201*-201*七年级数学兴趣小组计划
七年级数学兴趣小组活动计划
201*-9-5
一、指导思想：
全面贯彻党的教育方针，坚持提高教育现代化水平，在突出素质教育的基础上，推进学科拔尖工作，以提高教学质量为中心，以全面实施素质教育为目的，培养学生良好的数学思想，数学思维，增强学生学习数学的兴趣，提高其竞争的意识和竞争能力，进一步提高其数学成绩，为本学课教学质量的提高打下基础。
二、基本情况分析
根据素质教育及数学学科的教学要求，为了培养九年级学生一定的科学研究能力，向学生补充一些课外作业，让他们解答一些带有技巧性、灵活性的习题，以加深对所学的知识理解，针对学生,开展趣味数学活动，以激发他们的兴趣、训练其思维、培训其良好的学习习惯。以期待使趣味数学成为学生思维的体操,以数学为载体对学生进行思维能力的训练,让学生通过学习对深入地理解数学知识有所帮助。
三、活动目标
趣味数学是一种“较高层次的、开发智力的、生动活泼”的课外教育。学生在探索解法的过程中，亲身体验到了数学思想的博大精深和数学方法的创造力，因此产生了进一步对学习数学的向往感。趣味数学激发了中学生的创造力。
四、活动安排周次369121417活动时间活动内容备注201*-9-19丰富的图形世界201*-10-10正数、负数201*-10-31字母能表示什么201*-11-21平面图形的位置关系201*-12-5方程的应用201*-12-26生活中的数据五、参加人：。七年级数学兴趣小组活动记录
201*学年第1学期第3周
组别参加人数兴趣小组活动内容
数学15负责教师缺席人数无活动地点办公室经历展开与折叠、切截以及从不同方向看等数学活动，积累数学活动经验。进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间与图形学习的好奇心，初步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识。七年级数学兴趣小组活动记录
201*学年第1学期第6周
组别参加人数兴趣小组活动内容
数学15负责教师缺席人数无活动地点办公室体会数干么不够用了？正数、0、负数真奇了。理解有理数运算的意义。用数轴比较有理数的大小。有理数的混合运算及其运算解决简单的实际问题。七年级数学兴趣小组活动记录
201*学年第1学期第9周
组别参加人数兴趣小组活动内容
数学15负责教师缺席人数无活动地点办公室用字母与代数式进行表示，建立初步的符号感，发展抽象思维。用字母来分析简单问题的数量关系，并能用代数式来表示。用字母解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。七年级数学兴趣小组活动记录
201*学年第1学期第12周
组别参加人数兴趣小组活动内容
数学15负责教师缺席人数无活动地点办公室通过观察、测量、折叠、模型制作等活动，发展空间观念。明白平面上两条直线的平行和垂直关系。在操作中探索图形性质，了解线段、平行线、垂线的有关性质，丰富数学学习的成功体验。借用三角尺、量角器、方格纸来画角、线段、平行线、垂线。七年级数学兴趣小组活动记录
201*学年第1学期第14周
组别参加人数兴趣小组活动内容
数学15负责教师缺席人数无活动地点办公室根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型、解方程和运用方程解决实际问题过程，体会2体会是刻画现实世界的有效数学模型。能用一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力。体会数学的应用价值。七年级数学兴趣小组活动记录
201*学年第1学期第17周
组别参加人数兴趣小组活动内容
数学15负责教师缺席人数无活动地点办公室能对大数字信息作出合理的解释和推断。体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，能区分确定事件与不确定事件。知道事件发生的可能性是有大小的，能对一些简单事件发生的可能性作出描述，能列举出简单试验所有可能发生的结果，并和同伴交流想法。七年级数学兴趣小组工作总结
201*-12-30
按照期初制定的数学兴趣小组计划，在一学期中我组织开展了九年级的数学兴趣小组，通过这次的兴趣小组的学习，同学们的学习兴趣得到了提高，我们的学生的知识面得到了拓展，能力得到加强，我也得到了再学习的机会。下面就这一学期兴趣小组的所得作一次总结：
一、培养了学生的对数学的兴趣。
我给参加兴趣小组介绍了“数学家小故事”“解题方法”等深深吸引了他们，有参加兴趣小组的同学都有这么一个感受：就是以前做数学或许只是应付老师的作业，有时甚至是为了向爸爸妈妈“交差”。但通过学习他们意识到他们不再是被动的而是变成主动的学习，他们的学习能够自觉完成了而且还能头头是道地向同学介绍他所学习到的知识。
二、拓展学生知识提高学生能力。
在这次的兴趣小组中我们加深了课堂数学知识而且更多的是讲述一些与数学的相关知识，对其他学科的知识也有不同程度的理解，使他们的知识面得到很大的拓展，同时也培养他们的解题能力，在辅导的过程中进行了各种数学思想方法（如：分类讨论、数形结合等）的训练。
三、给我一个学习的一机会。
按照期初安排，我在辅导的工作中我们发现数学竞赛的辅导需要我们投入的时间精力是我们平时上课的几倍，学生的某些问题不是我们一时能解决的，这样就蹩着自己进行专研，一个学期来我的解题能力也有不同程度的提高，同时也加大了知识面。
当然，我们的工作还存在不足，希望在今后工作中能够将得到更快的完善，得到更好的发展。当然更期待着学校领导的支持。我将本着一切为学生，为学校的工作的思想更加努力地工作，使我们的学生的素质更好地得到提高，也使我们的数学兴趣小组能逐步成长
扩展阅读：贵州省凯里一中七年级数学兴趣小组活动资料
黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
七年级数学兴趣小组活动资料主讲：李明科QQ：83808498（主显号：lmkvslmk@163.com）黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
目录
第一讲和绝对值有关的问题
第二讲有理数的巧算第三讲：整式的化简求值问题第四讲：与一元一次方程有关的问题第五讲：列一元一次方程解应用题第六讲：丰富的图形世界第七讲：线段和角第八讲：相交线与平行线第九讲：平面直角坐标系第十讲：三角形的基本知识第十一讲：二元一次方程组及应用
第十二讲：一元一次不等式
第十三讲：数据的收集和整理黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第一讲和绝对值有关的问题
一、绝对值的意义：
1、几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；
|x-a|是数轴上表示数x的点到数a的点的距离；
2、代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
a当a为正数也可以写成：|a|0当a为0
a当a为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、典型例题
例1.已知|a|5,|b|3,且|ab|ba，则ab_____.【思路分析】
【自主解答】
例2.若a,b,c为整数，且|ab|【思路分析】
【自主解答】
例3．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|b-a|+|a+b|+|c-a|+|a+c|-|b-c|的值等于=【思路分析】
【自主解答】
