导数知识点总结及经典习题解答
导数知识点及习题讲解
1.导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数yf(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量x,则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0);比值
yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率;如果极xx限limf(x0x)f(x0)y存在,则称函数yf(x)在点x0处可导,并把这个limx0xx0x极限叫做yf(x)在x0处的导数,记作f"(x0)或y"|xx0,即
f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x②已知函数yf(x)定义域为A,yf"(x)的定义域为B,则A与B关系为AB.
2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:
⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明,如果yf(x)在点x0处可导,那么yf(x)点x0处连续.事实上,令xx0x,则xx0相当于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]
xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续,那么yf(x)在点x0处可导,是不一定成立的.例:f(x)|x|在点x00处连续,但在点x00处不可导
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义:
函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率,也就是说,曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0),切线方程为yy0f"(x)(xx0).
4.求导数的四则运算法则:
(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)
(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"(c为常数)
vu"v"uu(v0)2vv"②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它
们的和、差、积、商不一定不可导.
)"coxs(arcsx)i"nI.C"0(C为常数)(sixnx)o"s(xn)"nxn1(nR)(cosx)"sinx(arcc11x2
11x2
1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage
xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccoxt)"5.复合函数的求导法则:fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x6.函数单调性:
1x21
⑴函数单调性的判定方法:设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f"(x)>0,则
yf(x)为增函数;如果f"(x)<0,则yf(x)为减函数
注:①f(x)0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0,有一个点例外即x=0时f(x)=0,同样f(x)0是f(x)递减的充分非必要条件.
7.极值的判别方法:(极值是在x0附近所有的点,都有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的极大值,极小值同理)当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f"(x)>0,右侧f"(x)<0,那么f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f"(x)<0,右侧f"(x)>0,那么f(x0)是极小值
yf(x)x2例1.x11处可导,则ab
axbx1在x
例2.已知f(x)在x=a处可导,且f′(a)=b,求下列极限:
(1)limf(a3h)f(ah)f(ah2)2h;(2)limf(a)0h
h0h
1.(全国卷10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()
A(32,2)B(π,2π)C(
32,52)D(2π,3)
2.已知函数f(x)=ax2
+c,且f(1)=2,则a的值为()
A.1B.2C.-1D.0
3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f"(x)g"(x),则f(x)与g(x)满足()
Af(x)2g(x)Bf(x)g(x)为常数函数
Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)为常数函数
4.函数y=x3+x的递增区间是()
A(,1)B(1,1)C(,)D(1,)
7.曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1,则p0点的坐标为(A(1,0)B(2,8)
C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)
8.函数y13xx3有()
A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值3D.极小值-2,极大值2
9对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f"(x)0,则必有()
Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)
11.函数yx3x2x的单调区间为___________________________________.
3)
13.曲线yx4x在点(1,3)处的切线倾斜角为__________.
17.已知f(x)axbxc的图象经过点(0,1),且在x1处的切线方程是yx2,请解答下列问题:
(1)求yf(x)的解析式;(2)求yf(x)的单调递增区间。
18.已知函数f(x)ax34233(a2)x26x32(1)当a2时,求函数f(x)极小值;(2)试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。
3219.已知函数f(x)xaxbxc在x2与x1时都取得极值3(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x[1,2],不等式f(x)c恒成立,求c的取值范围
2
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导数知识点及习题讲解
1.导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数yf(x)定义域的一点,如果自变
f(x0x)f(x0)量x在x0处有增量x,则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(x0)xlimx0;比值
称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率;如果
f(x)极限
yxlimx0f(x0x)f(x0)x存在,则称函数y"在点x0处可导,并把这
y|xx"0个极限叫做
limx0yf(x)在
x0处的导数,记作.,yf(x)"f(x0)或,即
f(x0)"=
yxlimx0f(x0x)f(x0)x②以知函数y
2.函数y⑴函数yf(x)定义域为A的定义域为B,则
A与B关系为AB.
f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:
f(x)在点x0f(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.
f(x)可以证明,如果y事实上,令xx0于是
xx0处可导,那么y相当于x0.
点x0处连续.
x,则xx0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]x0x0
f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0⑵如果yf(x)点x0处连续,那么y0f(x)在点x0处可导,是不成立的.
0例:f(x)|x|在点x0处连续,但在点x0处不可导
注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义:函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)f(x)在点(x0,f(x))"处的切线,切线
的斜率,也就是说,曲线y方程为
yy0f(x)(xx0)."在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是
f(x0)4.求导数的四则运算法则:
(uv)uv"""""yf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)""""""""
(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""(c为常数)
vu"vuv2"(v0)
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.I.C"0(C"为常数)(sinx)cosx
(arcsinx)"11x2
(x)nxn"n1"(nR)(cosx)sinx
(arccosx)"11x2
II.
(lnx)"1x
x(logax)"1xlogae
(arctanx)x"1211
(ex)e"x"x(a)alna
(arccotx)x"21
5.复合函数的求导法则:fx"((x))6.函数单调性:
f(u)(x)""或
y"xy"uu"x
⑴函数单调性的判定方法:设函数yyf(x)为增函数;如果f(x)"f(x)在某个区间内可导,如果
f(x)f(x)">0,则
<0,则y为减函数
y2x3注:①f(x)0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如在(,)上
并不是都有f(x)0,有一个点例外即x=0时f(x)=0,同样f(x)0是f(x)递减的充分非必要条件.
7.极值的判别方法:(极值是在x0附近所有的点,都有f(x)<f(x0),则f(x0)是函数f(x)的极大值,极小值同理)当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧
f(x)"">0,右侧<0,右侧
f(x)""<0,那么f(x0)是极大值;>0,那么f(x0)是极小值
f(x)f(x)例1.yf(x)x2x1处可导,则abaxbx1在x1
例2.已知f(x)在x=a处可导,且f′(a)=b,求下列极限:(1)limf(a3h)f(ah)22;(2)h0hlimf(ah)f(a)
h0h
1.(全国卷10)函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数()
A(3)B(π,2π)C(
3,52,222)D(2π,3)
2.已知函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,则a的值为()A.1B.2C.-1D.0
3f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f"(x)g"(x),则f(x)与g(x)满足()
Af(x)2g(x)Bf(x)g(x)为常数函数
Cf(x)g(x)0Df(x)g(x)为常数函数
4.函数y=x3+x的递增区间是()
A(,1)B(1,1)C(,)D(1,)
7.曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1,则p0点的坐标为(A(1,0)B(2,8)
C(1,0)和(1,4)D(2,8)和(1,4)
8.函数y13xx3有()
A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值3D.极小值-2,极大值2
9对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f"(x)0,则必有()
Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)
11.函数yx3x2x的单调区间为___________________________________.
)
13.曲线yx34x在点(1,3)处的切线倾斜角为__________.
17.已知f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1),且在x1处的切线方程是yx2,请解答下列问题:
(1)求yf(x)的解析式;(2)求yf(x)的单调递增区间。
318.已知函数f(x)ax32(a2)x6x3
2(1)当a2时,求函数f(x)极小值;(2)试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。
19.已知函数f(x)x3ax2bxc在x(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x[1,2],不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围
23与x1时都取得极值
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