高中数学选修2-1、2-2知识点小结

高中数学选修2-1、2-2知识点小结

选修2-1、2-2知识点

选修2-1

第一章常用逻辑用语1.命题及其关系

①四种命题相互间关系：②逆否命题同真同假2.充分条件与必要条件

p是q的充要条件：pq

p是q的充分不必要条件：pq,qp是q的必要不充分条件：qp,pp是q的既充分不必要条件：p靠q,q原命题若p则q互否互逆逆命题若q则p互否为逆为逆互否互逆互否pqp

逆否命题若q则p逆否命题若q则p3.逻辑联结词“或”“且”“非”

4.全称量词与存在量词注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.第二章圆锥曲线与方程1.

三种圆锥曲线的性质（以焦点在x轴为例）

椭圆与两个定点的距离和等于定义常数2a(2a|F1F2|)双曲线与两个定点的距离差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|)2222抛物线与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程xa22yb221(ab0)xayb1(a,b0)y2px(p0)2图形顶点坐标对称轴(±a,0),(0,±b)x轴，长轴长2ay轴，短轴长2b(±ab,0)22(±a,0)x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2b(±ab,0)22(0,0)x轴p2焦点坐标(,0)离心率caeca1ba220e1eca1ba22e1e＝1准线xa2cxa2cbaxp2渐近线yx焦半径|PF1|aex0|PF2|aex0|PF|x0p2a,b,c,e，p知二求二2.“回归定义”是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

3.直线与圆锥曲线的位置关系

（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、

0、0.

应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)

常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；

②点差法（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：x1x222x0,y1y222y0,y2y1x2x1k）

（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）

①直线具有斜率k，两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

222(1k)(xx)4x1x212AB1kx1x211k2y1y2

②直线斜率不存在,则ABy1y2.

（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

考查三个方面：A存在性（相交）；B中点；C垂直（k1k21）

注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）

（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建设现（限）代化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。

第三章空间向量与立体几何1.空间向量及其运算

aaaxyz212121①②

d,x2x12y2y1z2z122共线向量定理：a//bab(b0)③

共面向量定理：p,a,b共面pxayb(x,yR)；

四点共面MPxMAyMB(x,yR)④

空间向量基本定理pxaybzc(x,y,zR)（不共面的三个向量a,b,c构成一组基

底，任意两个向量都共面）

2.平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（a,b是a,b的方向向量，n是平面的法向量）

线线平行：a//ba//b

线面平行：a//an或a//b，b或axbyc(b，c是内不共线向量）

面面平行：//n1//n2

3.垂直

线线垂直：ababab0

线面垂直：aa//n或ab,ac(b，c是内不共线向量）

面面垂直：n1n2

4.夹角问题

|ab|线线角cos|cosa,b|（注意异面直线夹角范围0）

2|a||b||an|线面角sin|cosa,n||a||n||nn2|（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；二面角|cos||cosn1,n2|1|n1||n2|③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））5.距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）

|PAn|P到平面的距离d（其中A是平面内任一点，n为平面的法向量）|n|6.立体几何解题一般步骤

坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。

几何法：作、证、求异面直线夹角平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；线面角找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；

二面角定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.选修2-第一章导数及其应用1.平均变化率

yxf(x0x)f(x0)x

2.导数（或瞬时变化率）f(x0)lim导函数(导数)：f(x)limf(x0x)f(x0)xf(xx)f(x)x

x0

x03.导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的

切线的斜率，即k＝f(x0)．

应用：求切线方程，分清所给点是否为切点4.导数的运算：

(1)几种常见函数的导数：

①(C)′＝0(C为常数)；②(x)′＝x1(x＞0，Q)；③(sinx)′＝cosx；④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex；⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；⑦(lnx)1x；⑧(logax)1xlna(a＞0，且a≠1)．

(2)导数的运算法则：

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；

③[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)2(v(x)0).

