七年级数学下册期末复习知识点总结
七年级数学（下册）知识点总结
任课教师：闫冠彬
★必考▲重点√了解
★复习重点：七至十单元测试卷
相交线与平行线【知识点】√
1.▲平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________
2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反
向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。P3例；P82题；P97题；P352（2）；P353题
3.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。4.垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足
5.做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。
6.做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该
边的延长线做垂线。
AACBC7.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
8.垂线段最短；CB9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
10.两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）,内错角Z（在两
条直线内部，位于第三条直线两侧），同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）。
P7例、练习111.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//cP174题13.平行线的判定。P15例结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。P15练习；P177题；P368题。
14.平行线的性质。P21练习1，2；P236题15.★命题：“如果+题设，那么+结论。”P22练习116.真、假命题P2411题；P3712题17.平移的性质P28归纳
三角形和多边形
1.三角形内角和定理★
【重点题目】P763
例：三角形三个内角之比为2：3：4，则他们的度数分别为_____________2.构成三角形满足的条件：三角形两边之和大于第三边。
判断方法：在△ABC中，a、b为两短边，c为长边，如果a+b>c则能构成三角形，否则（a+bc）不能构成三角形（即三角形最短的两边之和大于最长的边）【重点题目】P64例；P692，6；P7073.三角形边的取值范围：三角形的任一边：小于两边之和，大于两边之差（的绝对值）【重点题目】三角形的两边分别为3和7，则三角形的第三边的取值范围为_____________4.等面积法：三角形面积12底高,三角形有三条高，也就对应有三条底边，任取其中一组底和高，三
角形同一个面积公式就有三个表示方法，任取其中两个写成连等（可两边同时2消去12）底高底高，知道其中三条线段就可求出第四条。例如：如图1，在直角△ABC中，ACB=900，CD是斜边AB上的高，则有ACBCCDAB【重点题目】P708题A
例直角三角形的三边长分别为3、4、5，则斜边上的高为_____________D
5.等高法：高相等，底之间具有一定关系（如成比例或相等）
【例】AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，SABC4cm2，则SABE=_____________CB
图1
6.三角形的特性：三角形具有_____________【重点题目】P695题
7.外角：
【基础知识】什么是外角？外角定理及其推论【重点题目】P75例2P765、6、8题8.n边形的★内角和_____________★外角和_______√对角线条数为_____________【基础知识】正多边形：各边相等，各角相等；正n边形每个内角的度数为_____________【重点题目】P83、P84练习1，2，3；P843，4，5，6；P904、5题9.√镶嵌：围绕一个拼接点，各图形组成一个周角（不重叠，无空隙）。
单一正多边形的镶嵌：镶嵌图形的每个内角能被3600整除：只有6个等边三角形（600），4个正方形（900），3个正六边形（1200）三种
（两种正多边形的）混合镶嵌：混合镶嵌公式nm3600：表示n个内角度数为的正多边形与m个内角度数为的正多边形围绕一个拼接点组成一个周角，即混合镶嵌。
【例】用正三角形与正方形铺满地面，设在一个顶点周围有m个正三角形、n个正方形，则m，n的值分别为多少？
平面直角坐标系
▲基本要求：在平面直角坐标系中1.给出一点，能够写出该点坐标2.给出坐标，能够找到该点
▲建系原则：原点、正方向、横纵轴名称（即x、y）
√语言描述：以…（哪一点）为原点，以…（哪一条直线）为x轴，以…（哪一条直线）为y轴建立直角坐标系
▲基本概念：有顺序的两个数组成的数对称为（有序数对）【三大规律】1.平移规律★
点的平移规律（P51归纳）
例将P(2,3)向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，则Q点的坐标为_____________图形的平移规律（P52归纳）
重点题目：P53练习；P543、4题；P557题。2.对称规律▲
关于x轴对称，纵坐标取相反数
关于y轴对称，横坐标取相反数
关于原点对称，横、纵坐标同时取相反数例：P点的坐标为(5,7)，则P点（1.）关于x轴对称的点为_____________(2.)关于y轴的对称点为_____________（3.）关于原点的对称点为_____________3.位置规律★假设在平面直角坐标系上有一点P（a，b）y1.如果P点在第一象限，有a>0，b>0（横、纵坐标都大于0）第二象限第一象限2.如果P点在第二象限，有a0（横坐标小于0，纵坐标大于0）3.如果P点在第三象限，有a
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努力学习好数学知识
