第一次月考总结平面向量和解三角形
向量知识点
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
AB3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是)；
|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向
量和任何向量平行。提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)；
AC共线；④三点A、B、C共线AB、abb6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如下列命题：（1）若
，则a。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）
。（5）若abb,c若ABDC，则A是平行四边形。（4）若A是平行四边形，则ABDCBCDBCD（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是_______
，则ac。
（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平
面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标
表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有
且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如
（1）若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c______
（答：
13ab22）；
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.e1(0,0),e2(1,2)B.e1(1,2),e2(5,7)C.
e1(3,5),e2(6,10)D.
13e1(2,3),e2(,)
24（3）已知AD,BE分别是ABC的边
BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为
24ab33（答：B）；
_____
（答：
）；
四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：
1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，
b垂直。
注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如
（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________
（答：－9）；
11（2）已知a(1,),b(0,),cakb,dab22，c与d的夹角为
4，则k等于____
（答：1）；
（3）已知
a2,b5,ab3，则
ab等于____
（答：23（4）已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如
）；
（答：30）
已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______
（答：
4．ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
125）
5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：
①abab0；
222aaaa,aa；b同向时，ab＝ab，ab＝－ab；②当a，特别地，当a与b反向时，
b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜当为锐角时，ab＞0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；0，且a、ab③非零向量a，b夹角的计算公式：cos；④|ab||a||b|。如
ab（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______
（答：43或0且13）；
（2）已知OFQ的面积为S，且OFFQ1，若_________
12S32，则OF,FQ夹角的取值范围是
4（答：(,3)）；
（3）已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式kab3akb,其中k0，①用k表示ab；②求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小
21k1(k0)；②最小值为，60）（答：①ab4k2六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，
,BCb那么向量AC叫做a与b的和，即向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa，
abABBCAC；
②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指
向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①ABBCCD（答：①AD；②CB；③0）；
（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____
___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____
（答：22）；
（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA，则ABC的形状为____
（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设
（答：直角三角形）；
|AP|，则的值为___|PD|（5）若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0（答：2）；
，则△ABC的内角C为____
（答：120）；
2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：
①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如
（1）已知点限的角平分线上
A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象
（答：）；
211（2）已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)222，则xy（答：
6或2）；
F(3,4),F(2,5),F(3,1)（3）已知作用在点A(1,1)的三个力123FFFF，则合力123②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。
③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1y,2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的
的终点坐标是（答：（9,1））
终点坐标减去起点坐标。如
设1A(2,3),B(1,5)，且ACAB3，AD3AB，则C、D的坐标分别是__________
（答：(1,113),(7,9)）；
④平面向量数量积：abx1x2y1y2。如
已知向量a＝（sinx，cosx）,b＝（sinx，sinx）,c＝（－1，0）。（1）若x＝（2）若x∈[38,3，求向量a、c的夹角；
4]，函数f(x)ab的最大值为
12，求的值
（答：(1)150;(2)12或21）；
222⑤向量的模：|a|xy,a|a|2x2y2。如
60|a3b|＝_____a,b已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
（答：13）；
⑥两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则|AB|x2x1y2y1。如
22斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴
如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的同方向的P到O的距
单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。（答：（1）2；（2）x2y2xy10）；
七．向量的运算律：
1．交换律：abba，aa，abba；
2．结合律：abcabc,abcabc，ababab；
3．分配律：aaa,abab，abcacbc。
如下列命题中：①a(bc)abac；②a(bc)(ab)c；③(ab)|a|2
22|a||b||b|；④若ab0，则a0或b0；⑤若abcb,则ac；⑥a222a222222⑧(ab)ab；⑨(ab)a2abbabb；⑦2aa；
。其中正确的是______
（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？八．向量平行(共线)的充要条件：a//b22ab(ab)(|a||b|)x1y2y1x2(1)若向量a(x,1),b(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同
（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab＝0。如
（答：2）；
，且u//v，则x＝______
（答：4）；
（3）设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线
（答：－2或11）
x1x2y1y20九．向量垂直的充要条件
A(ABBAC()ACABAC。)如ABAC：abab0|ab||ab|.特别地
(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m
（答：
32）；
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B（3）已知n(a,b),向量nm90，且
nm，则m，则点B的坐标是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（答：(b,a)或(b,a)）
的坐标是________
b同向或有0（2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；当a、||a|这些和实数比较类似).b|||a|b|a|(|b12、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
|ab||a||b|
b|||a|b；
|a|b不共线当a、（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为
xx2x3y1y2y3G1,。如
33若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_______
（答：(24,)）；331②PG(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心；3③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；AC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；AC||PA|CA|PB0PABC的内心；
（3）若P分有向线段P1P2所成的比为，点M为平面内的任一点，则MPMP1MP2，特别地P为P1P2AB④向量(|AB||⑤|AB|PC|BC的中点2（4）向量PA、PB、PCMPMP1MP21；
中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.
如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中
1,2R且121,则点C的轨迹是_______
（答：直线AB）
解三角形知识点：
1．正弦定理:
asinAbsinBcsinC2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC.
222bcacosA2222bcabc2bccosA2222acb222．余弦定理：bac2accosB或cosB.
