201*年北京市高三城区模拟考试立体几何专题归纳与总结

201*年北京市高三城区模拟考试立体几何专题归纳与总结

12顺义7.一个空间几何体的三视图如图

所示，则该几何体的体积为A.60B.80C.100D.120

俯视图442正（主）视图8左视图323俯视图12.2东城（9）已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.表面积

12主视图12左视图212.2丰台4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．202

12北京7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

（A）2865（B）3065（C）56125（D）60125

1

232C．40

34D．40

3B．12.2石景山7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）

A．843423B．83C．823323D．

3

12.2朝阳10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.

12.2海淀（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三

22棱锥的体积是，左视图的面积是.2俯视图

12.2西城5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）43cm2（B）23cm2（C）8cm2

（D）4cm2

12怀柔4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是主视图

11左视图A．

12B．1C．32D．2俯视图

12房山4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（）

4（A）2423（B）24（C）83（D）432侧（左）视图

主（正）视图

俯视图

12昌平4.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体2积是

主视图A.4左视图

3B.83

C.4D.8

22俯视图

3

12朝阳6.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为正视图

侧视图

A．

1

B．

362C．

3324D．3232俯视图

12海淀（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与

主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

主视图（A）

203（B）

43（C）6（D）4

俯视图

12西城13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．

12.1东城6.给出下列命题：

①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n一定不相交；②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n一定平行；③如果平面、互相平行，若直线m，直线n，则m//n.④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m则n.则真命题的个数是A．3

B．2C．1D．0

4

左12.2朝阳5.关于两条不同的直线m,n与两个不同的平面,，下列命题正确的是

12.2石景山4.设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A．若m//n,m//,则n//C．若m//,n//,则m//n

B．若,,则//D．若m,n//,则mn

A．m//,n//且//，则m//nB．m,n且，则m//nC．m,n//且//，则mnD．m//,n且，则m//n

12东城（6）已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给

出的条件中一定能推出m的是

（A），且m（B）m∥n，且n（C），且m∥（D）mn，且n∥12海淀（5）已知平面,和直线m，且m，则“∥”是“m∥”的

（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分也不必要条件12西城4．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，且m,n.则“∥”是“m∥且n∥”的（）（A）充分而不必要条件（C）充要条件

5

（B）必要而不充分条件（D）既不充分又不必要条件

扩展阅读：北京市201*年高考数学最新联考试题分类大汇编 立体几何试题解析

北京市201*年高考数学最新联考试题分类大汇编

一、选择题：

（3）(北京市东城区201*年1月高三考试文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

a3a3（A）（B）a26a3a3（C）（D）

1218【答案】C

a正（主）视图

a侧（左）视图

【解析】该几何体为底面是直角边为a的等腰直角三角形，

1a3高为a的直三棱柱，其体积为aaa。

22俯视图

7．(北京市西城区201*年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）（A）8（B）

8343（C）4（D）【答案】D

【解析】将三视图还原直观图，可知是一

个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为

第1页共14页1114VS正方形ABCD2222.

3323

A．m//,n//且//，则m//n

B．m,n且，则m//nC．m,n//且//，则mnD．m//,n且，则m//n

【答案】C体的体积为.

3233112第2页共14页正视图侧视图

21俯视图

（9）(北京市东城区201*年4月高考一模文科)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是.

10.(201*年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.

三、解答题：

（17）(北京市东城区201*年1月高三考试文科）（本小题共14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，E是

4323PC中点，F为线段AC上一点.

（Ⅰ）求证：BDEF；

（Ⅱ）试确定点F在线段AC上的位置，使EF//平面PBD，并说明理由.

【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。考查学生的A第3页共14页

PEDFCB空间想象能力。证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明；探求某

证明（Ⅰ）因为PA平面ABCD，

所以PABD．又四边形ABCD是正方形，所以ACBD，PAACA，所以BD平面PAC,又EF平面PAC,

所以BDEF.………………7

分

PBD.………………14分

(16)（201*年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14分）

在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，AB^AD，

AB=4,AD=22,CD=2，PA^平面ABCD，PA=4.

（Ⅰ）设平面PAB平面PCDm，求证：CD//m；（Ⅱ）求证：BD平面PAC；

P第4页共14页

ACBD（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为的值．

(16)（本小题满分14分）

PQ3，求

PB3………………………………………5分

所以BD(4,22,0)，AC(2,22,0)，AP(0,0,4)，

所以BDAC(4)2222201*，BDAP(4)02201*0.

所以BDAC，BDAP.

因为APACA，AC平面PAC，PA平面PAC，

所以BD平面PAC.

ACDyzPBx………………………………………9分

第5页共14页由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为BD(4,22,0).

………………………………………12分

17.(201*年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ABD=90，EB平面

ABCD，EF//AB，AB=2，EF=1，BC=13，且M是BD的中点F.E

（Ⅰ）求证：EM//平面ADF；

（Ⅱ）在EB上是否存在一点P，使得CPD最大？若存在，请求出CPD的正切值；若不存在，请说明理由.（17）（本小题满分13分）

A

DMBC（Ⅱ）解：假设在EB上存在一点P，使得CPD最大.

因为EB平面ABD，所以EBCD.

