二次函数知识点总结及相关典型题目(教师用)

二次函数知识点总结及相关典型题目(教师用)

用专业的心，做专业的教育

二次函数

主讲：陈老师

一、定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.例：已知关于x的函数yax2bxc(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)的性质（1）①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜a｜越大，开口越小。

Ox

ybb4acb2（，）（2）顶点是，对称轴是直线x

2a2a4a（3）①当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4）y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)

2

c0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，抛物线与y轴的交点在x轴下方则下列结论中正确的是(D)

例：1、（201*四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，

A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0

2山东威海题图

练习：1、（201*山东威海，7，3分）二次函数yx2x3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的

取值范围是（A）．A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（201*湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为1,1，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；21

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④a+b+c＜0.其中正确的个数是（C）A.1B.2C.3D.4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，顶点是，对称轴是直线x.

2a2a4a2（2）配方法：yaxhk的顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

2(3)利用交点式求对称轴及顶点：yaxx1xx2，对称轴为x例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）yxx122

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江苏淮安，14，3分）抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是.（1，－4）四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”．．．例1、抛物线yx22x3经过怎样平移得到yx24x1答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；

例2、（201*四川乐山5，3分）将抛物线yx向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A）A．y(x2)B．yx2C．y(x2)D．yx2

例3、（201*重庆江津，18，4分）将抛物线y=x－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛

物线是_______.（y=(x-5)+2或y=x-10x+27）练习：

1、抛物线y2x2x3经过怎样平移得到y2x4x1

2、抛物线yx2x3向左平移2个单位，再向上移3个单位得到yxbxc，求b和c。

23、（201*山东滨州，7，3分）抛物线yx23可以由抛物线yx平移得到,则下列平移过程正确

2222

222222222的是(B)

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

2

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B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.(4)一般式与顶点式的变换

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：

（－3，0），（0，－3）,(5，0)（1）已知抛物线过

（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）例2、将yx26x2和y2x2x4换成顶点式（y（x37,y2(x）221)229）2练习：1、将yx24x－5和y3x7x4换成顶点式

22、（201*山东济宁，12，3分）将二次函数yx24x5化为y(xh)2k的形式，则y2y(x2)1）（

七、yax2bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系

b4ac>0方程有两个不相等的实数根2＝0方程有两个相等的实数根用专业的心，做专业的教育

bc，x1x2ax1x2a（二者都可以用）例1、（201*台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数y＝31x2－999x＋892的图形画在坐标平面上，判

韦达定理：89＝0的两根，下列叙述何者正确？（A）断方程式31x－999x＋22

A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根

例2、.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，则AB的长为4，三角形

ABC的面积是6。

练习：1.已知二次函数y＝ax2－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图

象与x轴的交点的个数．（y＝x22，两个交点）

2.（201*湖北襄阳，12，3分）已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（B）A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、（201*广东东莞，15，6分）已知抛物线y(1)求c的取值范围；

12xxc与x轴有交点．2(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用

21、求yaxbxc(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值

①a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；②a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底高3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他4、拱桥问题

4

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1用专业的心，做专业的教育

例1、（201*广东肇庆，10，3分）二次函数yx22x5有（D）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东

西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余

下的可耕地面积为y（

m2）。

（1）请你写出y与x之间的解析式；

（2）根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可

耕地面积为多少？（3）若余下的耕地面积为4408

m2，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售

价x(元)满足一次函数：m=162-3x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多

少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个

月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）；

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单

价应定为多少？

2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，

拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

y＝－182955x＋(x)12510225

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（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果

精确到1米）．

52110000.01＝275238523、.如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，

绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y轴）当a0时开口向上当a0时x0（y轴）xhxhyaxhk2开口向下yaxbxc2bx2a

b4acb2，()2a4a

6

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扩展阅读：二次函数知识点总结及相关典型题目(教师用)

二次函数

一、定义：一般地，如果yax例：已知关于x的函数yax22bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.

