高中数学导数总结

高中数学导数总结

专题：导数（文）

经典例题剖析

考点一：求导公式。例1.f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。31x2，则2考点二：导数的几何意义。

例2.已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是yf(1)f(1)。

例3.曲线yx2x4x2在点(1，3)处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：yx3x2x，直线l:ykx，且直线l与曲线C相切于点x0,y03232x00，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知fxax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围。考点五：函数的极值。

32例6.设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范围。考点六：函数的最值。

例7.已知a为实数，fxx4xa。求导数f"x；（2）若f"10，求fx2232在区间2,2上的最大值和最小值。考点七：导数的综合性问题。

例8.设函数f(x)axbxc(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

3x6y70垂直，导函数f"(x)的最小值为12。（1）求a，b，c的值；

（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。

强化训练答案：

1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A（一）填空题13.

814.y4x4015.716.203（二）解答题17.解：

f"x3x22axb。

2据题意，－1，3是方程3x2axb0的两个根，由韦达定理得

2a13313b3∴a3,b9

32∴fxx3x9xc∵f17，∴c2

f33333293225

∴极小值为－25，a3,b9，c2。

极小值

1

导数强化训练

（三）选择题

x21.已知曲线y14的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为（）

A．1

B．2

C．3D．4

2.曲线yx33x21在点（1，－1）处的切线方程为（）

A．y3x4B．y3x2C．y4x3D．y4x53.函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于（）A．1B．2C．3D．4

4.已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为（）

A．f(x)(x1)23(x1)

B．f(x)2(x1)

C．f(x)2(x1)2D．f(x)x1

5.函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a=（）

（A）2（B）3（C）4（D）56.函数f(x)x33x21是减函数的区间为()（Ａ）(2,)（Ｂ）(,2)（Ｃ）(,0)（Ｄ）(0,2)

7.若函数fxx2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f"x的图象是（）yyyyoxoxoxoA

BCD8.函数f(x)2x213x3在区间[0,6]上的最大值是（）

A．

323

B．

163C．12D．9

9.函数yx33x的极大值为m，极小值为n，则mn为（）A．0B．1C．2D．4

10.三次函数fxax3x在x,内是增函数，则（）

A．a0

B．a0C．a1

D．a1311.在函数yx38x的图象上，其切线的倾斜角小于

4的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0

12.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数

f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）

A．1个B．2个yC．3个D．4个yf(x)

b

aOx2

x

（四）填空题

13.曲线yx在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为__________。

314.已知曲线y134x，则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是33______________

(n)6515.已知f(x)是对函数f(x)连续进行n次求导，若f(x)xx，对于任意xR，都有f(x)=0，则n的最少值为。

16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨．（五）解答题

17.已知函数fxxaxbxc，当x1时，取得极大值7；当x3时，取得极

小值．求这个极小值及a,b,c的值．

3218.已知函数f(x)x3x9xa.（1）求f(x)的单调减区间；

（2）若f(x)在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

3219.设t0，点P（t，0）是函数f(x)xax与g(x)bxc的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（1）用t表示a,b,c；

（2）若函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。

3220.设函数fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数。

32(n)（1）求b、c的值。

（2）求g(x)的单调区间与极值。

21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

22.已知函数f(x)13123]内各有一个极值点．，，(1，xaxbx在区间[11)32（1）求a24b的最大值；

（1）当a24b8时，设函数yf(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿

过函数yf(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线yf(x)运动，经过点A时，

从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式．

3

强化训练答案：

f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3,

所以函数f(x)的单调递减区间为(,1),(3,).

（2）因为f(2)81218a2a,f(2)81218a22a,

所以f(2)f(2).因为在（－1，3）上f(x)0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值.于是有22a20，解得a2.

32故f(x)x3x9x2.因此f(1)13927,即函数f(x)在区间2,2上的最小值为－7.

18.解：（1）

19.解：（1）因为函数即t

3f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t)0，

at0.因为t0,所以at2.g(t)0,即bt2c0,所以cab.又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f(t)g(t).