201*|ca|201*1，计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
例4．已知：x0z，xy0，且yzx，那么xzyzxy
的值（）
A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号【思路分析】
【自主解答】
练习题
1、若|a|8,|b|5,且ab0,则ab的值是()A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-132、已知a,b,c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0,且abc黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第二讲有理数的巧算
【知识要点】
1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采
用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。
2、有理数的相关概念和性质法则
⑴有理数的运算法则⑵有理数的运算律及其性质
3、常用运算技巧
⑴巧用运算律⑵凑整法⑶拆项法（裂项相消）⑷分组相约法⑸倒写相加法⑹错位相减法⑺换元法⑻观察探究、归纳法
【典型例题】
【例1】计算下列各题
311212⑴2911532140.25
53433533332512332(1)()343()3⑵()0.750.5()4437254427391213⑶(0.125)(1)(8)()
35【思路分析】(1)利用运算律把同分母的分数结合起来；
(2)逆用分配律；
(3)把积为整数的因数结合起来。【自主解答】
【例2】用简便方法计算：797997999799997
【思路分析】每个加数都比较接近十、百、千、万…。利用凑整法将它们分别表示成十、百、千、万…与较小的数字的和(或差)然后再计算。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例3】观察下列等式
111,122111,2323111,3434...,111,n(n1)nn1将以上几个等式相加（左边相加等于右边相加）得到
111111111111...1...1122334n(n1)22334nn1n1用上述方法计算：⑴
1111112612203099001111⑵13355799101【思路分析】观察思考不难发现（1）
1111111111111111,,,...,,21226232312343499009910099100（2）
111211(1);13323231112111();3515215235
1112111();57352352571111()(n为正整数)n(n2)2nn2【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母
中因数差相同，可以用裂项相消法求值。①
1111111②()
n(n1)nn1n(nk)knnk11111111[]④()
n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(n1)(n1)2n1n1③
【例4】观察下列计算过程
计算：24816...1024
设S24816...1024,则2S481632...2048
2SS(481632...2048)(24816...1024)44881616...1024102420482
204822046用上述方法计算：
11112481024【思路分析】算法的特点是这些加数乘以一个常数后，得到的新的算式中绝大部分与原来的
算式中的数相同，从而错位相减消去相同的数。【自主解答】
【例5】计算：12345...99100
【思路分析】倒写相加法。
【自主解答】解：
1234...99100则可倒写成S100999897...21两式左右各相加得2S101101101101...101101S
即原式=5050
设S(1100)1005050
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练习
1、(0.125)788=
2、（第10届“希望杯”训练题）234567891011121314153、计算：246810...981004、计算：S122225、计算：
23201*
1111...244668981黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第三讲：整式的化简求值问题
【知识要点】
1、用字母表示数
（1）用字母表示数，揭示数与数之间的本质联系；（2）列代数式
（3）求代数式的值，求代数式的值一般分为化简，代入与计算。
2、整式的有关概念及整式的加减
，特别地单个数字或字母也是单项式。概念：数字与字母的积单项式单项式的系数与次数⑴整式
项式。概念：几个单项式的和叫做多多项式多项式的次数与项数⑵整式的加减：掌握去括号、添括号的法则，熟练进行同类项的合并。
合并同类项法则（顺口溜）：说起合并同类项，法则千万不能忘，只求系数代数和，字母、指数留原样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键要看连接号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
【典型例题】
【例1】如图是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式（n为下整数）表示表中第n行第n列的数为。
【思路分析】数阵问题关键是要分析出排列的规律，仔细观察不难发现第行的第一列的数为n，第二列的数为n1，以此类推即可得解。【自主解答】
22【例2】若多项式2mx2x25x87x23y5x的值与x无关，
求m2[2m25m4m]的值.
【思路分析】多项式的值与x无关，即把m当成已知数，经过化简后含x的项系数均为零。从而解出m的值，代入计算即可。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例3】当代数式x23x5的值为7时,求代数式3x29x2的值.
【思路分析】观察两个代数式的系数，发现所求代数式中3x29x3(x23x)，只从已知条件中求出x3x的值，从而整体代入即得所求代数式的值。【自主解答】
53【例4】x2时，代数式axbxcx6的值为8，求当x2时，代数式
2ax5bx3cx6的值。
53【思路分析】将x2和x2分别代入axbxcx6观察两个代数式的系数，发现
两个代数式中a,b,c的项系数正好相反，即互为相反数，只要从已知条件中求出
25a23b2c的值，从而得到25a23b2c的值，整体代入即可求得。
【自主解答】
【例5】三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且xabcabacbc，abcabacbc则axbxcx1的值是_______。
【思路分析】因为abc0，即a、b、c中至少有一个为正数，所以a、b、c中只有一个是负数。
32abcabacbc观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改abcabacbc变，这样的代数式成为轮换式。我们说a、b、c中的任两个具有对称性。
不妨设a0，c>0则ab黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
一题多解鉴赏
【例6】已知aa10，求a2a201*的值.