bxc(a,b,c是常数）当a,b,c满足什么条件时

（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数二、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)的性质y（1）①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.③｜a｜越大，开口越小。

4acbb（，），对称轴是直线x（2）顶点是

2a4a2ab2x

O（3）①当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而增大；

②当a0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。（4）y轴与抛物线yax

2

2bxc得交点为(0,c)

c0，抛物线与c0，抛物线与y轴的交点在y轴的交点在x轴上方，x轴下方

例：1、（201*四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是(D)

A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0

2山东威海题图

练习：1、（201*山东威海，7，3分）二次函数yx2x3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（A）．

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

相

2、（201*湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴交，其顶点坐标为12

,1，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④2a+b+c＜0.其中正确的个数是（C）A.1B.2C.3D.4

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法

1

（1）公式法：yax24acbb（，），对称轴是直线xbxc，顶点是.

2a4a2a2b2（2）配方法：yaxhk的顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

(3)利用交点式求对称轴及顶点：yaxx1xx2，对称轴为x例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）yx12x2

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江苏淮安，14，3分）抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是.（1，－4）四、抛物线的平移

方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况方法2：将函数换成顶点式，用口决“（x）左加右减，上加下减”．．．例1、抛物线yx2x3经过怎样平移得到yx4x1答案：向右平移3，再向下移5个单位得到；

例2、（201*四川乐山5，3分）将抛物线yx向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（A）A．y(x2)B．yx2C．y(x2)D．yx2

例3、（201*重庆江津，18，4分）将抛物线y=x－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.

（y=(x-5)+2或y=x-10x+27）练习：

1、抛物线y2x2x3经过怎样平移得到y2x4x1

2、抛物线yx2x3向左平移2个单位，再向上移3个单位得到yxbxc，求b和c。

23、（201*山东滨州，7，3分）抛物线yx23可以由抛物线yx平移得到,则下列平移过程正确的是(B)

222222222

22

2222A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

2（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.(4)一般式与顶点式的变换

例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式：

（－3，0），（0，－3）,(5，0)（1）已知抛物线过

（2）已知抛物线的顶点在x轴上，且过点（1，0）、（－2，4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（－2，0），过点（1，4）例2、将yx26x2和y2x22x4换成顶点式（y（x3）7,y2(x2122)92）

练习：1、将yx24x－5和y3x27x4换成顶点式2

222、（201*山东济宁，12，3分）将二次函数yx4x5化为y(xh)k的形式，则y（y(x2)1）七、yaxax22bxc(a0)与一元二次方程ax2bxc0(a0)的关系

b24ac>0＝0练习：1.已知二次函数y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交

点的个数．（y＝x2，两个交点）2.（201*湖北襄阳，12，3分）已知函数yA.k4

(k3)x2222x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（B）

且k3B.k4C.k4且k3D.k4

3、（201*广东东莞，15，6分）已知抛物线y(1)求c的取值范围；

12xxc2与x轴有交点．

(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

八、二次函数的应用1、求yax2bxc(a,b,c是常数，a0)最大值或最小值

①a0，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标；②a0，函数有最大值为顶点的纵坐标，此时x等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底高3、利润问题：利润＝销量（售价－进价）－其他4、拱桥问题

例1、（201*广东肇庆，10，3分）二次函数yx2x5有（D）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

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例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位：m），要在这块土地上沿东

西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠，水渠的宽为x（m），余

下的可耕地面积为y（m）。

（1）请你写出y与x之间的解析式；

（2）根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为1m时，余下的可

耕地面积为多少？（3）若余下的耕地面积为4408m，求此时水渠的宽度。

例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x(元)满足

一次函数：m=162-3x.

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？

练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500

千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

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2、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝

0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；y＝－18125x＋2

910(52x52)

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到1

522米）．

110000.01＝2752385

3、.如图6，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：0.2m）

图6

附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式yaxyax22开口方向对称轴x0（y轴）x0（y轴）顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)4acb，(2a4ab2当a0时开口向上当a0时k2yaxhyaxhk2xhxh开口向下xb2ayax2bxc)

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