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高中数学必修4三角函数知识点总结归纳

时间:2019-05-28 15:09:12 网站:公文素材库

高中数学必修4三角函数知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结

第一章三角函数(初等函数二)

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

例1.已知900900,900900,求2的范围。

解:9090,450002450,900900,

2(2),135021350

例2.若集合Ax|kxk,kZ,Bx|2x2,3则AB=_______________________________________。解[2,0][2,2]Ax|kxk,kZ...[333,0]3[,]...3、与角终边相同的角的集合为k360,k例3.与201*0终边相同的最大负角是_______________。

-1-

解.202201*253060(0202)04、已知是第几象限角,确定

n所在象限的方法:先把各象限均分n等n*份,再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来

是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域.

n例4.设角属于第二象限,且cos2cos2,则

角属于()2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解.C2k22k,(kZ),k42k2,(kZ),

当k2n,(nZ)时,

在第一象限;当k2n1,(nZ)时,在第三象限;220,而cos2cos2cos22在第三象限;

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是l.r1807、弧度制与角度制的换算公式:2360,1,157.3.1808、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,

11则lr,C2rl,Slrr2.

22例5如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()

1A.B.sin0.5C.2sin0.5D.tan0.5

sin0.5111,lr解4.A作出图形得sin0.5,r

rsin0.5sin0.59、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是x,y,它与原点的距离是rrx2y20,则sinyxy,cos,tanx0.rrx例6.若角6000的终边上有一点4,a,则a的值是()

解:tan6000a,a4tan60004tan60043410、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限

-2-

正切为正,第四象限余弦为正.

11、三角函数线:sin,cos,tan.

y17的正弦线和余弦线,则给出的以下18不等式:①MPOM0;②OM0MP;③OMMP0;④MP0OM,

例7.设MP和OM分别是角

PTOMAx其中正确的是_____________________________。解.②sin1717MP0,cosOM0181812、同角三角函数的基本关系:1sin2cos21

sin21cos2,cos21sin2;2sinsintancos,cos.

tansintancos4,并且是第二象限的角,那么tan的值等于()513、三角函数的诱导公式:

例8.已知sin1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.

口诀:函数名称不变,符号看象限.

5sincos,cossin.22cos,cossin.226sin口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.例9.满足sinx3的x的集合为_________________________________。214、函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩

-3-

短)到原来的

1倍(纵坐标不变),得到函数ysinx的图象;再将函数

ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数ysinx的图象.

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的得到函数

1倍(纵坐标不变),

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移个单

位长度,得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数

ysinx的图象.

例10.将函数ysin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

3再将所得的图象向左平移个单位,得到的图象对应的解析式是()

3111A.ysinxB.ysin(x)C.ysin(x)D.ysin(2x)

222266111解ysin(x)ysin(x)ysin[(x)]ysin(x)

32323326函数ysinx0,0的性质:①振幅:;②周期:相:.

函数ysinx,当xx1时,取得最小值为ymin;当xx2时,取得最大值为ymax,则11ymaxymin,ymaxymin,x2x1x1x2.2222;③频率:f1;④相位:x;⑤初2例11.如图,某地一天从6时到11时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b

(1)求这段时间最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式

解(1)20°;(2)y10sin(x-5)20

84

-4-

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函ycosx数ysinx性质ytanx图象定义域值域RRxxk,k2R1,1当x2k1,1k当x2kk时,2最值时,ymax1;当x2kymax1;当x2k2k时,ymin1.既无最大值也无最小值k时,ymin1.周期性奇偶性22奇函数偶函数奇函数在2k,2k22在2k,2kk在k,k上是增函数;在k单上是增函数;在22调2k,2k3性2k,2kk上是增函数.22k上是减函数.k上是减函数.对称中心对称中心对k,0kk,0k称2对称轴性对称轴xkkxkk2-5-

对称中心k,0k2无对称轴例12.(1)求函数ylog211的定义域。sinx(2)设f(x)sin(cosx),(0x),求f(x)的最大值与最小值。

111110,log21,2,0sinxsinxsinxsinx25,x2k,kZ2kx2k或2k665k,k2]k[2k,2k),Z(为所求。)(266.解:(1)log2,是f(t)sint的递增区间(2)当0x时,1cosx1,而[11]x时,1当cosf(x)n(1)minsix时,1当cos。f(x)1maxsin例13.已知tan,且3;sin1122是关于x的方程xkxk30的两个实根,tan7,求cossin的值.2解:tan117k231,k2,而3,则tank2,tantan2得tan1,则sincos2,cossin2。2例14.已知函数yf(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移

,这样得到的曲线和y2sinx的图象2相同,则已知函数yf(x)的解析式为_______________________________.