又因为CDBD，所以CD平面EBD.………………………8分

第6页共14页在RtCPD中，tanCPD=

CD.DP17．(北京市西城区201*年4月高三第一次模拟文)（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AB3，BC4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥

AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面

ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC3，求证：NDFC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MNEFCD．所以四边形MNCD是平行四边形，……………2分所以NC∥MD，………………3分因为NC平面MFD，

所以NC∥平面MFD．………………4分

（Ⅱ）证明：连接ED，设EDFCO．

第7页共14页因为平面MNEF平面ECDF，且NEEF，所以NE平面ECDF，……5分

所以FCNE．…………6分

9分

（Ⅲ）解：设NEx，则EC4x，其中0x4．

由（Ⅰ）得NE平面FEC，所以四面体NFEC的体积为VNFEC所以VNFEC11SEFCNEx(4x)．………11分321x(4x)2[]2．……………13分22当且仅当x4x，即x2时，四面体NFEC的体积最大．………………14分（17）(北京市东城区201*年4月高考一模理科)（本小题共13分）

图1图2

第8页共14页（17）（共13分）

（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.

因为AECF1，DE1，

所以AFAD2，而A60，即△ADF是正

三角形.

又因为AEED1,所以EFAD.…………2分所以在图2中有A1EEF，BEEF.…………3分所以A1EB为二面角A1EF的B平面角.

图1

又二面角A1EFB为直二面角，

所以A1EBE.…………5分又因为BEEFE,

所以A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.…………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A1E⊥平面BEP，BEEF，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系Exyz，

则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，

F(0,3,0).

在图１中，连结DP.因为

CFCP1，FAPB21BEDE.2所以PF∥BE，且PF所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EFDP.

故点P的坐标为（1，3，0）.图2

所以A1B(2,0,1)，BP(1,3,0)，EA1(0,0,1).…………8分

A1Bn0,不妨设平面A1BP的法向量n(x,y,z)，则BPn0.2xz0,即令y3，得n(3,3,6).…………10分x3y0.第9页共14页nEA163所以cosn,EA1.…………12分

2|n||EA1|143故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为

.…………13分3（17）(北京市东城区201*年4月高考一模文科)（本小题共14分）

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AEFCCP1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF2平面EFB，连结A1B，A1P.（如图）

（Ⅰ）若Q为A1B中点，求证：PQ∥平面A1EF；（Ⅱ）求证：A1EEP.

图1图2（17）（共14分）

M，连结QM,MF．证明：（Ⅰ）取A1E中点

在△A1BE中，Q,M分别为A1B,A1E的中点，

所以QM∥BE，且QM因为

1BE．2CFCP1，FAPB21BE，2所以PF∥BE,且PF所以QM∥PF，且QMPF．

第10页共14页所以四边形PQMF为平行四边形．

所以PQ∥FM．…………5分又因为FM平面A1EF，且PQ平面A1EF，

所以PQ∥平面A1EF．…………7分

（Ⅱ）取BE中点D，连结DF.

因为AECF1，DE1，

所以AFAD2，而A60，即△ADF是正三角形.

又因为AEED1,所以EFAD.

所以在图2中有A1EEF.…………9分

EFB，平面A1EF平面EFBEF，因为平面A1EF平面

所以A1E⊥平面BEF.…………12分

又EP平面BEF，

所以A1E⊥EP.…………14分

17.(201*年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共14分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；

（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA//平面BDQ；

（Ⅲ）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，试求

CP的值．CQ⊥

．

17．证明：（Ⅰ）因为E是AD的中点，PA=PD，

所以ADPE……………………1分

因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．……………………2

分

因为PE∩BE=E，……………………3

分

所以AD⊥平面PBE．……………………4

分

（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连结OQ．

……………………5分

因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ第11页共14页

//因为

h1CPCP8．……………………14分，所以CQ3h2CQ17.(201*年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共14分）

在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC=2,ABBC.点M,N分别是1ABCC1,B1C的中点，G是棱AB上的动点.

（I）求证：B1C平面BNG；

(II)若CG//平面AB1M，试确定G点的位置，并给出证明；

(III)求二面角MAB1B的余弦值.17．（本小题共14分）

(I)证明：∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，点N是B1C的中点，

∴BNB1C…………………………1分

ABBC,ABBB1,BB1BCB

∴AB⊥平面B1BCC1………………………2分

B1C平面B1BCC1

第12页共14页∴B1CAB，即B1CGB…………………3分又BNBGB

∴B1C平面BNG…………………………………4分

（II）当G是棱AB的中点时，CG//平面AB1M.……………………………5分证明如下:

连结AB1,取AB1的中点H，连接HG,HM,GC,则HG为AB1B的中位线∴GH∥BB11，GH2BB1…………………6分∵由已知条件，B1BCC1为正方形∴CC1∥BB1，CC1BB1∵M为CC1的中点，

(III)∵直三棱柱ABCA1B1C1且ABBC

第13页共14页

又平面B的法向量为BC1AB11(2,0,0)，

cosBC11,n=B1C1n1B=3，1C1n设二面角MAB1B的平面角为，且为锐角coscosB11C1,n3．

第14页共14页

……………………13分……………………14分

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