分析：解法一（整体代人）：由aa10得aaa0
所以：a32a2201*
a3a2a2201*
aa2201*
1201*
201*解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
由aa10，得a1a，所以：a32a2201*
22232232a2a2a2201*(1a)a2a2201*aa22a2201*aa2201*1201*201*2解法三（降次、消元）：aa1（消元、、减项）
a32a2201*a3a2a2201*
a(a2a)a2201*aa201*1201*201*2
出乎意料的问题【例7】（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年：A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年：A公司10000+200(n-1）；
B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200(n-1)黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。三、练习
1、如图是一个有规律排列的数阵，根据你的猜想的规律，201*应该排在表中第几行？在该行从左到右数的第几个数？
2、若代数式(2x2axy6)(2bx23x5y1)的值与字母x的取值无关，求代数式
31a22b2(a23b2)的值。443、已知x2yz1,x2y2z22，
求2(x2y2z)(2x4y3y2)(x2z2)的值。4、设(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，
求（1）a5a4a3a2a1a0；（2）a0a1a2a3a4a5；（3）a0a2a4。
5、三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且xabc，abc则x201*201*x2201*的值是_______。
6、（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪1.2万元，每年加工龄工资720元；B公司，月薪1千元，每月加工龄工资5元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第四讲：与一元一次方程有关的问题
【知识要点】
1、解一元一次方程的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。我们在解方程时，既要会按部就班（严格按步骤）地进行，又要能随机应变（灵活打乱步骤）。
2、同解方程和方程的同解原理：
（1）如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ的解，并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解，那么这两个方程是同解方程。
（2）方程同解的原理Ⅰ：方程两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程，即f(x)g(x)与f(x)h(x)g(x)h(x)是同解方程（其中h(x)是一个整式）。
方程同解的原理Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程，即f(x)g(x)与cf(x)cg(x)是同解方程（其中c是一个非零常数）。
方程同解的原理Ⅲ：方程f(x)g(x)0与f(0)0或g(x)0是同解方程。3、含字母系数的一元一次方程总可以化为axb的形式，当字母的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：
（1）当a0时，方程有唯一解x（2）当a0,b0时，方程无解；（3）当a0,b0时，方程有无数个解。4、最简单的绝对值方程是：|x|a。当a0时，方程无解；
当a0时，方程的解为x0；
当a0时，方程有两个解xa或xa。
b；a【典型例题】
【例1】若关于x的一元一次方程
2xkx3k=1的解是x=-1，则k的值是（）32213A．B．1C．-D．0
711【思路分析】本题考查基本概念“方程的解”；因为x=-1是关于x的一元一次方程
2xkx3k=1的解，所以把x=-1代入方程可得关于k的一元一次方程。解出k即可。32【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例2】若方程3x-5=4和方程13ax0的解相同，则a的值为多少？3【思路分析】题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。【自主解答】
【例3】(3a2b)x2axb0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x=。
【思路分析】(3a2b)x2axb0是关于x的一元一次方程，所以x的系数为0，x有唯一解，x项系数不能为0，从而将a,b的值算出来，再解一元一次方程即可。【自主解答】
2【例4】（含字母系数方程）解方程
x11xababab【思路分析】根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab化为axb的的形式，再根据含
字母系数方程的解的情况进行讨论。【自主解答】
【例5】解下列方程5x23
【思路分析】解含绝对值的方程，关键是把绝对值符号去掉，去掉绝对值的关键是绝对值符号里面的数或式的符号。所以要对绝对值里面5x2的符号进行讨论。也可以类比a3时，a=±3，把5x2看成一个整体，使用整体思想去掉绝对值。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例6】小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的
里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。
【思路分析】“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+【自主解答】
练习：
1、关于x的方程9xp0的解是9p，则p=。2、已知关于x的方程6x+2a-1=5x和方程4x+2a=7x+1的解相同，
求：（1）a的值；（2）代数式
的值．
123、问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。4、解方程x131[3612(x1)]x26535、解方程
2x15136、解方程x12x黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第五讲：列一元一次方程解应用题
【知识要点】
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数（直接设和间接设），列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．2、常见题型归类：（1）和差倍分问题
增长量＝原有量增长率现在量＝原有量＋增长量（2）等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
2①圆柱体的体积公式V=底面积高＝Sh＝rh②长方体的体积V＝长宽高＝abc（3）数字问题
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．（4）市场经济问题
①商品利润＝商品售价－商品成本价②商品利润率＝
商品利润100%
商品成本价③商品销售额＝商品销售价商品销售量（5）行程问题：路程＝速度时间①相遇问题：路程甲＋路程乙＝总路程
②追及问题：路程甲－路程乙＝甲乙之间的距离
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船的静水速度不变的特点考虑相等关系．（6）工程问题：工作量＝工作效率工作时间合作的工作效率=各工作效率之和
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
（7）年龄问题其基本数量关系：大小两个年龄差不会变。（8）调配问题。
从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。
【典型例题】
【例1】一班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人，根据学校
活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【思路分析】题中的等量关系为：调整后第一组的人数为第二组的一半；如果设从第一组调到第二组的人数为x，那么，调整后第一组的人数为26x，第二组的人数为22x。再根据调整后的人数的倍分关系列方程解之即可。【自主解答】
【例2】将一个底面直径30厘米，高8厘米的圆锥形容器中倒满水，再将水倒入一只底面直
径10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水面有多高？
【思路分析】利用水倒入圆柱形空容器前后体积不变，利用①长方体的体积V＝长宽高
2②圆柱体的体积公式V=底面积高＝Sh＝rh，两个公式所算的体积相等列一元一次方程。
【自主解答】
【例3】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上45，
那么恰好成为个位上数字与十位上数字对调后组成的两位数，试求这个两位数。
【思路分析】解决涉及两个数字的问题，关键是如何根据两个数字的关系，利用一个数字表示另一个数字，同时如何利用数位上的数字表示一个两位数是本题的考点之一。本题适用间接设法，如果设这个数的十位数字是x，则个位数字是7x，这个两数就可以表示为10x(7x)，对调后组成的两位数10(7x)x，再根据两数之间的大小关系列出方程解之即得。【自主解答】
【例4】一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折(标价的80%)出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元?
