
Ca⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；
babCC
②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．
⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．
⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．
20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．
设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．
21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有
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一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的坐标是x1x2y1y2,．
1123、平面向量的数量积：
⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，22abab；aaaa或aaa．③abab．
⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．
⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．
22若ax,y，则axy，或a2x2y2．
设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．
ab设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则cosab24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tanx1x2y1y2xy2121xy2222．
tantan（tantantan1tantan）；
1tantantantan（tantantan1tantan）．
1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22第21页共21页
⑶tan22tan．
1tan222sin，其中tan26、sincos
．高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有
abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；
abc②sin，sin，sinC；
2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；
abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面积公式：SCbcsinabsinCacsin．
2224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，
222222c2a2b22abcosC．
b2c2a2a2b2c2a2c2b25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．
2bc2ab2ac6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．15、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式．
222222222第22页共22页
16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
18、由三个数a，，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项．若b则称b为a与c的等差中项．19、若等差数列
ac，2an的首项是a，公差是d，则a1na1n1d．
；ana120、通项公式的变形：①anamnmd；②a1ann1d；③dn1anamana11；⑤d④nnmd．
*21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q），则am，则2an2npq（n、p、q*）
anapaq；若an是等差数列，且
apaq．
na1an2；②Sn22、等差数列的前n项和的公式：①Snna1nn12d．
23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*nd则S2nnanan1，且S偶S奇，
S奇S偶，S奇S偶anan1．
*a，②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶nna，（其中S奇nnn1S偶n1an）．
24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，则称G为a与b的等比中项．
26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn12．
n1nm27、通项公式的变形：①anamq；②a1anqn1；③qannman；④q．aa1mq*）28、若an是等比数列，且mnpq（m、，则amanapaq；若an是等比数列，且2npqn、p、
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（n、p、q），则an*2apaq．
na1q129、等比数列an的前n项和的公式：Sna11qnaaq．
1nq11q1q30、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn②Snm*，则
S偶S奇q．
SnqnSm．
③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列．
31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．
32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；
anbn,n1．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式b4ac201*yaxbxc20的图象两个相异实数根一元二次方程axbxc0a0的根2x1,2b2a有两个相等实数根x1x2一元二次不等式的解集a0bx1x22a没有实数根ax2bxc0xxx1或xx2bxx2aR第24页共24页ax2bxc0a0xx1xx235、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．①若0，则xyC方的区域．
②若0，则xyC方的区域．
40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下
0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上
ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．2ab42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即ab．
241、设a、b是两个正数，则
a2b243、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；
222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．222第25页共25页
44、极值定理：设x、y都为正数，则有
s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．
4⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．
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