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的学科；数学解题的关键就是知识和方法；
知识是锁眼，方法是钥匙。缺少哪个都不能打开题目这把锁；那么我们的数学学习也要针对这两点进行。
一、掌握课本知识内容及内涵
数学知识是数学解题的基石。只有掌握了课本知识的内容，理解知识的内涵，才能更好地运用它来解决问题。
二、多看例题
数学有的概念、定理较抽象，我们可以通过例题，将已有的概念具体化，使
自己对知识的理解更加深刻，更加透彻！看例题时，还要注意以下几点：
1、看一道例题，解决一类问题。不能只看皮毛，不看内涵。我们看例题，要注意总结并掌握其解题方法，建立起更宽的解题思路。不能看一道题就只会一道题，只记题目答案不记方法，这样看例题也就失去了它本来的意义。每看一道题目，就应理清解题思路，掌握解题方法，再遇到同类型的题目，我们就不在难了。既然有“授人以鱼，不如授人以渔”，那么我们是不是也可以说“要鱼不如要渔”呢！
2、我们不仅要看例题还要会总结，总结题型、解题思路和方法。运用了哪些数学思想。最好把总结的写出来。以后复习时再看，就事半功倍了。
3、会模仿，也要创新。在看例题的解题时，首先想自己遇到这个题怎么做，然后看例题怎么解答的，之后我们还要思考还有没有其它方法和思路。我们最后看哪种方法更简便。
三、多做练习
“多”讲的是题型多，不是题目数量多。不怕难题，就怕生题。题海战术不
一定好，但是接触的题型多了，总结的解题方法多了。以后遇到相同类型的题目也就不怕了。
四、心细，多思，善问，勤总结
数学是严谨的，做题目时要细心，一个符号之差，题目的解就可能完全不一样了，遇到问题要多思考，培养自己的数学思维，思考实在不会的，我们就要问，去弄懂。
在数学学习过程中，我们要会总结，还要勤总结。多总结知识内容，总结解题方法，解题思想。一方面能够起到复习巩固的作用，另一方面能提高自己的自学能力。
数学的四大思维体系：数形结合、函数思想、分类讨论、方程思想。
第六章实数
一、知识总结
（一）平方根与立方根
1、平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。
（2）表示：非负数a的平方根记作±a，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。2、算术平方根
（1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：a≥0恒成立。（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数的没有算术平方根。3、立方根：
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。
（2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）
（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。
（二）实数
1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）2、实数：有理数和无理数统称为实数。3、实数分类：（1）按定义分（略）（2）按正负性分（略）4、实数与数轴上的点一一对应。
5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）
6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
7、实数大小：（1）正数>0>负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值
小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法
二、解题实用
1、21.4142131.73252.2362、aa
2a2aa33a33a
3、abab
abababb0
三、典题练习
1、16的平方根是；-3的算术平方根是；-3的立方根是。
222、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是；如果一个有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是。
3、一个自然数的算术平方根是x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是。
4、下列各数中一定为正数的是（填序号）
23①x②x1③x④x1⑤x1
5、当x
6、比较下列各组数的大小
41112-3与2-221与7335与2114-与-
5277、7-2的绝对值为，相反数为，倒数为。8、已知x3，y为4的平方根，xy0，求x+y的值。9、已知x3
10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是。
11、a为5的整数部分，b为5的小数部分，则a+2b的值为。
12、若201*-aa-201*a，试求a-201*的值。（提示：找出题中的隐含条件）
2y-20，求x
2+y的平方根。
第七章一元一次不等式与不等式组
一、知识总结
（一）不等式及其性质
1、不等式：
（1）定义用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。
二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。
（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2、不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
即：如果ab，那么acbc.
性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。即：如果ab，并且c0，那么acbc；
acbc.
性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。即：如果ab，并且c0，那么acbc；
性质4：如果ab，那么ba.（对称性）性质5：如果ab,bc,那么ac.（传递性）
acbc.
