数学新课程数学标准必修4知识点总结
第一章三角函数(约16课时)1.任意角、弧度
了角任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。2.三角函数
（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（
2,的正弦、余
弦、正切），能画出的图象ysinx,ycosx,ytanx，了解三角函数的周期性；
（3）借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2]，正切函数在(性质（即单调性、最大和最小值、图象与轴交点）
（4）理解同角三角函数的基本关系式:
,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx（5）结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助计算器或计
算机画出yAsin(x)的图象，观察参数A,,对函数变化的影
响；
（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现
象的重要函数模型。
第二章平面向量（约12课时）1．平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何意义。2．向量的线性运算
（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共
线的含义；
（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义；3．平面向量的基本定理及其几何意义
（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
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4．平面向量的数量积
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；、（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂
直关系。
5．向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
第三章三角恒等变换（约8课时）
1．经历用向量的数量积推导出两角关匠余弦公式的过程，进一步体会向量方法
的作用；
2．能从两角差的余弦公式化导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角
的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、
半角公式，但不要求记忆）参考例题
例1海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0:003:006:00水深/米5.07.55.0时刻9:0012:0015:00水深/米2.55.07.5时刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出
整点时的水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少
要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，
吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
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扩展阅读：新课标数学必修4知识点总结
数学必修4知识小结
第一章《三角函数》
一，任意角与弧度制
1，角的定义：一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形。逆时针方向旋转为正角，顺时针方向旋转为负角，不作任何旋转形成零角。2，角的象限：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边落在哪一个象限，这个角就称为哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ，第二象限的角2k,2k,kZ，22332k,kZ，第四象限的角2k,22k,kZ，22第三象限的角2k,3，所有与角终边相同的角的集合：S|2k,kZ
4，弧度制：如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么角的弧度数的绝对值是弧度与角度的互化：180radlr1180rad121801rad
12r其中,r,l分别为扇形的圆心角弧25，弧长公式：lr扇形的面积公式：S扇形＝rl度、半径、弧长
强化训练：
1，已知角是第二象限角，试确定角2，
的终边所在的位置22，（1）若角与角的终边关于x轴对称，则与的关系是_____________________
（2）若角与角的终边关于原点对称，则与的关系是_____________________
3，如图所示，试分别表示终边落在阴影区域的角
4，若角是第四象限角，则是第_______象限角
5，在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_________弧度，扇形面积是__________6，已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角各取多少时，才能使扇形的面积最大？最大面
积为多少？
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12－数学必修4知识小结
二，任意角的三角函数1，三角函数的第一定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y则siny，cosx，tanyx2，三角函数的第二定义：设是一个任意角，在角的终边上任取一点P(x,y)，令OPr则sinyxy，cos，tanrrx113，三角函数线：有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线，余弦线，正切线，合称三角函数线。
4，同角三角函数关系平方关系：sincos1商数关系：22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25，sina与cos，sina与cos的大小关系
角的终边在阴影部分内，则sincos
角的终边在阴影部分外，则sincos
角的终边在阴影部分内，则sincos
角的终边在阴影部分外，则sincos
强化训练
1，已知角的终边上有一点P3a,4a，分别求sin,cos,tan的值2，已知cos0,tan0，试判断角所在的象限
3，在0,2内，使sincos成立的的取值范围是_____________4，化简：12sin5cos5_____________5，已知sin1，且角为钝角，求cos,tan的值36，已知tan2，求sin,cos的值
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7，已知tan2，求下列各式的值
1）
sin2cos222）sin3cossin2cos
3cos4sin8，已知sincos7,0，求1）sincos2）sincos3）tan54
三，三角函数的诱导公式