【思路分析】本题利用直接设未知数法，设成本为x元，则售价为0.5x0.80.4x元，再根据：商品利润＝商品售价－商品成本价，列出方程解之。【自主解答】
【例5】方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了12秒钟，求列车的速度。
【思路分析】本题应注意的是，方方和列车是同时行进的，所得列车的长度是两者的路程这和，利用：路程甲＋路程乙＝总路程，本题要注意单位统一。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例6】当时针在2到3之间时，时针与分针在同一直线上的时间是多少？
【思路分析】本题可行程问题，分针的速度是时针的12倍，时针与分针在同一直线上有两种情况，即指向同一处，或两处相差30小格。利用这个常识作为相等关系列方程。【自主解答】
【例7】（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？
【思路分析】用直接设求知数的方法，设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度，用静水速度和水流速度表示顺水速度和逆水速度，再根据路程＝速度时间分别表示出往返路程，而这两个路程都是A，B两港之间距离。根据这一相等关系列出一元一次方程。【自主解答】
【例8】某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
【思路分析】解决配套工程最主要抓住各种零配件可配套数相等为最优方案。【自主解答】
【例9】叔叔对张强说：“我像你这样大的时候，你才刚上学（6岁）。”，张强对叔叔说：“当我像你那样大的时候，你就已经退休了（60岁）。”请问，叔叔和张强今年的年龄各是多少？【思路分析】年龄问题其基本数量关系：大小两个年龄差不会变。设今年张强的年龄为x，则知张强6岁时，叔叔的年龄为x，所以叔叔与张强的年龄差为x6，叔叔今年的年龄为xx62x6，当张强的年龄到2x6时，叔叔应为60岁，年龄关可表示为60(2x6)，根据两个年龄差不会变可列方程。【自主解答】
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练习：
1、一年级三个班为希望小学捐赠图书。（1）班捐了152册，（2）班捐书数是三个班级的平均数，（3）班捐书数是年级总数的40%，三个班共捐了多少册？
22、将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm，问量筒中水面升高了多少cm？
3、一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将三个数字的顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数。
4、甲、乙、丙、丁四个数之和为25，且甲减去4、乙加上4、丙乘以4、丁除以4所得的四个数正好相等，则甲、乙、丙、丁各是多少？
5、国庆期间，某商厦举行促销活动，定价为180元的某一品牌的皮鞋打七折销售，每双仍可获利50元，求这种皮鞋每双的进价为多少元？
6、某人离家以每小时5千米的速度前往火车站，走了一半路程时发觉时间不对，若仍以原来的速度前进，将要误点1小时，因此需要加快速度，每小时多走1千米，结果提前半小时到达火车站，求该人家离火车站的距离。
7、星期天，小慧约了小红替居委会打一份资料，小慧单独打需6小时完成，小红单独打需4小时完成，小慧、小红一起干，小红中途有事离开1小时，则打完这份资料需几小时？
8、一台机器的检修工作，甲小组单独做7.5小时完成，乙小组单独做5小时完成，两个小组合做一小时，再由乙小组单独完成，共需几小时完成？黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第六讲：丰富的图形世界
【知识要点】
1．认识立体图形和平面图形
我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆
2．立体图形和平面图形关系
立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图
立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。三视图中的数量关系（主侧视图高齐平，主俯视图长对正，俯侧视图宽相等）。（2）立体图形的平面展开图
常见立体图形的平面展开图
圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）3、图片记忆
（一）正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：
第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【典型例题】
【例1】在右面的图形中是正方体的展开图的有（C）
（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种【思路分析】对照正方体的侧面展开图。也可以从折叠还原正方体入手。
【例2】一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都
写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c=（B）
A．40B.38C.36D.34【思路分析】由题意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17
所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38
c8b25a4【例3】将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（C）
★★★★A．B．C．D．
【思路分析】从折叠还原正方体入手。
【例4】下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（D）
ABC
．．．
【思路分析】还原正方体，正确识别正方体的相对面。
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
D．
【例5】下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是(A)
【例6】．如图的几何体，左视图是（B）
ABCD
【例7】如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个
几何体的小正方体的个数是()A．3B．4C．5D．6【思路分析】如例7的图。
主视图
左视图
俯视图黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例8】把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，不同的颜色对应着不同的数字，各
面上的颜色与它对应的数字情况列表如图（左），现将上述大小相同，颜色分布完全一样的四个立方体如图拼成一个水平放置的长方体如图（右），那么长方体的下底面数字和为.