（二）一元一次不等式
1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解法：
根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)合并同类项；(5)系数化为1.解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②
移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左
（三）一元一次不等式组
1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。
3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。4、一元一次不等式组的解法
1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：不等式组ab解集xbxa口诀记忆同大取大同小取小大小小大中间找大大小小则无解xaxbxaxbxaxbaxbxaxb无解（四）一元一次不等式（组）解决实际问题
解题的步骤：
⑴审题，找出不等关系→⑵设未知数→⑶列出不等式（组）→
⑷求出不等式的解集→⑸找出符合题意的值→⑹作答。
二、解题技巧
一、有解无解问题：
（1）（3）xaxb有解：ab无解：ab（2）
xaxb
有解：ab无解：ab
xaxb有解：ab无解：ab2、特征解问题：
解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m)当作已知数，去解原式→得
到原式的解（含m)→根据解的特征列出式子（关于m的式子)→解出m的值。
例：已知ax2x1的解集为x1，求a的值。解：解不等式ax2x1把a当作已知数，去解原式得xa1得到原式的解（含a)则a-11根据解的特征列出式子解得a2解出a的值
三、典题练习
1、若关于x的不等式xm1x2m1有解，则m的取值范围是？若无解呢？
2xy1mx2y22、已知关于x，y的方程组的解满足xy0，求m的取值范围。
3、适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：
（1）x只有一个整数解；（2）x一个整数解也没有。
4、解不等式（组）
2x53x,（1）x2x（2）
2324x3x7,3x32x1x,236x35x4,（3）3x72x3.1[x2(x3)]1.2（4）－5＜6－2x＜3（5）y3y832(10y)72
1.5、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m－1)x＞n．
3x2yp1,6、已知关于x，y的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围。
4x3yp17、已知关于x的不等式组
xb02x45的整数解共有3个，求b的取值范围。
8、已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，试比较A与B的大小。
3x4a,9、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值。
x2022
10、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
11、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。（1）若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y。
（2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
12、某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
（2）若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省
租金，请选择最节省的租车方案。
第八章整式乘除与因式分解
一、知识总结
（一）幂的运算：
1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。aaamnmnmn
2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。aaa3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。amnmnamn
4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。abambm
m注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；a01a0（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，
等于这个数的p指数幂的倒数。ap1apa0
（3）科学记数法：ca10n或ca10-n1a10
绝对值小于1的数可记成a10-n的形式，其中1a10，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。
（二）整式乘法：
1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
（三）、完全平方公式与平法差公式
1、完全平方公式：aba22abb2a-ba2-2abb2两个数的和（或
22差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。
2、平法差公式：a-baba-b两个数的平方之差等于这两个数的和
22与这两个数的差之积。
（四）、整式除法
（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（2）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这
个单项式再把所得的商相加。
（五）、因式分解
1、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、分解因式的基本方法：
（1）提公因式法
（2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式（3）对于二次三项式的因式分解的方法：
1）配方法，2）十字相乘法：公式xabxabxaxb
2
例：将x24x3因式分解。
方法一：配方法：原式=x24x4-43=x2-1=x1x3
2方法二：十字相乘法：x24x3=x1x3（4）分组分解法
3、分解因式的技巧：
(1)因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁
(3)变形技巧：
①符号变形Ⅰ、x-y-y-xⅡ、当n为奇数时，x-y-y-x
nnⅢ、当n为偶数时，x-yy-x
nn②增项变形：
例：4x414x414x2-4x24x44x21-4x2③拆项变形：
例x32x2-1x3x2x2-1x3x2x2-1x2x1x-1x1
二、典题练习
1、计算题
(1)a-2b2b-a（2)2xx(3)a253m-2352m(4)aa
(5)310521432310(6)x2y-x-2yx2y3222、快速计算：（1）10397（2）102（3）993、2m4，416，求2mnn2m-n的值。
4、如果2
x2n64成立，那么m,n。