公式一：sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二：sin＋－sin,cos＋－cos,tan＋tan公式三：sinsin,coscos,tantan公式四：sinsin,coscos,tantan公式五：sincos,cossin
22公式六：sin＋cos,cos＋－sin
22诱导公式的规律：奇变偶不变，符号看象限。
k,kZ的三角函数值可化为角的三角函数值。（当k为奇数时，函数名改变;当k2k,kZ所在象为偶数时，函数名不变。角的函数值前面加上视为锐角时，原函数值在2意思是：限内的符号。）
强化训练：
1，求下列各三角函数的值（1）sin(945)（2）tan35331（3）3sin1200coscos585tan346的值2，（1）已知sin15，求sin233（2）已知cos3，已知
4m，求sin的值631tan322，求cos2sincos2sin2的值
1tan武汉市第十五中学高一数学组
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四，三角函数的图像和性质
1，正弦函数：ysinx的性质
１）定义域为R，值域为1,12）最小正周期为23）单调性单调增区间4）奇偶性奇函数
5）对称性对称轴：直线x2，余弦函数：ycosx的性质
１）定义域为R，值域为1,12）最小正周期为2
3）单调性单调增区间2k,2k,kZ，单调减区间2k,2k,kZ4）奇偶性偶函数
5）对称性对称轴：直线xk,kZ，对称中心：点3，正切函数：ytanx,x１）定义域为x|xR,x32k,2k,kZ，单调减区间2k,2k,kZ
22222k,kZ，对称中心：点k,0,kZ
k,0,kZ22k,kZ的性质
k,kZ，值域为R2）最小正周期为23）单调性单调增区间4）奇偶性奇函数
k,k,kZ，
22k,0,kZ215）对称性对称中心：点4，三角函数的图像变换三种基本变换：
1）周期变换：ysinysinx0，纵坐标不变，横坐标变为原来的
。2）相位变换：ysinysin(x)，向左0或向右0平移个单位。“加左减右”3）振幅变换：ysinyAsinxA0，横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍。
ysinyAsin(x)0,A0，三个参数不同，所以要经过三个基本变换，每一个基
本变换改变一个参数。变换的步骤一般是先进行相位变换，再进行周期变换，最后进行振幅变换。
5，已知三角函数图像求三角函数yAsin(x)，A0,0解析式
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12－数学必修4知识小结
由最大（最小）值求出A，由周期求出，由特殊点的坐标代入求出。（注意，取零点时要注意是第一零点还是第二零点。）
相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期；相邻的两个最值点的间距为半个周期；相邻的两个对称中心的间距为半个周期；最高点和与之相邻的对称中心的间距为四分之一个周期
强化训练：
1，函数y2sin(1x)的周期，振幅，初相分别是_______,________,_______242，函数ycos(2xA．x2)的图象的一条对称轴方程是（）
2B.x4C.x8D.x
3，要得到函数y=sin(2x-
)的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）3A.向左平行移动个单位B.向左平行移动个单位
36C.向右平行移动个单位D.向右平行移动个单位
365,，则值域是（）664，若函数ycos2x2sinx的定义域为xA.,2B.2,2C.5，函数ycos(6，函数y177,D.2,444x)的单调递增区间是_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定义域为__________________7，如图是函数yAsin(x)(A0,0,2)的图象的
6x一部分。则函数的解析式是___________
18，函数y2sin(x)由y=sinx（xR）的图象怎样变换得到的？
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第二章《平面向量》
一，向量的基本概念
1，向量的定义：既有大小又有方向的量，叫做向量。2，向量的表示：
1）字母表示：a，AB
2）几何表示：可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。3，向量的基本概念
1）模：向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作a
2）零向量：长度为0的向量3）单位向量：长度为1的向量
4）共线向量：方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作a//b。
5）相等向量：长度相等且方向相同的向量称为相等向量。6）相反向量：长度相等且方向相反的向量称为相反向量。
强化训练
1，下列说法正确的是（）
（A）长度相等的向量就是相等向量（B）共线向量就是在一条直线上的向量（C）零向量的长度是0（D）方向相同或相反的向量是平行向量
A2，如图，三角形ABC的三边均不相等，E，F，D分别为AC，AB，BC的中点
1）写出EF与共线的向量2）写出所有与EF模相等的向量
FEBD二，平面的线性运算1，向量的加法1）加法法则
（1）平行四边形法则：共起点（2）三角形法则：首尾相连
CCD
BABACABACADABBCAC
2）相关结论
（1）ababab（2）abba（3）abcabc
2，向量的减法
减法法则三角形法则：共起点。
CABACCB
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12－6
AB数学必修4知识小结
3，数乘运算
1）定义：规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做a。
长度与方向规定如下：（1）aa（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反
2）相关结论：
（1）aa（2）aaa（3）abab
（4）00
3）向量共线定理：a为非零向量，则a//bba（为唯一确定的实数）
4）三点共线问题：若A、B、C三点共线AB//AC或AB//BC
推论：若OAmOBnOC，则A、B、C三点共线mn1
强化训练：
1，在平行四边形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,则下列运算正确的是()
(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0
2，化简下列各式，结果为零向量的个数为________个
1）ABBCCA2）ABACBDCD3）OAODAD4）NQQPMNMP
DFCEA3，如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别为E，F，且AEa,AFb，试用a,b表示BC,CD
B4，设P是三角形ABC所在平面内的一点，BCBA2BP，则（）
(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC0
15，在三角形ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD2DB，CDCACB，则_____
36，已知两非零向量a,b，设OAab，OBa2b，OCa3b，判断A，B，C的位置关系