【思路分析】每个面的颜色各不相同，四个立方体大小相同，颜色分布完全一样，所以每种颜色的对立面的颜色是确定的，上面为黄、紫、红、蓝，只要知道这四种颜色的对立面的颜色，再将它们所对应的数字加起来就可以了，从图上第2、3个可以看出紫、白不在红色的对面，第4个可以看出蓝、黄、不在红色的对面，所以红对绿，从第1个看出白色不在黄色的对面，所以黄色的对面只能是紫色，那么蓝色的对面就是白色了。所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫数字和为：4+6+2+5=17
练习：
1、如图，图1是一个正方体形状的纸盒，把它沿某些棱剪开摊平在桌面上，可得到图2的图形，如果图2的纸片重新恢复成图1的纸盒，那么与点G重合的点是。
BCx+yEFNAD生崇尚低碳活z-13x+24x-35-6x7x+yMLIHGKJ
2、一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图3所示，则在该正方体中，和“崇”字相对的面上写的汉字是。
3、如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则zyx的值是。
4、韩老师特制了4个同样的立方体，并将它们如图5放置，然后又如图6放置，则图6中四个底面正方形中的点数之和为。
1234565、用4个棱长为1的正方体搭成一个几何模型，其主视图与左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）
21主视图左视图A121BC1211D1黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
6、一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则主视图的面积为。
32左视图4俯视图
7、从如图所示的纸板上10个无阴影的正方形中选1个（将其余9个剪去），与图中5个有阴影的正方形折成一个正方体，不同的选法有几种。
8、如图，将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各个面上染上红色，则
（1）有三个面染有红色的小正方体的个数是。（2）有两个面染有红色的小正方体的个数是。（3）有一个面染有红色的小正方体的个数是。（4）一个面都没有染有红色的小正方体的个数是。
第8题第9题
9、如图，将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各个面上的某些小正方体染上黑色，而且上与下、左与右、前与后相对两个面上的涂色方式相同，这时，至少有一个面涂有黑色的小正方体的个数是（）A.18B.20C.22D.黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第七讲：线段和角
【知识要点】
（一）知识结构图
线段线段性质直线直线性质角的分类周角射线角角的比较、度量和画法角平分线定义相关角余角和补角性质同角（或等角）的余角相等两点间的距离线段的比较和画法线段的中点平角直角锐角钝角同角（或等角）的补角相等（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：
文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点
AMB图形语言：
几何语言：∵M是线段AB的中点∴AMBM1AB，2AM2BMAB2
（三）与角平分线有关的问题角平分线定义：
文字语言：若一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这射线叫这个角的平分线。
AC图形语言：
OB几何语言：∵OC是∠AOB的平分线∴∠AOC=∠COB=
1∠AOB，2∠AOC=2∠COB=∠AOB黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【典型例题】
【例1】由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（D）
11（A）AP=AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=AB
22【思路分析】可以用举反例的的方法排除一些选项。
【自主解答】
【例2】已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=_MN。
【思路分析】据题意画出图形
MRPQN设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，
3x3MR23所以，MR=x，则
2MN4x8【自主解答】
【例3】如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若
MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）
AMBCND
A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b【思路分析】不妨设CN=ND=x，AM=MB=y因为MN=MB+BC+CN所以a=x+y+b
因为AD=AM+MN+ND所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b【自主解答】
【例4】线段AB上有P、Q两点，AB=26，AP=14，PQ=11，那么BQ=。
【思路分析】由AB=26，AP=14，PQ=11，得AP+PQ=2526，APPQ=30，所以Q点可能在AP之间，也可能在PB之间。要对这两种情况进行分类讨论。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例5】如图A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠MON
的度数，试证明你的结论．猜想：90°
证明：因为OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线
MCNAOB11所以∠MOC=∠AOC，∠CON=∠COB
22因为∠MON=∠MOC+∠CON所以∠MON=
111∠AOC+∠COB=∠AOB=90°222【例6】如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
（1）若∠A=60°，求∠O；
（2）若∠A=100°，∠O是多少？若∠A=120°，∠O又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）
【思路分析】要求∠O，只要知道∠1+∠4的度数，就可以利用三角形的内角和等于180°得到∠O的度数，因为∠A=60°根据三角形的内角和等于180°，可以求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数；根据角平分线的定义把∠2和∠3换成∠1和∠4就可以得到∠1和∠4的关系了。
【自主解答】
【例7】如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（B）
对(A)2(B)3(C)4(D)5
【思路分析】根据补角的定义，图中有∠AOB为平角，直接观察即得。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例8】如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。
（1）求∠MON的度数。
（2）若∠AOB=，其它条件不变，求∠MON的度数。
（3）若∠BOC=（为锐角），其它条件不变，求∠MON的度数。
（4）从（1）（2）（3）的结果你能看出什么规律吗？
【思路分析】从有公共点的若干个角中求某个角的度数，关键在于弄清书籍角与所求角之间的和、差、倍、分的关系，可借助图形来理清这些关系。【自主解答】AMOBNC练习：
1、如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=示C是AB中点的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，已知线段AB=2BC，DA=
1AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表23AB，M是AD的中点，N是AC的中点，试比较MN2与AB+NB的大小关系。
DMANBC
3、如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，E是线段AD的中点，CD=24cm，则CE的长为。ABDEC
4、如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度和为23，求线段AC的长度。
DCAB5、如图，O是直线AB上的一点，AOD120,COAB于O，OE平分BOD，则图中彼此互补的角有对。
DDNCCBEM
OAOBA
第5题第6题
6、如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=50°，∠BOC=10°则∠AOD=。黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第八讲：相交线与平行线
【知识要点】
1、知识框架相交线平行线两条直线相交两条直线被第三条直线所截邻补角、对顶角邻补角互补对顶角相等点到直线的距离垂线及性质同位角、内错角、同旁内角判定平行公理性质平移
2、垂直是相交的特殊情况，与垂直有关的重要结论有两个。（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点的连结的所有线段中，垂线段最短。3、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。4、平行线的判断方法：
（1）同一平面内的两条直线没有公共点，则两条直线平行。（2）两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行。（3）同位角相等，两直线平行。（4）内错角相等，两直线平行。（5）同旁内角互补，两直线平行。
5、平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，有：（1）同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。（2）内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。（3）同旁内角互补。简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
【典型例题】
【例1】下列说法正确的有(B)
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个
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【例2】如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（C）．．．．
A.CD>ADB.ACBDD.CD黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
证法1：
AFCBED
证法2：证法3：证法4：
证法5：证法6：
证法7：
AB2E1FCDAB21ECDABE132CDA2B31ECDAFB12ECGDABF12ECDG黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
练习：
1、如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,
则∠2=_______.