5、在括号内填上指数和底数
（1）8322（2）9332
6、化简求值：已知x2-2x3，求x-1x3x-3x-3x-1的值。
27、已知2x5y4，再求4x32y的值。
8、已知ab3，ab-5，求代数式的值：（1）a2b2（2）a-b
29、因式分解：1）x32x2-5x-62）x2-y2axay3）a44b4
10、比较99999993与9996的大小。
11、不解不等式组
2mn623m-3n1，求7nm-3n-23n-m的值。
2第九章分式
一、知识总结
（一）分式及其性质
1、分式
（1）定义：一般的，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。（2）有理式：整式和分式统称为有理式。
（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意义，则分母≠0）（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
2、分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变
aamam即：（a，b，m都是整式，且m0）
bbmbm分式的性质是分式化简和运算的依据。
-10-
ab叫做分
3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。注：约分的结果应为最简分式或整式。约分的方法：
1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母最低次幂；
2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。
（二）分式运算
1、分式的乘除
acac1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：
bdbd2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
acadad即：
bdbcbcaaa13）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即：n，abbbbnnnn
2、分式的加减
acac1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：b0
bbb2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，
即：
abcdadbdbcbdadbcbdbd0
（三）分式方程
1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解法：
转化整式方程1）基本思路：分式方程2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。
整式方程解整式方程检验3）一般步骤：分式方程注：检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。
通过转化方法（四）分式应用
列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题设未知数，找等量关系列方程
检验（①是否有增根，②是否符合题意）得出答案
二、分式解题中常用的数学思想和技巧
1、已知
1x1y5，求
2x-3xy2yx2xyy的值。（整体思想、构造法）
2、已知
xy43，求
3x-5xy2y2x3xy-5ya1aab2222的值。（整体思想、构造法）
bc1cca3、已知abc1，求4、已知
1a1b161bbc的值。
，1a1b1b1c1c19，
1c1a115，求
abcabbcac。
（先得到
x1x2的值，然后按第1题方法做）
15、已知4，求x2x2的值。（提示：
abcx1x2x1x）
6、已知
bcaxcababc，求
abbcac的值。（提示：参数法）
7、已知
x-x121，求
x422xx1的值。（倒数求值法）
8、已知x2-5x10，求x41x4的值。（提示：由x2-5x10得x5x2y-z2222221x5）
9、已知4x-3y-6z0，x2y-7z0，求
2x-3y-10z的值。
（提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数）
10、计算：1）2）3）
201*201*11-x332-2201*21201*11x-3201*-222（提示：用字母代替数）（提示：局部通分）
x2x111x11x41x4x2x1-x3x2-x-4x-3x-5x-4(提示：假分式可先变形）
三、典题练习
1、如果分式
|x|5x5x2的值为0，那么x的值是。
2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________。
3、计算:
11x11x=_______________。x3x2x1224、当分式
x2x1与分式的值相等时，x须满足。
5、把分式
2x2yxy中的x，y都扩大2倍，则分式的值。（填扩大或缩小的倍数）
6、下列分式中，最简分式有个。
m1a2abb,,,,222222223xxymnm1a2abba3xymn22227、分式方程
1x321x34x922的解是。
8、若2x+y=0，则
xxyy2xyx2的值为。
9、当x为何值时，分式
x1xx2x1222有意义？
10、当x为何值时，分式
2x1x2xx22的值为零？
11、已知分式:当x=时，分式没有意义；当x=_______时，分式的值为0；当
x=－2时，分式的值为_______。12、当a=____________时，关于x的方程
13、一辆汽车往返于相距akm的甲、乙两地，去时每小时行mkm，返回时每小时行nkm，
则往返一次所用的时间是_____________。
14、某班a名同学参加植树活动，其中男生b名(b
18、已知a3a10，求19、已知x+
1x1x2a
42a1的值。
=3，则x2+
1y1x2=________。
2x3xy2yx2xyy20、已知=3，则分式=。
21、化简求值．（1）（1+（2）
1x11x）÷（1－
(x21x13），其中x=－
)，其中x=
12；
12x2x2x2。
22、解方程:（1）
23、已知方程
，是否存在m的值使得方程无解？若存在，求出满2xxxx1足条件的m的值；若不存在，请说明理由。
12xm1102x1512x=2；（2）
2x13x1x3x12。
24、若
x2y3z5，且3x2yz14，求x、y、z的值。
25、小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多
25，问他第一次在购物中心买了几盒饼干？
第十章相交线、平行线与平移
一、知识总结
（一）相交线
1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。
对顶角性质：对顶角相等
2、垂直：
（1）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说明两条直线相互垂直。记作ABCD；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。注：1）垂直是相交的一种特殊的情况；
2）两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。
（2）性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。