22而f(x)3xa,g(x)2bx,所以3ta2bt.

将at2代入上式得bt.因此cabt3.故at2，bt，ct3.

322322（2）yf(x)g(x)xtxtxt,y3x2txt(3xt)(xt).

当y(3xt)(xt)0时，函数yf(x)g(x)单调递减.

tt由y0，若t0,则xt；若t0,则tx.

33由题意，函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减，则

ttt(1,3)(,t)或(1,3)(t,).所以t3或3.即t9或t3.

333又当9t3时，函数yf(x)g(x)在（－1，3）上单调递减.所以t的取值范围为(,9][3,).

20.解：（1）∵

fxx3bx2cx，∴fx3x22bxc。从而

g(x)f(x)f(x)x3bx2cx(3x22bxc)＝x3(b3)x2(c2b)xc是一个奇函数，所以g(0)0得c0，由奇函数定义得b3；

32（2）由（Ⅰ）知g(x)x6x，从而g(x)3x6，由此可知，(,2)和(2,)是函数g(x)是单调递增区间；(2,2)是函数g(x)是单调递减区间；

取得极大值，极大值为42，g(x)在x2时，取得极小值，极小值为42。g(x)在x2时，

21.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

h1812x4.53x(m)430＜x＜.

2故长方体的体积为

30x

22从而V(x)18x18x(4.53x)18x(1x).

令V"x0，解得x0（舍去）或x1，因此x1.

3当0x1时，V"x0；当1x时，V"x0，

2Vx2x24.53x9x26x3m34

1处Vx取得极大值，并且这个极大值就是Vx的最大值。

233从而最大体积VV"x9161m，此时长方体的长为2m，高为1.5m.

3答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m。

131222.解：（1）因为函数f(x)xaxbx在区间[11)3]内分别有一个极值点，所以，，(1，32f(x)x2axb0在[11)3]内分别有一个实根，，，(1，故在x设两实根为x1，x2（x1x2），则x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是

0a24b≤4，0a24b≤16，，x23，且当x11即a2，故b3时等号成立．a24b的最大值是16．

（2）解法一：由f(1)1ab知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是

21yf(1)f(1)(x1)，即y(1ab)xa，

32因为切线l在点A(1，f(x))处空过yf(x)的图象，

21所以g(x)f(x)[(1ab)xa]在x1两边附近的函数值异号，则

32x1不是g(x)的极值点．

131221而g(x)xaxbx(1ab)xa，且

3232g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)．若11a，则x1和x1a都是g(x)的极值点．

1322所以11a，即a2，又由a4b8，得b1，故f(x)xxx．

321解法二：同解法一得g(x)f(x)[(1ab)xa]

3213a3(x1)[x2(1)x(2a)]．322因为切线l在点A(1，f(1))处穿过yf(x)的图象，所以g(x)在x1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m11m2）．

当m1x1时，g(x)0，当1xm2时，g(x)0；x1时，g(x)0，当1xm2时，g(x)0．

或当m1设h(x)3a3ax21x2，则

22当m1x1时，h(x)0，当1xm2时，h(x)0；

或当m1由h(1)x1时，h(x)0，当1xm2时，h(x)0．0知x1是h(x)的一个极值点，则h(1)21123a0，2所以a2，又由a

4b8，得b1，故f(x)13xx2x．35

扩展阅读：高中数学导数知识点归纳总结及例题

导数

考试内容：

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

14.导数知识要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数的运算法则函数的单调性函数的极值函数的最值导数导数的运算导数的应用1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlim记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0处的导数，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②以知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.

1

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|，当x＞0时，xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为

yy0f"(x)(xx0).

4.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、

积、商不一定不可导.例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.