右移个单位12xy解.ysin(2x)y2sin222sinx(2横坐标缩小到原来的2倍)x2y2sin(

1)总坐标缩小到原来的4倍ysin(x2)222-6-

扩展阅读:高中数学必修4知识点总结:第一章 三角函数

高中数学必修4知识点总结

第一章三角函数

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是l.r1806、弧度制与角度制的换算公式:2360,1,157.3.1807、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,则lr,C2rl,

11Slrr2.

228、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是x,y,它与原点的距离是

rrx2y20,则sinyxy,cos,tanx0.rrxyPTO系

:MAx9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,

第三象限正切为正,第四象限余弦为正.

10、三角函数线:sin,cos,tan.11、角三角函数的基本关

1sin2cos212sintancossin21cos2,cos21sin2;

sinsintancos,cos.

tan12、函数的诱导公式:

1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.

口诀:函数名称不变,符号看象限.

5sincos,cossin.6sincos,cossin.2222口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.13、①的图象上所有点向左(右)平移

个单位长度,得到函数ysinx的图象;再将函数

1ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

倍(纵坐标不变),得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍

(横坐标不变),得到函数ysinx的图象.

②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1倍(纵坐标不变),得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍

(横坐标不变),得到函数ysinx的图象.14、函数ysinx0,0的性质:①振幅:;②周期:2;③频率:f1;④相位:x;⑤初相:.2函数ysinx,当xx1时,取得最小值为ymin;当xx2时,取得最大值为ymax,则

11ymaxymin,ymaxymin,x2x1x1x2.222

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRxxk,k2值域当1,1x2k1,1当x2kk时,时,R2k最值ymax1;当x2k2ymax1;当x2k既无最大值也无最小值k时,ymin1.周期性奇偶性在k时,ymin1.2偶函数2奇函数奇函数2k,2k22单调性在2k,2kkk上是增函数;在32k,2k22上是增函数;在2k,2k在k2,k2k上是减函数.k上是增函数.k上是减函数.对对称性称中心对称中心k,0k对称轴对称中心k,0k2对称轴xkkxk2k,0k2无对称轴k

第二章平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:ababab.

⑷运算性质:①交换律:abba;

②结合律:abcabc;③a00aa.

C

⑸坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.

18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

ab

⑵坐标运算:设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2.设、两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则x1x2y,1y2.

abCC

19、向量数乘运算:

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a.①

aa;

②当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反;当0时,a0.

⑵运算律:①aa;②aaa;③abab.

⑶坐标运算:设ax,y,则ax,yx,y.

20、向量共线定理:向量aa0与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba.

设ax1,y1,bx2,y2,其中b0,则当且仅当x1y2x2y10时,向量a、bb0共线.

21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a1e12e2.(不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基

底)

22、分点坐标公式:设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x1,y1,x2,y2,当12时,点的坐标是x1x2y1y2时,就为中点公式。)(当1,.

1123、平面向量的数量积:

⑴ababcosa0,b0,0180.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a和b都是非零向量,则①abab0.②当a与b同向时,abab;当a与b反22向时,abab;aaaa或aaa.③abab.

⑶运算律:①abba;②ababab;③abcacbc.

⑷坐标运算:设两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2y1y2.

22222若ax,y,则axy,或axy.设ax1,y1,bx2,y2,则ab1x2x1.y20y设a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a与b的夹角,则x1x2y1y2abcos.

2222abx1y1x2y2第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴coscoscossinsin;⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan(tantantan1tantan);

1tantantantan(tantantan1tantan).

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

222⑴sin22sincos.1sin2sincos2sincos(sincos)

⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

2,1cos2sin2升幂公式1cos2cos22

降幂公式cos2⑶tan2cos211cos22,sin.222tan.21tan万能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan222:26、半角公式

α1cosαα1cosαcos;sin2222α1cosαsinα1cosα

tan21cosα1cosαsinα(后两个不用判断符号,更加好用)

x)B27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的yAsin(形式。sincos22sin,其中tan.28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:

(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:

①2是的二倍;4是2的二倍;是

的二倍;是的二倍;22430o;cos;②1545306045;问:sin12122ooooo③();④

42(4);

⑤2()()(4)(4);等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常

化切为弦,变异名为同名。

(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的

代换变形有:1sincostancotsin90tan45

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用

降幂公式有:;。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

22oo1cos常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:;;

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。如:

1tan1tan_______________;______________;

1tan1tantantan____________;1tantan___________;tantan____________;1tantan___________;

2tan;1tan2;

tan20otan40o3tan20otan40o;

sincos=;

asinbcos=;(其中

tan;)

1cos;1cos;

(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;

基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值

与特殊角的三角函数互化。

如:sin50o(13tan10o);

tancot。

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