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三，平面向量基本定理及坐标表示1，平面向量基本定理
1）平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意
向量a，有且只有一对实数,，使ae1e2
2）基底：不共线的两个向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
两个向量成为基底的唯一限制是不共线。任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。3）向量共线定理的推论：
若a1e11e2，b2e12e2，则a//b1221（交叉相乘，积相等）4）向量的夹角：作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角。
显然0,180，当0时，a，b同向；当180时，a，b反向，当90时，称a，
b垂直，记作ab。
2，平面向量的正交分解及坐标表示
1）正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。
2）坐标表示：取分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向
量a，则axiyj。我们将有序数对x,y叫做向量a的坐标，记作a＝x,y。
3）向量的坐标运算
若a＝x1,y1，b＝x2,y2，则
abx1x2,y1y2，abx1x2,y1y2，ax1,y1
4）向量平行的坐标表示
若a＝x1,y1，b＝x2,y2，则a//bx1y2x2y10
强化训练
1，设e1,e2为两个不共线的向量,若ae1e2与b(2e13e2)共线，则_____
2，在三角形ABC中，设ABa，ACb，点D在线段BC上，且BD3DC，则把AD用a,b表示为。
3，ABCD的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是____________4，已知ΔABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与ΔABC的关系是：（）
A、P在ΔABC内部B、P在ΔABC外部
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C、P在直线AB上D、P在ΔABC的AC边的一个三等分点上5，两点P(4,-9),Q(-2,3),y轴与直线PQ交于M且PMMQ则为___________
6,如图，直线PQ经过ΔABC的重心G，分别与AB，AC交于P,Q两点，A11设APmAB，AQnAC，则_____
mn7，如图，ΔABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，试用
PQGBCAAB,AC表示CE
B8，若向量a(1,2)，b(x,1)，，当a2b与2ab平行时，则x=______
DEC9，如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，DC的
中点，G为BF，DE的交点，若ABa,ADb，试以DFCa,b表示DE,BF,CG
四，平面向量的数量积
AGEBb，1，数量积的定义：两个非零向量a，b，我们把数量abcos叫做向量a与b的数量积，记作a其中是向量a，b的夹角。特别地，我们把acos叫做a在b方向上的投影。
b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积。2，数量积的几何意义：数量积a3，运算律：
b＝ab3）abc＝acbcb＝ba2）ab＝a1）a4，相关结论：
22a02）abab03）aa4）abab1）05）ab22222a2abb6）ababab
5，数量积的坐标表示：
若a＝x1,y1，b＝x2,y2，则abx1x2y1y2
6，坐标运算的相关结论
221）若a＝x,y，则axy2）若a＝x1,y1，b＝x2,y2，则abx1x2y1y20
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ab3）cosabx1x2y1y2xy2121x2y222
7，向量与三角形的“四心”
已知点P是三角形所在平面内的一点，
1）若PAPBPC0，则点P是三角形ABC的重心；
2）若PAPBPBPCPCPA，则点P是三角形ABC的垂心；
2223）若PAPBPC，则点P是三角形ABC的外心；；
4）令ABc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0，则点P是三角形ABC的内心。
强化训练
121，若等边三角形ABC的边长是23，平面内一点M满足CMCBCA，则MAMB_____。
63，b2，ab7，则a与b的夹角的余弦值为_________________2，若a13，a(2,1),b(3,4),则向量a在向量b方向上的投影为___________________4，若向量a(1,2)，b(x,1)，当a2b与2ab垂直时，求x.5，已知ab2,8，ab8,16，求ab及a与b的夹角的余弦。
6，已知｜｜a4,|b|3，(2a－3b)(2ab)61,
(1)求ab的值；（2）求a与b的夹角；（3）求ab的值．
7，设a、b是两个不共线的单位向量，且a与b夹角为120，那么实数x为何值时|axb|的值最
小？
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第三章三角恒等变换
一，两角和与差的公式
和角公式：sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantantan
1tantan差角公式：sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantantan
1tantana2b2sinx（tanb,且的象限由a,b的符号确定）aasinxbcosx辅助角公式：
二，二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式：sin22sincos
cos2cos2sin22cos2112sin2
2tan
1tan21cos21cos222降幂公式：sin，cos
22tan2
强化训练
1，若cos(1),,，则cos________33362，化简：1sin6___________
11，sincos，则sin()________323123,sin，则cos2＝___________4，已知，且cos241353，已知cossin5，在三角形ABC中，A6，已知cos4,cosB10，则sinC_________10113,cos,且0，（1）求tan2的值；（2）求7142武汉市第十五中学高一数学组
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7，已知向量acosx3,sinx,bcosx,sinx3，fxa求函数fx的b,x2,3，
单调增区间。8，已知函数fx131cos2xsinxcosx,xR，该函数的图象可由ysinxxR的图224象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
9，求函数fx2sinxcosxsinxcosx2的最大（最小）值.
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