5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必

2

要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不

①

可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

②

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：

"I.C"0（C为常数）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)"1x21

(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y两

(xb1)(xb2)...(xbn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边

y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求导可得yx3

导数中的切线问题

例题1：已知切点，求曲线的切线方程

曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为（）

例题2：已知斜率，求曲线的切线方程

与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是（）

注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因为0，得b1，故选Ｄ．

例题3：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．

例题4：已知过曲线外一点，求切线方程

1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．

x4

练习题：已知函数yx33x，过点A(016)，作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题

1.（201*全国卷Ⅱ）曲线yx在点1,1处的切线方程为2x122.（201*江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为

3.（201*宁夏海南卷）曲线yxe2x1在点（0,1）处的切线方程为。4.（201*浙江）（本题满分15分）已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；5.（201*北京）（本小题共14分）

设函数f(x)x3axb(a0).

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；

332x.1函数的单调性和导数

1．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的；如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的。2．利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；

(3)解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．

5

""

【例题讲解】

a)b)

确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3

２．已知函数f(x)xlnx，则（）

A．在(0,)上递增B．在(0,)上递减

求证：yx1在(,0)上是增函数。

311ee32３．函数f(x)x3x5的单调递增区间是_____________．

C．在0,上递增D．在0,上递减

6

函数图象及其导函数图象31.函数yf(x)在定义域(,3)内可导，其图象如

2图，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_____________2.函数f(x)的定义域为开区间(//3,3)，导函数2yf(x)

3f(x)在(,3)内的图象如图所示，则函数f(x)2的单调增区间是_____________

3.如图为函数f(x)ax3bx2cxd的图象，f"(x)为函数

f(x)的导函数，则不等式xf"(x)0的解集为______

-3yo3x

4.若函数f(x)xbxc的图象的顶点在第四象限，则其导函数f"(x)的图象是（）

2

5.函数yf(x)的图象过原点且它的导函数f"(x)的图象是如图所示的一

条直线，则yf(x)图象的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.(201*年广东佛山)设f(x)是函数f(x)的导函数,yf(x)的图象如右图所示，则yf(x)的图象最有可能的是（）

yyy2yyf(x)

y

O12xO12A

xO12B

xO1CxO12Dx7.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f(x)的图象可能

为()

7

8.（安微省合肥市201*年高三第二次教学质量检测文科）函数yf(x)的图像如下右图

所示，则yf(x)的图像可能是

（）

9.(201*年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已

yox(x)ax2bxc的图象如右图，则知函数f(x)的导函数ff(x)的图象可能是()

10.（201*年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一

容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）hhhOtOtO

(A)(B)(C)

正视图侧视图h俯视图tOt"(D)

11.(201*广州二模文、理)已知二次函数fx的图象如图1所示,则其导函数f象大致形状是（）

x的图

8

12.（201*湖南卷文）若函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数yf(x)．．．

在区间[a,b]上的图象可能是yyy

()yoabxoA．B．C．D．

a

obxa

obxa

bx

13.（福建卷11）如果函数yf(x)的图象如右图，那么导

函数yf(x)的图象可能是()

14.（201*年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么

y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）

15.(201*珠海一模文、理)设f"(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf"(x)的图

像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

9

A．

B．C．D．y

16.(湖南省株洲市201*届高三第二次质检)已知函数

则（）yf(x)的导函数yf(x)的图像如下，函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点

f(x)有2个极大值点，2个极小值点

函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点

函数

1xx2x3Ox4x

17.(201*珠海质检理)函数f(x)的定义域为

(a,b)，其导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数是（）

(A).1

(B).2(C).3(D).4

118.【湛江市文】函数f(x)lnxx2的图象大致是

2

yOyyyxOxOxOxA．B．C．D．

219.【珠海文】如图是二次函数f(x)xbxa的部分图

象，则函数g(x)lnxf(x)的零点所在的区间是（）

111422C.(1,2)D.(2,3)

A.(,)B.(,1)

20.定义在R上的函数f(x)满足f(4)1．f(x)为f(x)的导函数，已知函数yf(x)的图象如右图所示.若两正数a,b满足yb2的取值范围是（）f(2ab)1，则a210

Ox

1111)B．(,)3,C．(,3)D．(,3)A．(,22)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，

f"(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所

的值.11

3221.已知函数f(x其导函数y示.求：

（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c

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