九年级二次函数知识点总结与经典习题
人教版九年级下册二次函数知识点总结与经典习题
1、定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。2、二次函数yax的性质：
（1）抛物线yax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴；（2）函数yax的图像与a的符号关系：
①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点。
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax（a0）。（P21-12）3、二次函数yaxbxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线。4、二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，
22222222b4acb2其中h。，k2a4a5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。
6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
22222①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0。（P23-9,10）7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。8、求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是，对称2a4a2a4ab轴是直线x。（P26-9）
2a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh。
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。题11：抛物线y＝x2＋6x＋4的顶点坐标是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、抛物线yaxbxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样。
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线。
2222bb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴2aab左侧；③0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。
a2（3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置。
2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：
x①c0，抛物线经过原点；②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向b0。ayax2yax2kyaxh2对称轴x0（y轴）顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yaxhk2当a0时开口向上当a0时开口向下x0（y轴）xhxhbx2ayaxbxc2b4acb2()，2a4a
11、用待定系数法求二次函数的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：yaxbxc。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2。题12：已知关于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有两个实数根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。
2222x25x63211题13：先化简，再求值：，其中x＝32x1x33x3x
题14：在平面直角坐标系中，B(3＋1，0)，点A在第一象限内，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求点A的坐标；
(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式；
(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。
图4
12、直线与抛物线的交点（P47-5、P48-10,14）（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c)。
（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ahbhc)。（3）抛物线与x轴的交点。
二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
222抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式ax2bxc0的两个实数根。
判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离。（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点：
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为k，则横坐标是axbxck的两个实数根。
（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yaxbxca0的图像G的交点，
22yax2bxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点；②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点。（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：
2若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故：
bcx1x2,x1x2aaABx1x2
由方程组ykxn的解的数目来确定：
x1x22x1x22b24acb4c4x1x2
aaaa
扩展阅读：新人教版九年级数学二次函数知识点总结与经典课后练习题
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第26章二次函数复习题
一。选择题：
1、下列函数中，是二次函数的有()
C、a0,y1y2D、a0,y1y2
10、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）
yyyy号考线：名姓封：级班密：校学一①y12x2②y1x2③yx(1x)④y(12x)(12x)1111A、1个B、2个C、3个D、4个
oxoxoxox2、若二次函数y(m1)x2m22m3的图象经过原点，则m的值必为()A．B．C．D．
3、A、-1或3B、-1C、3D、无法确定
二。填空题
3、二次函数yx22(m1)x4m的图象与x轴（）
11、抛物线yax2经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为．A、没有交点B、只有一个交点C、只有两个交点D、至少有一个交点12、抛物线y(k1)x2k29，开口向下，且经过原点，则k=．4、二次函数yx22x2有（）A、最大值1B、最大值2C、最小值1D、最小值213、把函数y16x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数5、已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图4所示，有下列四个结论：
关系式为．
①b0②c0③b24ac0④abc0，其中正确的个数有（）
14、二次函数yx22x3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为．y15、有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为。
3O1x16、抛物线yx2xc与x轴的两个交点坐标分别为(x221,0)，(x2,0)，若x1x23，那么c值为，抛物线的对称轴为．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
图4
三。解答题
6、二次函数y117．根据下列条件，求二次函数的关系式：2(x1)22的图象可由y12x2的图象()
（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
7、若抛物线yax2bxc的所有点都在x轴下方，则必有()
A、a0,b24ac0B、a0,b24ac0（2）已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-31），求此二次函数C、a0,b24ac0D、a0,b24ac0的函数关系式．8、已知反比例函数yax(a0)，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数yax2a的图象经过的象限是()
A、第三、四象限B、第一、二象限C、第二、三、四象限D、第一、二、三象限9、二次函数yax2bxc(a0)，当x=1时，函数y有最大值，设(x1,y1)，（x2,y2)是这个函数图象上的两点，且1x
1x2，则（）A、a0,y19、把抛物线yx2mxn的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象1y2B、a0,y1y2
的解析式是yx22x2，求m、n．
提高成绩才是硬道理罗平轻松学习辅导中心13408750958第1页共2页知识改变命运，思考成就未来罗平轻松学习辅导中心13408759：号考线：名姓封：级班密：校学一
20、已知二次函数yx2bx1的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
24、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售
利润为多少？
21、已知抛物线yax24axt与x轴的一个交点为A（-1，0）。（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积
25、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养为9，求此抛物线的函数关系式。殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式y38x36，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定b、c的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；
22、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．（3）“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求ABP的面积．
y2（元）．y12x2bxc
82524O123456789101112x（月）第2题图
23、如图，已知二次函数yx2mxn，当x=3时，
26、已知开口向下的抛物线yax2bxc与x轴交于两点A（x1，0）B（x2，0），其中
有最大值4．x221＜x2，P为顶点，∠APB=90°，若x1、x2是方程的两个根，且x1x226．
（1）求m、n的值；
（1）求A、B两点的坐标；（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，
（2）求抛物线的函数关系式．
求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x的取值范围；
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