5.设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数

yufu，则复合函数yf((x))在点x处也有导数，且y"xy"uu"x或

fx((x))f(u)(x)。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以

中间变量对自变量的导数。

6.定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的

选取，以及区间的分割.微积分基本定理

babf(x)dxF(x)|F(b)F(a).

a物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。7.函数的单调性

"（1）设函数yf(x)在某个区间（a，b）可导，如果f(x)0，则f(x)在此区间上为增函数；

如果f(x)0，则f(x)在此区间上为减函数；（2）如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数。

★★★反之，若已知可导函数yf(x)在某个区间上单调递增，则可导函数yf(x)在某个区间上单调递减，则求单调性的步骤：

""f"(x)0，且不恒为零；

f"(x)0，且不恒为零.①确定函数yf(x)的定义域（不可或缺，否则易致错）；②解不等式f"(x)0或f"(x)0；

③确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“”连结。8.极值与最值

对于可导函数f(x)，在xa处取得极值，则f"(a)0.最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.若f(x)在开区间(a,b)有唯一的极值点，则是最值点。求极值步骤：

①确定函数yf(x)的定义域（不可或缺，否则易致错）；②解不等式f"(x)=0；

③检验f"(x)=0的根的两侧的f"(x)符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极

值点.

求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某就是最大或者最小。

9.恒成立问题“f(x)af(x)maxa”和“f(x)af(x)mina”，注意参数的取值中

“=”能否取到。

第二章推理与证明

1.分清概念：合情推理与演绎推理2.综合法分析法的步骤规范

3.反证法步骤：①提出反设；②推出矛盾；③肯定结论4.数学归纳法步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1）（2），结论对于nN*(或者其他)成立，必不可少）

第三章数系的扩充与复数的引入

1.复数的概念三种表示形式：代数形式：zabi，复平面内点Z(a,b)，向量OZ.2.区分实数，虚数，纯虚数，复数3.复数的四则运算及其几何意义4.复数的模

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选修2-1、2-2知识点

选修2-1

第一章常用逻辑用语1.命题及其关系

①四种命题相互间关系：②逆否命题同真同假2.充分条件与必要条件

p是q的充要条件：pq

p是q的充分不必要条件：pq,qpp是q的必要不充分条件：qp,pqp是q的既充分不必要条件：p靠q,qp

原命题若p则q互逆互否逆命题若q则p互否为逆为逆互否互否逆否命题若q则p3.逻辑联结词“或”“且”“非”

4.全称量词与存在量词注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.例：“a=1”是“x0,2x互逆逆否命题若q则pa1”的（）xA．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第二章圆锥曲线与方程1.

三种圆锥曲线的性质（以焦点在x轴为例）

椭圆与两个定点的距离和等于定义常数2a(2a|F1F2|)双曲线与两个定点的距离差的绝对值等于常数抛物线2a(2a|F1F2|)x2y221(a,b0)2ab与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程x2y221(ab0)2aby22px(p0)图形顶点坐标对称轴(±a,0),(0,±b)x轴，长轴长2ay轴，短轴长2b(±ab,0)22(±a,0)x轴，实轴长2ay轴，虚轴长2b(±ab,0)22(0,0)x轴焦点坐标(p,0)2e＝1c离心率acb2e120e1aacb2e12e1aa准线a2xca2xcybxaxp2渐近线焦半径|PF1|aex0|PF2|aex0|PF|x0p2a,b,c,e，p知二求二2.“回归定义”是一种重要的解题策略。如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

3.直线与圆锥曲线的位置关系

（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、0.

应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)

常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；

②点差法（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：x1x2yyyy2x0,122y0,21k）

22x2x1（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）

①直线具有斜率k，两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

2AB1k2x1x2(1k2)(xx)4x1x21211y1y2k2②直线斜率不存在,则ABy1y2.

（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

考查三个方面：A存在性（相交）；B中点；C垂直（k1k21）

注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）

（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建设现（限）代化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。

例1.已知定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；A．PFB．PFC．PFD．PF11PF2101PF241PF26

例2已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF260，

2PF2212

SPF1F2x2y2123．求该双曲线的标准方程（答：1）

412例3已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值

x21y21;m(,2)）范围。（答：32y21相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹例4过点A（2，1）的直线与双曲线x22方程。

第三章空间向量与立体几何1.空间向量及其运算

①②③

222aaax1y1z1d,x2x1y2y1z2z1222共线向量定理：a//bab(b0)

共面向量定理：p,a,b共面pxayb(x,yR)；四点共面MPxMAyMB(x,yR)

④

空间向量基本定理pxaybzc(x,y,zR)（不共面的三个向量a,b,c构成一组基

底，任意两个向量都共面）

2.平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（a,b是a,b的方向向量，n是平面的法向量）

线线平行：a//ba//b

线面平行：a//an或a//b，b或axbyc(b，c是内不共线向量）

面面平行：//n1//n2

3.垂直

线线垂直：ababab0

线面垂直：aa//n或ab,ac(，b是c内不共线向量）

面面垂直：n1n2

4.夹角问题|ab|线线角cos|cosa,b|（注意异面直线夹角范围0）

2|a||b||an|线面角sin|cosa,n||a||n||n1n2|（一般步骤①求平面的法向量；②计算法向量夹角；二面角|cos||cosn1,n2||n1||n2|③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））

5.距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）

|PAn|（其中A是平面内任一点，n为平面的法向量）P到平面的距离d|n|6.立体几何解题一般步骤

坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。

几何法：作、证、求异面直线夹角平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；线面角找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；

二面角定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.