AC1EB3421l1l2l32
FGD2、如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.(方程思想)
答案：36°
3、如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列三个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.
APCDBACPBDACPBDPABC
D（1）（2）（3）（4）
4、如图，若AB//EF，∠C=90°，求BDE度数。
5、已知：如图，BAPAPD180，12求证：EF
AFC1EBACDEBF2PD黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第九讲：平面直角坐标系
【知识要点】
1、特殊位置的点的特征
（1）各个象限的点的横、纵坐标符号。
第一象限第二象限第三象限第四象限横坐标符号++纵坐标符号++（2）坐标轴上的点的坐标：x轴上的点的坐标为(x,0),即纵坐标为0；y轴上的点的坐标为(0,y)，即横坐标为0。
2、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。3、在一、三象限的角平分线上的点可表示为(a,a)，在二、四象限的角平分线上的点可表示为(a,a)。
4、具有特殊位置的点的坐标特征设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)
P1、P2两点关于x轴对称x1x2，且y1y2;P1、P2两点关于y轴对称x1x2，且y1y2;P1、P2两点关于原点轴对称x1x2，且y1y2。
5、距离
（1）点A(x,y)到轴的距离：点A到x轴的距离为|y|；点A到y轴的距离为|x|；（2）同一坐标轴上两点之间的距离：
A(xA,0)、B(xB,0)，则AB|xAxB|；A(0,yA)、B(0,yB)，则AB|yAyB|；6、点的平移：左右平移变动点的横坐标，即左减右加，上下平移变动点的纵坐标，即上加下减。黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【典型例题】
【例1】已知点M的坐标为（x，y），如果xy黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例5】如图，DEF是ABC经过某种变换后得到的图形，分别写出点A与点D，点B
与点E，点C与点F的坐标。
（1）观察各组内两点的坐标，你有什么发现？写出你的发现。
（2）若点P（m,n）是三角形ABC内的任意一点，那么它在三角形DEF内的对应点Q的坐标是什么？
（3）在图中三角形ABC各顶点的坐标分别为A(1,3),B(3,2),C(2,0)。再画出相应的三角形ABC，使它们所能得出的结论与你发现的一致。y【自主解答】
-10-5-4-3-2A-1
PC-2
B-3
32FQ1D1234E5x
Ay4C2【例6】已知：A(5,4),B(2,2),C(0,2)，求三角形ABC的面积。
0-4-22【思路分析】可以用割补法求三角形的面积。如图。-2B
-4练习：
1．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（）A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）D．（-2，1）
3．如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第象限，点Q（x-1，1-y）在第象限。
4．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，0)表示帅的位置，用(3，9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为A．(8，7)B．(7，8)C．(8，9)D．(8，8)
5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）
4x黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
6．已知点P（x,x），则点P一定（）
A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方7．已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为________。
8．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A．（2，2），（3，4），（1，7）B．（-2，2），（4，3），（1，7）C．（-2，2），（3，4），（1，7）D．（2，-2），（3，3），（1，7）9．“若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（
x1x2y1y2，，）．”22已知点A、B、C的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、
BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系．
4)，10．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，将OA绕原点O逆时针旋转90得到OA，
则点A的坐标是（）
3)Ｂ．(3，4)Ｃ．(3，4)Ｄ．(4，3)Ａ．(4，
第9题第10题第11题11．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面积
12．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（2，8），（11，6），（14，0），（0，0）。（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，
横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？
yA1013．如图，已知A1(1,0)、A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、A7A6A5（2，-1），，则点A201*的坐标为______________________.A2A3
oA1xA4A5A9A黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第十讲：三角形的基本知识
【知识要点】
（一）与三角形有关的线段。
1、三角形的边
三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边
即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）由上式可变形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的两边之差小于第三边
2、三角形的高、中线、角平分线。三角形的重要线段意义从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。图形A用法∵AD是△ABC的BC上的高线.∴AD⊥BC于D.∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AE是△ABC的BC上的中线.CA三角形的高线BDAC三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。BD∴BE=EC=1BC.2三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段。21∵AM是△ABC的∠BAC的平分线.∴∠1=∠2=BDC1∠BAC.2（二）与三角形有关的角。
1、三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。2、三角形的外角和定理及推论：
①三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和。②三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（三）等腰三角形的性质：
1、等腰三角形的两底角相等（简称为“等边对等角”）。2、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）。3、等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。（四）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n2)180多边形外角和定理：多边形的外角和为360°黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【典型例题】
【例1】小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根
木棒的长度是整数小颖有几种选法？可以是多少？【思路分析】设第三根木棒的长度为x，则3AB、CD+AD>AC所以BD+AD+CD+AD>AB+AC因为AD是BC边上的中线，BD=CD所以AD+BD>【自主解答】
BDC1（AB+AC）2【例3】如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．5B．4C．3D．2【自主解答】
【例4】如图，ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
DF⊥CE，求∠CDF的度数。
【思路分析】∠CED=40°+34°=74°，所以∠CDF=74°
【例5】一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块
地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。【思路分析】利用中线等分三角形面积及等分线段等分面积。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例6】ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=。（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=。（3）若∠A=76°，则∠BOC=。（4）若∠BOC=120°，则∠A=。（5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？
DB1A2C【例7】已知:BE,CE分别为△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线,
求:∠E与∠A的关系
【思路分析】利用外角定理和角平分线的性质将△EBC的两个内角用△ABC的内角代换，再根据三角形的内角和等于180°，用△ABC的内角表示△EBC的内角即可得∠E=90°-∠A。
【自主解答】
12ACBE【例8】如图△ABC的∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线相交于点E,
求:∠E与∠A的关系
【思路分析】转化思想，利用外角定理和角平分线的性质将△EBC的两个内角用△ABC的内角代换，再根据三角形的内角和等于180°，用△ABC的内角表示△EBC的内角即可得∠E=
1∠A2A【自主解答】
EBCD【例9】一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数。
【思路分析】多边形的内角和与边数有关，而外角和与边数无关都是360°，所以，可以根据内角和与边数的关系用含边数的式子表示内角和，也可以用题中给的内角和与外角和的关系表示内角和，这两个值应相等。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
练习：
1、如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数.
