九年级上册数学知识点梳理总结(全)

九年级上册数学知识点梳理总结(全)

九（上）数学知识点总结

第一章证明（一）

1、你能证明它吗？

（1）三角形全等的性质及判定

全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性质及推论

性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。4、角平分线

（1）角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线

第二章一元二次方程

1、花边有多宽

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；

2

一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义

2

一般式：ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。2、配方法

（1）直接开平方法的定义

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（2）配方法的步骤和方法

一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平

2

方，把原方程化为（x+m）=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式

bb24acb-4ac≥0时，x=

2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义

22

一、将方程化为一元二次方程的一般ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b-4ac

2

的值，当b-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据ab=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤

一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。5、为什么是0.618（1）什么叫黄金比

线段AB上一点C分线段AB成两条线段AC，BC，若分割点，其中

ACBC=，则C点叫线段AB的黄金ABACAC叫黄金比，其值为0.618。AB（2）列一元二次方程解应用题的一般步骤

一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、答

第三章证明（三）

1、平行四边行

（1）平行四边形的定义、性质及判定定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形

性质：平行四边形的对边分别平行；平行四边形的对边分别相等；平行四边形的对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边行。（2）等腰梯形的性质及判定

性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位线定义及性质

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。2、特殊平行四边形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性质及判定

第四章视图与投影

1、视图

（1）三视图的种类及三种视图之间的关系三视图有主视图、左视图和俯视图；三种视图间的关系：主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等；（2）会画圆柱、圆锥、球的三视图

2、太阳光与影子

（1）投影与平行投影的含义、平行投影的性质

一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影；由平行光线形成的投影是平行投影。

平行投影的性质：物体上的点以及影子上的对应点的连线互相平行；当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；同一时刻，在平行光线下，互相平行的物体的高度与影子长度的比值相等。

（2）物体影长的变化规律，会将影长与相似结合起来进行计算

在太阳光的照射下，不同时刻，物体影子的长短也不一样，早晚影子长，中午影子短。（3）平行投影与视图之间的关系

视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影。3、灯光与影子

（1）中心投影的概念及应用，区别平行投影与中心投影从一点发出的光线形成的投影称为中心投影。（2）视点、视线与盲区的概念

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

第五章反比例函数

1、反比例函数

（1）反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=函数。反比例函数的自变量x不能为0。（2）掌握求反比例函数的解析式的方法

将一组x,y的值代入解析式中确定k的值即可。

k的形式，那么称y是x的反比例x2、反比例函数的图象与性质（1）反比例函数图象的画法

一般采用描点法：先列表，再描点，再连线。

（2）反比例函数的图象及性质，其表达式与图象的关系，函数值大小的比较（表5-1）3、反比例函数的应用

（1）用反比例函数解决实际问题的一般思路

1、根据问题情境，设出所求的反比例函数表达式；

2、由问题中的已知数据，代入所求表达式，列出方程（或方程组），求出方程的解，确定出待定系数的值，从而确定函数表达式；3、根据函数表达式，去解决实际问题。

（2）反比例函数与正比例函数的区别及综合应用（表5-1）

表5-1

扩展阅读：初三九年级上册人教版数学知识点归纳

21．1二次根式

第一课时

(1)了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意义的条件.(2)通过具体问题探求并掌握二次根式的基本性质：当a≥0时，a运用这个性质进行一些简单的计算。

132例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、3、x、2=a；能

x14（x>0）、0、2、-2、xy、xy（x≥0，y≥0）．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是

1314二次根式的有：3、x、2、xy．

例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，3x1才能有意义．

1解：由3x-1≥0，得：x≥3

1当x≥3时，3x1在实数范围内有意义．

1例3．当x是多少时，2x3+x1在实数范围内有意义？

1分析：要使2x3+x1在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的

1≥0和x1中的x+1≠0．

2x30x10解：依题意，得3由①得：x≥-2由②得：x≠-1

31当x≥-2且x≠-1时，2x3+x1在实数范围内有意义．

x例4(1)已知y=2x+x2+5，求y的值．(答案:0.4)(2)若a1+b1=0，求a201*+b201*的值．(答案:2)21.1二次根式(2)第二课时

1．a（a≥0）是一个非负数；2．（a）2=a（a≥0）．3、a2＝a（a≥0）．

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3答案

1)x3x3;2)x22x2x2;3)2x32x3

21.1二次根式(3)掌握

a2aa(a0)

a(0)

（3）例题：1、

4242、(1.5)1.53、

(x1)2x-1（x≥1）

(3)2;24、=(2)π-35x6x9、

(xx23)4x4x-2（x2）

（4）如果(x-2)2=2-x那么x取值范围是（A）

A、x≤2B.x＜2C.x≥2D.x＞2（5）实数p在数轴上的位置如图所示：

01p2：

化简：

(1p)2(2p)2=p-1+2-p=1

一、选择题

12(2)31．12(2)3的值是（C）．

22A．0B．3C．43D．以上都不对2．a≥0时，确的是（A）．A．C．aa2a2、2(a)22、-a，比较它们的结果，下面四个选项中正=-a22D．->a2=(a)2二、填空题

1．-0.0004=___-0．02_____．

2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是____5____．三、综合提高题

21．先化简再求值：当a=9时，求a+12aa的值，甲乙两人的解答如下：

2甲的解答为：原式=a+乙的解答为：原式=a+(1a)2=a+（1-a）=1；

(1a)=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，____甲___的解答是错误的，错误的原因是____甲没有先判定1-a是正数还是负数_．

2．若│1995-a│+a201*=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-201*≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）由已知得a-201*≥0，a≥201*

所以a-1995+a201*=a，a201*=1995，a-201*=19952，所以a-19952=201*．

3.若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+

第三讲二次根式的乘法教学目标：

(x3)2+x10x25。答案(10-x)

ab使学生能掌握并能运用二次根式的乘法法则

ab=

aaba0,bb(a0)并进行

b(a0,b0)相关计算；同时掌握积的算术平方根的性质：ab；能熟

练应用。

利用二次根式的乘法法则，化简二次根式，使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。（最简二次根式）

二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变.