选修2-2

第一章导数及其应用

yf(x0x)f(x0)1.平均变化率xx2.导数（或瞬时变化率）f(x0)limf(x0x)f(x0)

x0xf(xx)f(x)导函数(导数)：f(x)lim

x0x3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的

斜率，即k＝f(x0)．

应用：求切线方程，分清所给点是否为切点4.导数的运算：

(1)几种常见函数的导数：

①(C)′＝0(C为常数)；②(x)′＝x1(x＞0，Q)；③(sinx)′＝cosx；

④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex；⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；

⑦(lnx)11；⑧(logax)(a＞0，且a≠1)．

xlnax(2)导数的运算法则：

①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；③[u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)](v(x)0).v(x)v2(x)5.设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x的对应点u处有导数

)点x处也有导数，且y"xy"uu"x或yufu，则复合函数yf((x)在

fx((x))f(u)(x)。复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以

中间变量对自变量的导数。

6.定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方函数的

选取，以及区间的分割.微积分基本定理

baf(x)dxF(x)|bF(b)F(a).

a物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。7.函数的单调性

（1）设函数yf(x)在某个区间（a，b）可导，如果f"(x)0，则f(x)在此区间上为增函数；如果f"(x)0，则f(x)在此区间上为减函数；（2）如果在某区间内恒有f"(x)0，则f(x)为常数。

★★★反之，若已知可导函数yf(x)在某个区间上单调递增，则可导函数yf(x)在某个区间上单调递减，则求单调性的步骤：

①确定函数yf(x)的定义域（不可或缺，否则易致错）；②解不等式f"(x)0或f"(x)0；

③确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不

能用“”连结。8.极值与最值

对于可导函数f(x)，在xa处取得极值，则f"(a)0.最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.若f(x)在开区间(a,b)有唯一的极值点，则是最值点。求极值步骤：

①确定函数yf(x)的定义域（不可或缺，否则易致错）；②解不等式f"(x)=0；

5

f"(x)0，且不恒为零；

f"(x)0，且不恒为零.③检验f"(x)=0的根的两侧的f"(x)符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点.

求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某就是最大或者最小。

9.恒成立问题“f(x)af(x)maxa”和“f(x)af(x)mina”，注意参数的取值中

“=”能否取到。例1y138x，过P(2,)的切线方程为33例2设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1,x2处取得极值。（1）求a,b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围。（答：(1)a=-3,b=4;(2)c(,1)(9,)）

13x2ax23a2xb,0a1.3（1）求函数f(x)的单调区间、极值.

（2）若当x[a1,a2]时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围.（答：（1）f(x)在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减；xa时，

44f极小(x)ba3，x3a时，f极小(x)b（2）a的取值范围是[,1)）

35例3设函数f(x)

第二章推理与证明

1.分清概念：合情推理与演绎推理2.综合法分析法的步骤规范

3.反证法步骤：①提出反设；②推出矛盾；③肯定结论4.数学归纳法步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤（最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1）（2），结论对于nN*(或者其他)成立，必不可少）

sin

1cos例2已知abc0，求证：abbcca0

3an1例3数列an中，a1,an1，求a2,a3,a4的值，由此猜想an的通项公式，并证明。

2an33（答：an）

n5例1用综合法和分析证明2sin2

第三章数系的扩充与复数的引入

1.复数的概念三种表示形式：代数形式：zabi，复平面内点Z(a,b)，向量OZ.

2.区分实数，虚数，纯虚数，复数3.复数的四则运算及其几何意义4.复数的模例1abicdi（a,b,c,dR）的充要条件是_________________________

例2设复数z满足条件z1,那么z22i的最大值是（）（A）3（B）4（C）122（D）23

m61i(8m15)i例3实数m为何值时，复数zm2．

m5m5（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；

（4）对应点在第二象限.

z2azb例4．已知z1i，a，b为实数．（1）若z3z4，求；（2）若21i，求a，bzz1的值．

2

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