B2、如图：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC求证：∠EAD＝
AEDC
1（∠C－∠B）2A
BEDC
3、已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于EE求证：∠BAC>∠BA
BCD
4、多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。
5、如图，已知MON，点A、B分别在射线ON、OM上移动（不与点O重合），AC平分OAB，DB平分ABM，直线AC、BD交于点C，试问：随着A、B的移动变化，ACB的大小是否了随之变化？若改变，说明理由；若不改变，求出其值。
CBMDANO黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第十一讲：二元一次方程组及应用
【知识要点】
1、二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只含两个未知数，并且含未知数的项的次数
都是1，系数都不为0，这样的方程称为二元一次方程。2、二元一次方程的标准式：axbyc0a0,b0
3、二元一次方程的解的概念：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解。4、二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的
方程组称为二元一次方程组。
5、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的
值，叫做二元一次方程组的解。
【典型例题】
【例1】下列方程组中，不是二元一次方程组的是（C）
，xy1，x1，xy1Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．yx，xy0．xy0．y23．x2y1．x3，x2y50，【例2】有这样一道题目：判断是否是方程组的解？y12x3y50x3，
小明的解答过程是：将x3，y1代入方程x2y50，等式成立．所以是方
y1x2y50，程组的解．2x3y50小颖的解答过程是：将x3，y1分别代入方程x2y50和2x3y50中，
得x2y50，2x3y50．所以
x3，x2y50，不是方程组的解．
y12x3y50你认为上面的解答过程哪个对？为什么？
【思路分析】正确理解二元一次方程组的解。【自主解答】
【例3】若下列三个二元一次方程：3xy7,2x3y1,ykx9有公共解，那么k的
取值应是（）
A、k=-4B、k=4C、k=-3D、k=3
【思路分析】利用方程3xy7和2x3y1组成方程组，求出x,y，再代入ykx9求出k值。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
6m3n10【例4】解方程组3m2n100方法一：（代入消元法）
方法二：（加减消元法）
方法三：（整体代入法）
122a3b132x23y113a8.3【例5】已知方程组的解是，则方程组3a5b30.93x25y130.9b1.2的解是（）A．x10.3x6.3x10.3x8.3B．C．D．
y2.2y2.2y0.2y1.2【思路分析】利用整体思想转换方程。【自主解答】
45xy13【例6】解方程
453xy【思路分析】换元，设a114a5b13,b，则原方程组可化为xy4a5b312解得a,b的值后再求x,y的值。【自主解答】
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【例7】解三元一次方程组
x2yz8(1)xy1(2)x2z2y3(3)【思路分析】
二元一次方程组
【自主解答】
三元一次方程组消元转化消元转化一元一次方程组【例8】已进入汛期，7年级1班的同学们到水库去调查了解汛情。水库一共有10个泄洪
闸，现在水库水位已经超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库。
同学们经过一天的观察和测量，做了如下记录：上午打开一个泄洪闸，在2小时内水位继续上涨了0.06米；下午再打开2个泄洪闸后，4小时内水位下降了0.1米。目前水位仍超过安全线1.2米。
（1）如果打开5个泄洪闸，还需几小时水位降到安全线？
（2）如果防汛指挥部要求在6小时内使水位降到安全线，应该打开几个泄洪闸？【思路分析】先求出河水注入使水位上升的速度和每个泄洪闸可使水位下降的速度。【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
练习：
1、一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1的度数为x，
2的度数为y，则得到的方程组为
xy50，xy50，xy50，xy50，A．B．C．D．
xy180xy180xy90xy90122、为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，
B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（）
0.9x1.1y1.1x0.9y0.9x1.1y1.1x0.9yA．B．C．D．
yx24xy24xy24yx24
3、大约在1800年前，我国有一本世界著名的算术书，名叫《孙子算经》。书中有一道流传久远的名题，原文是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？”4、《孙子算经》：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折量长木，长木还剩余1尺。问长木有多少尺？
5、我国明朝有一位著名的数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个，问大、小和尚各多少。”
6、我国民间流传着这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两少7两，每人半斤多半斤；
试问各位善算者，多少人分多少银？（注：这里的斤是指市斤，1市斤=10两）。7、（杨损问题）唐朝时，有一位懂数学的尚书叫杨损。他曾经主持了一场考试，其中有一题是：“有一天，几个盗贼正在商议怎样分配偷来的布匹。贼首说，每人分6匹布，还剩下5匹布；每人分7匹布，还少8匹布。这些话被躲在暗处的衙役听到了，他飞快跑回官府，报告了知府，但知府不知道有多少盗贼，不知派多少人去抓捕他们。请问：有盗贼几人，布匹多少？”
8、第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40％；第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10％。实际上两个工程队同时开工，同时完工。两个工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第十二讲：一元一次不等式
【知识要点】
1．不等式的基本性质
性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。符号：若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。
性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。符号：若a>b且c>0，则ac>bc。
性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。符号：若a>b且c黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例4】解关于x的不等式mx23m5xm5
【思路分析】解求知数为x的不等式，就是要利用不等式的性质使不等式逐步化为xa,或xa的形式。利用性质1将不等式变形为(m5)x3m2后，要对(m5)的符号进行讨论，从而确定利用性质2或者性质3进行化简。【自主解答】
【例5】若不等式mx2x1和3x50是同解不等式，求m的值。
【思路分析】先分别解出两个不等式的解。再由它们是同解不等式列出关系式即可解出m的值。也可以根据两个不等式对应的方程同解，直接解出x的值。【自主解答】
2x73x1【例6】不等式组的解集为________________.