4、垂线的画法：略
（二）平行线
1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作AB∥CD。在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其他。2、相关概念：同位角，内错角，同旁内角。
3、性质：
基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。其他性质：①两直线平行，同位角相等；
角的关系②两直线平行，内错角相等；两直线位置关系③两直线平行，同旁内角互补。
4、平行判定：①同位角相等，两直线平行；
性质两直线位置关系②内错角相等，两直线平行；角的关系
③同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的画法：略
判定（三）平移
1、定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。
2、性质：1）一个图形和它经过平移后所得到的图形中，两组对应点连接的线段平行
（或在同一直线上）且相等；
2）平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。
3、确定平移的要素：1）方向；2）距离。
二、典题练习
1、如图所示，下列判断正确的是()
1212
1212
⑴⑵⑶⑷A、图⑴中∠1和∠2是一组对顶角B、图⑵中∠1和∠2是一组对顶角
C、图⑶中∠1和∠2是一对邻补角D、图⑷中∠1和∠2互为邻补角
2、下列说法中正确的是（）
A、有且只有一条直线垂直于已知直线；
B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；C、互相垂直的两条直线一定相交；
D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。
3、如图，下列说法错误的是（）
A.∠A与∠C是同旁内角B.∠1与∠3是同位角C.∠2与∠3是内错角D.∠3与∠B是同旁内角
第3题图
第6题图
第7题图
4、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是()
A．B．C．D．
5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°5、6、如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为。
7、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判断a∥b的条件是。（填序号）
8、如图，当剪刀口∠AOB增大21°时，∠COD增大。
9、吸管吸易拉罐的饮料时，如图，1110，则2。
10、如图，由三角形ABC平移得到的三角形共有个。
第8题图第9题图第10题图
-16-
ACB第11题图
11、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1________。12、已知：如图，BAPAPD180，12。试说明EF。
A1EBFPD
13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最
C2近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置。
MANB14、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A、∠C之间的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明。
APCDBAPCDBACPBDACPBD
(1)(2)(3)(4)
15、如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B∠D90，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B点，AE是折痕。
（1）试判断BE与DC的位置关系；（2）如果∠C130，求∠AEB的度
第十一章频数分布
一、知识总结
（一）频数与频率
1、概念：一般地，如果一组数据共有n个，而其中一类数据出现m次，那么m就叫做
该类数据在该组数据中出现的频数；而则称为该类数据在该组数据中出现的频率。
-17-
2、频数分布：频数分布表，频数分布图（频数分布直方图，频数分布折线图）
（1）整理数据的步骤：
1）计算这批数据的极差（极差=最大值-最小值）
2）决定组距和组数（当数据个数在100以内，一般分为5~12组，数据多分组多，数据少分组少，若有的组内的频数为0时，则应放宽组距）
组距=
极差组数组数=
极差组距
3）决定分点（为了避免出现某一数据所在组不能确定的情况，应使分点比已知数据多一位小数，且把第一组的起点稍微放小）4）画频数分布表。
3、注意：
（1）频率概率
（2）三种统计图的特点：
条形统计图：能清楚地表示出事物的绝对数量；折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势；
扇形统计图：能清楚地表示各部分占总体的百分率。二、典题练习
1、对某班的一次数学测验成绩进行统计分析，各分数段的人数如图所示（分数取正整数
满分为100分）．请根据图形回答下列问题：
20学生人数
15105040～49
50～59
60～69
70～79
80～89
90～99
成绩/分
①该班有名学生；
②70～79分这一组的频数是，频率是。
2、频数分布直方图（如图22-2-9所示）显示了学生半分钟心跳数情况，总共统计了_________名学生的心跳数情况；__________次人数段的学生数最多，约占__________；如果半分钟心跳数3039属于正常范围，心跳次数属于正常范围的学生约占__________。
3、校课外活动小组为了了解本校九年级学生的睡眠时间情况，对学校若干名九年级学生的睡眠时间进行了抽查，将所得数据整理后画出了频数分布直方图的一部分，如图所示，已知图中从左到右前5个小组的频率分别是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二小组的频数为4，请回答：
（1）这次被抽查的学生人数是多少？补全频率分布直方图；
（2）被抽查的学生中，睡眠时间在哪个范围内的人数最多？这一范围的人数是多少？（3）如果该学校有900名九年级学生，若合理的睡眠时间值为7t9，那么请你估计一下这个学校九年级学生中睡眠时间在此范围的人数是多少？
4、校八年级（2）班40个学生某次数学测验成绩如下：
63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。数学老师按10分的组距分段，算出每个分数段学生成绩出现的频数，填写频数分布表：（1）请把频数分布表、频数分布直方图(如图22-2-19)补充完整并画出频数分布折线图；
（2）请你帮老师统计一下这次数学测验的及格率（60分以上为及格，含60分）及优秀率（90分以上为优秀，含90分）；（3）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？
成绩段
[来源学 科 网]49.559.5
59.569.5
69.579.5
79.589.5
89.599.5
频数记录频数
295
频率
0.250
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