高中数学复数专题知识点整理和总结人教版
专题二复数
一．基本知识
【1】复数的基本概念
（1）形如a+bi的数叫做复数（其中a，bR）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b=0时复数a+bi为实数虚数：当b0时的复数a+bi为虚数；
纯虚数：当a=0且b0时的复数a+bi为纯虚数（2）两个复数相等的定义：
abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0
（3）共轭复数：zabi的共轭记作zabi；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为pa,b；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数zabi，把za2b2叫做复数z的模；【2】复数的基本运算设z1a1b1i，z2a2b2i
（1）加法：z1z2a1a2b1b2i；（2）减法：z1z2a1a2b1b2i；
（3）乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特别zza2b2。
123564（4）幂运算：iii1iii1iii1
【3】复数的化简
cdiz（a,b是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母
abi化为实数：zcdicdiabiacbdadbci22abiabiabiab对于zcdicdab0，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为abiabcdizxi进一步建立方程求解
abi二．
例题分析
【例1】已知za1b4i，求（1）当a,b为何值时z为实数（2）当a,b为何值时z为纯虚数（3）当a,b为何值时z为虚数
（4）当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为A．1B．0C1D．1或1
【例2】已知z134i；z2a3b4i，求当a,b为何值时z1=z2
【例3】已知z1i，求z，zz；
【变式1】复数z满足z
2i，则求z的共轭z1i【变式2】（201*年全国卷新课标）已知复数zA.
3i，则zz=2(13i)11B.C.1D.242
【例4】已知z12i，z232i（1）求z1z2的值；（2）求z1z2的值；（3）求z1z2.
【变式1】已知复数z满足z2i1i，求z的模.
【变式2】若复数1ai是纯虚数，求复数1ai的模.
【例5】（201*年全国卷新课标）下面是关于复数z的真命题为（）
2的四个命题：其中1i2p1:z2p2:z22ip3:z的共轭复数为1ip4:z的虚部为1(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p,p
(D)p,pa3i，aR（i为虚数单位）
12i（1）若z为实数，求a的值（2）当z为纯虚，求a的值.
a1i【变式1】设a是实数，且是实数，求a的值..1i2
y3i【变式2】若zx,yR是实数，则实数xy的值是.
1xi
【例7】复数zcos3isin3对应的点位于第象限
【例6】若复数z
【变式1】i是虚数单位,(A．i
【变式2】已知
Z=2+i,则复数z=（）1＋i1i4)等于()1-iB．-iC．1D．-1
（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i
【变式3】i是虚数单位，若
17iabi(a,bR)，则乘积ab的值是2i（A）－15（B）－3（C）3（D）【例8】（201*年天津）复数z7i3i=（）（A）2i（Ｂ）2i（Ｃ）2i（Ｄ）2i
【变式4】（201*年天津）已知i是虚数单位，2i31i（）Ａ1iＢ1iＣ1iＤ．1i
【变式5】.（201*年天津）已知i是虚数单位，复数13i1i=（A2iB2iC12iD12i
【变式6】（201*年天津）已知i是虚数单位，复数13i12i（(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i
【变式7】.（201*年天津）已知i是虚数单位，则
i3i1i1（(A)1(B)1(C)i(D)i
））
）
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【1】复数的基本概念
（1）形如a+bi的数叫做复数（其中a，bR）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部实数：当b=0时复数a+bi为实数虚数：当b0时的复数a+bi为虚数；
纯虚数：当a=0且b0时的复数a+bi为纯虚数（2）两个复数相等的定义：
abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0
（3）共轭复数：zabi的共轭记作zabi；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；zabi，对应点坐标为pa,b；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数zabi，把za2b2叫做复数z的模；【2】复数的基本运算设z1a1b1i，z2a2b2i
（1）加法：z1z2a1a2b1b2i；（2）减法：z1z2a1a2b1b2i；
（3）乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特别zza2b2。
（4）幂运算：i1ii21i3ii41i5ii61
【3】复数的化简cdi（a,b是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母zabicdicdiabiacbdadbci化为实数：zabiabiabia2b2对于zcdicdab0，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为abiabcdizxi进一步建立方程求解
abiza3iaR12i（i为虚数单位），
【例4】若复数(1)若z为实数，求a的值(2)当z为纯虚，求a的值.
a1i【变式1】设a是实数，且是实数，求a的值..1i2y3i【变式2】若zx,yR是实数，则实数xy的值是.
1xi【例7】复数zcos3isin3对应的点位于第象限【变式1】i是虚数单位,(A．i【变式2】已知
1i4)等于()1-iB．-iC．1
Z=2+i,则复数z=（）1＋iD．-1
（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式3】i是虚数单位，若
17iabi(a,bR)，则乘积ab的值是2i（A）－15（B）－3（C）3（D）157i【例8】（201*年天津）复数z=（）
3i（A）2i（Ｂ）2i（Ｃ）2i（Ｄ）2i
2i3【变式4】（201*年天津）已知i是虚数单位，（）
1iＡ1iＢ1iＣ1iＤ．1i【变式5】.（201*年天津）已知i是虚数单位，复数A2iB2iC12iD12i
【变式6】（201*年天津）已知i是虚数单位，复数(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i
i3i1（）【变式7】.（201*年天津）已知i是虚数单位，则
i113i（）12i13i=（）1i(A)1(B)1(C)i(D)i
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