x20【思路分析】不等式组的解集是由组成不等式组的各个不等式的解的公共解。
【自主解答】
x84x1【例7】若不等式组的解集是x>3，则m的取值范围是（）
xmA．m3B．m3C．m3D．m3
【思路分析】先解出第1个不等式的解再利用数轴确定m的取值。
黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
2x3(x3)1【例8】关于x的不等式组3x2有四个整数解，则a的取值范围是（）
xa4A．
【思路分析】不等式组可化为
所以
115115115115aB．aC．aD．a42424242x8利用数轴分析如下：
x24a1224a13，解得：115a42x2ya1【例9】已知关于x、y的方程组的解适合不等式2xy1，求a的取值
xy2a1范围.
【思路分析】由方程组解出x,y的值（用含a的式子表示），再代入不等式2xy1得关于
a的一元一次不等式。解之即得a的取值。通过观察发现将两方程相加可得2xy3a，
要使2xy1，即3a1。解得a【自主解答】
1。3【例10】解下列不等式（1）x5（2）x2
【思路分析】正确理解绝对值的几何意义：|x|即数轴上表示数x的点到原点的距离。【自主解答】
（1）不等式解集为：5x5
（2）不等式解集为x2或x黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
练习：1、解不等式
2、若方程3m(x1)1m(3x)5x的解是负数，m则的取值范围是。
1x12x，并把它的解集表示在数轴上。375x13(x1),3、解不等式组13
x17x.22
4、已知方程组
5、已知方程组
3x2ym1,m为何值时，xy？
2xym1.xy2，若方程组有非负整数解，求正整数m的值。
mxy69xa06、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式的整数a,b的有
8xb0序数对(a,b)共有（）对。
A．17B．64C．72D．81
7、如果不等式组无解，那么的取值范围是（）A．a1B．a1C．a1D．a18、解关于x的不等式2axa1。
9、解下列含绝对值的不等式。（1）2x13（2）
2x14黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
第十三讲：数据的收集和整理
【知识要点】
1、为了分析问题需要而用到的数叫做数据。
2、对分析的对象逐个进行调查，然后加以整理，这叫做全面调查。3、对调查对象的一部分进行调查，然后进行评估，这叫做抽样调查。
4、被考察对象的全体叫做总体，其中的每一个对象叫做个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本。
5、表示数据常用的统计图：
（1）条形图，其特点：能清楚地表示出这个项目的具体数目。（2）扇形图，其特点：能清楚地表示了各部分所占总体的百分比。（3）折线图，其特点：能清楚地反映事物的变化趋势。
（4）直方图，其特点：利用小长方形的面积来表示数据落在各小组内的频数大小。
【典型例题】
【例1】图1是希望中学+参加课外活动情况的扇形统计图，其中参加数学兴趣小组的学生
人数占参加课外活动学生总人数的（）A．12%B．22%C．32%D．20%【思路分析】参加课外总的人数为100%。【自主解答】
高的年份是年。（注：资产利润率=
英语17%数学其他35%绘画26%【例2】图2为某工厂201*年至201*年的利润和总资产统计表，由图可知资产利润率最
利润100%）
总资产【思路分析】根据资产利润率计算公式逐一计算各年的利润率队即可。
单位：万元
单位：万元
60048060005000400300360400030003201*00
201*
年份0年份0201*201*201*
201*201*201*
利润表
总资产表
【自主解答】黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例3】小龙在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的家庭收
入情况。他从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图。分组600～800800～10001000～1201*200～14001400～16001600～1800合计频数269240百分比5%15%45%23%5%100%户数201*105060080010001201*40016001800元根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布表。（2）补全频数分布直方图。
（3）绘制相应的频数分布折线图。
（4）请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于1000不足1600元）的大约有多少户？
【例4】根据频数分布直方图填空：
（1）总共统计了名学生的心跳情况；
（2）次数段的学生数最多，约占%；（3）如果每半分钟心跳30～39次属于正常范围，
那么心跳次数属于正常范围占%．黔东南州田家炳中学初中部数学兴趣班培训资料七年级数学基础知识
【例5】某校七年级四个班的同学外出植树，已知在每小时内，5个女生种3棵树，3个男
生种5棵树，各班人数如图所示，则种树最多的班级是七年级班？
【思路分析】每个班种树的总数=这个班中男生的人数男生每人种树的数＋这个班女生的人数女生每人种树的数。然后比较即可知哪个班种树最多，虽然这种思路简单，但计算起来比较烦琐。由于每个班女生种树的速度相同，男生种树的速度也相同，所以每个班的人数中减去相同的女生数和男生数，结果不变，这样就会使得计算变得较简单。【自主解答】
女生人数男生人数人数22252221201*18201*1315
1050一班二班三班四班班级
【例6】英才学校四个年级学生分布如图（左），通过对全体学生暑假期间所读课外书情况
调查，制成各年级读书情况的条形图，如图（右），已知英才学校被调查的四个年级共有学生1500人，则
（1）高一年级学生暑假期间共读课外书本。
（2）暑假期间读课外书总量最少的是年级学生，共读课外书本。（3）该校暑假期间四个年级人均读课外书本。
【思路分析】本题主要是要从图中获取大量的信息其中左图是各年级人数的分布图，即各年级的人数占全体学生人数的百分比，而右图是各年级人均读书量的条形图，从中可知不同年级的学生的人均读书量，由“人均读书量＝相应的人数所读课外书总数”入手解题。【自主解答】
人均读书量
（本/人）
7.38_初二6.66.2_%24高一5.6_6_初二4_%28高二__22%2
0初一初二高一高二年级各年级人均分布图
各年级人均读书量条形图
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