2ac222222cba2bacosCbaccosC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
00（1）三角形内角和等于180，即ABC180,灵活变形，如A1800(BC)等
（2）大边对大角,即若abc，则ABC
2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
asinAbsinBcsinC2R（R为三角形外接圆半径）
变形：(1)a:b:csinA:sinB:sinC(2)sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R（角化边）
(3)a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC（边化角）
3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：
a2bc2bccosA；b222a2c22accosB；c2a2b2abcosC
变形：cosA条件适用定理b2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosC边边边a2b2c22ab
角角边正弦定理边边角边角边余弦定理正弦定理（注意解的个数）余弦定理余弦定理4.三角形的面积公式
S12absinC，S12acsinB，S12bcsinA
扩展阅读：C++类模板实现
1.题目：
第一题：类向量模板Myvector
模仿C++中的向量模板（vector），设计一个自己的向量模板类MyVector，能够处理不同类型的数据，要求至少能够实现如下功能：1）初始化：
(1)MyVector向量名(长度);//缺省初值为0(2)MyVector向量名(长度,初值);(3)MyVector向量名1(向量2);
(4)MyVector向量名1(向量2元素地址1,向量2元素地址2);
2）向量元素的访问：
(1)at函数格式：向量.at(下标)(2)[]运算符格式：向量[下标]作用：返回下标所对应的元素。3）可以进行的操作：(1)begin格式：向量.begin()
作用：得到向量第一个元素的地址。(2)back
格式：向量.back()
作用：得到向量的最后一个元素的值。(3)capacity格式：向量.capacity()
作用：得到向量所能容纳元素的总个数。(4)clear格式：向量.clear()
作用：删除向量中的所有元素，使向量成为空向量。(5)empty格式：向量.empty()
作用：判断向量是否为空，若为空则返回true，否则返回false。(6)end格式：向量.end()
作用：返回向量最后一个元素的后继地址。(7)erase
格式：向量.erase(元素地址);或向量.erase(元素地址1,元素地址2);
作用：删除指定地址的元素或指定地址范围[元素地址1,元素地址2)内的元素。注意指定删除的地址不能越界。(8)front
格式：向量.front()
作用：得到向量第一个元素的值。(9)insert
格式：向量.insert(元素地址,待插入数据)
或向量1.insert(元素地址,向量2的元素地址1,向量2的元素地址2)作用：在向量指定地址之前插入一个数据或插入另一个向量中指定地址范围[元素地址1,元素地址2)的元素,返回新插入的第一个元素的地址。若被插入向量空间不够，则需要增加空间。(10)pop_back格式：向量.pop_back()
作用：删除向量的最后一个元素。(11)push_back
格式：向量.push_back(数据)作用：在向量最后增加一个元素。(12)size格式：向量.size()
作用：得到向量中实际存储元素的数目。(13)swap
格式：向量1.swap(向量2)
作用：交互向量1和向量2的元素。(14)=
格式：向量1=向量2
作用：将向量2的元素赋值给向量1。(15)sort格式：向量.sort()
作用：将向量中的元素由小到大排序。2.类设计：#includeusingnamespacestd;templateclassMyvector{
private:
intlength;//向量实际长度intreal;//向量容量T*data;public:
Myvector(int);Myvector(int,Tb);
Myvector(constMyvector&);Myvector(T*m,T*n);
T&at(inta);//向量元素访问
T&operator[](inta);//[]运算符重载
T*begin();//得到向量第一个元素的地址Tback();//得到向量最后一个元素的值
intcapacity();//得到向量所能容纳元素的个数
voidclear();//删除向量中的所有元素，使向量成为空向量boolempty();//判断向量是否为空
T*end();//返回向量最后一个元素的后续地址voiderase(T*p);//删除指定地址的元素
voiderase(T*p1,T*p2);//删除指定地址范围的元素Tfront();//得到向量最后一个元素的值
voidinsert(T*p1,inta);//在向量指定地址之前插入一个数据
voidinsert(T*p,T*P1,T*P2);//在向量指定地址之前插入另一个向量指定地址范围的元素
voidpop_back();//删除向量最后一个元素
voidpush_back(inta);//在向量最后增加一个元素intsize();//得到向量实际储存元素的数目
voidswap(Myvector&);//交互向量1和2的元素
Myvector&operator=(constMyvector&);//“=”运算符重载将向量2的元素赋值给向量1
voidsort();//将向量中的元素由小到大排列};
3.程序清单：
1）：头文件：
#include
usingnamespacestd;templateclassMyvector{private:
intlength;intreal;
T*data;public:
Myvector(int);Myvector(int,Tb);
Myvector(constMyvector&);Myvector(T*m,T*n);T&at(inta);
T&operator[](inta);T*begin();Tback();intcapacity();voidclear();boolempty();T*end();voiderase(T*p);
voiderase(T*p1,T*p2);Tfront();
voidinsert(T*p1,inta);
voidinsert(T*p,T*P1,T*P2);voidpop_back();
voidpush_back(inta);intsize();
voidswap(Myvector&);
Myvector&operator=(constMyvector&);voidsort();};
template
Myvector::Myvector(inta){
length=a;real=a;
data=newT[length];
for(inti=0;ifor(inti=0;ireturn*(data+length-1);}
template
intMyvector::capacity(){
returnreal;}
template
voidMyvector::clear(){
real=length=0;data=NULL;}
template
boolMyvector::empty(){
if(length==0)returntrue;elsereturnfalse;}
template
T*Myvector::end(){
return(data+length);}
template
voidMyvector::erase(T*p){
if(p>=data&&p}else
coutT*j=data;inta=p-data;intb=p2-p1;Myvectorv1(real+b);data=v1.begin();for(inti=0;ivoidMyvector::swap(Myvector&V1){
inta=V1.length;intb=V1.real;T*c=newT[b];
for(inti=0;i
}}data[j]=p;
源文件：
#include"Myvector.h"usingnamespacestd;intmain(){Myvectorv1(10,1);coutv3.insert(v3.begin(),666);v3.insert(v3.end(),888);cout
友情提示：本文中关于《第一次月考总结平面向量和解三角形》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，第一次月考总结平面向量和解三角形：该篇文章建议您自主创作。
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