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)494122525=4122525=4122525=412=83

（2）解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝49=23=6（2）不正确．

4122525=1122525=1122525改正：=112=167＝47

一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边长是（B）．

A．32cmB．33cmC．9cmD．27cm

1a的结果是（C）．

2．化简a

A．aB．aC．-aD．-ax1成立的条件是（A）3．等式

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（D）．A．4525=85B．5342=205C．4332=75D．5342=206二、填空题

1．1014=136_______．

x1x12．自由落体的公式为S=2gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是___12s______．第四讲二次根式除法一、教学目标：

aaaa1、b=b（a≥0，b>0），反过来b=b（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

2、二次根式运算的结果必须是最简二次根式，理解最简二次根式必须满足的条件。

例2．化简：

364b9a229x5x2（1）64（2）（3）64y（4）169y2

aa分析：直接利用b=b（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

333864b264b2解：（1）64=649x2（2）

3x8y9a2=9a5x28b3a

5x29x（3）164y=21364y25x13y（4）169y2=169y

132125的结果是（A）．

21．计算2A．75B．7C．2D．7

2、化去分母中的根号：

315b3（1）5（2）8（3）12a(a0,b0)

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11(21)21=(21)(21)132121=2-1，

33221(32=(32)2)2)(3=3-2，1同理可得：43=4-3，

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

1111（21+32+43+201*201*）（201*+1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3++201*-201*）（201*+1）=（201*-1）（201*+1）

=201*-1=201*

第五讲二次根式的加减法（1）教学目标：

(1)使学生了解同类二次根式的概念,掌握判断同类二次根式的方法。(2)使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算。

首先要对二次根式进行化简，然后考察根号下的被开方数：被开方数相同的就是同类二次根式；被开方数不同的就不是同类二次根式。1、在二次根式：①12,②

2③323；④27和3是同类二次根式的是（C）

A．①和③B．②和③C．①和④D．③和④

2、下列说法正确的是（C）

A、被开方数不同的两个二次根式一定不是同类二次根式；B、3与33不是同类二次根式；

1C、a与a不是同类二次根式；

D、被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式。

3、两个正方形的面积分别为2和8.则这两个正方形边长和为__32________

35a25、已知最简二次根式21和7a1是同类二次根式：

162①求a的值②求它们合并后的结果(a=1

或-1,合并后结果为2)

多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式乘法（1）(ab)(ab)(a0,b0)（a-b）例1．计算:（1）（6+8）3（2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）3=63+83=18+24=32+26解：（46-32）÷22=46÷22-32÷223=23-2例2．计算

（1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65=13-35（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2=10-7=3教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18

移项化简，得：2x2-13x+11=0

其中二次项系数为2，一次项系数为-13，常数项为11．1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（A）．

5①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-x=0A．1个B．2个C．3个D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（B）．

A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（C）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数22.2.1直接开平方法

教学内容","p":{"h":18,"w":72.112,"x":171.225,"y":180.468,C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

二、填空题

1．方程x2+4x-5=0的解是___x1=1，x2=-5_____．

xx222．代数式

x12的值为0，则x的值为____2____．

3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为__z2+2z-8=0_____，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为_2，-422.2.3公式法

教学内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程．

bb4ac2a2已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，它的两个根x1=

bb4ac2a2，

x2=用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代

入公式即可．

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-42（-1）=24>0

(4)242226426426226x=

∴x1=

2，x2=

2

（2）将方程化为一般形式3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-43（-2）=49>0

(5)49231x=

576

x1=2，x2=-3

（3）将方程化为一般形式3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-439=13>0

(11)13231113116111313∴x=

∴x1=

6，x2=

6

（3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-441=-70（2）△=0（3）△Ａ．3

Ｂ．0

Ｃ．1Ｄ．-4、

分析：因为x1+x2=-2，x1x2=-1，所以x1x22x1x2=-2+2（-1）=-4，所以选D。

22例3、已知a，b是方程x2x10的两个根，则aa3b的值是（）

Ａ．7Ｂ．5Ｃ．72

Ｄ．2

2分析：因为a，b是方程x2x10的两个根，所以a+b=2，又因为a是方程

x2x10的根，所以a2-2a-1=0,所以

22a2-2a=1,所以aa3b

=a2-2a+3a+3b=1+3*2=7，所以选Ａ。

2例4、已知一元二次方程x2x10的两个根是x1、x2，则

x12+x22=，x1-x2=．

分析：由根和系数的关系，有x1+x2=2，x1x2=-1，只要能用x1+x2、x1x2来表示x12+x22、x1-x2就可以实现由已知向未知的转化．容易x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=6，（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1","p":{"h":18,"w":18,"x":488.849,"y":642.137,"z":256},"ps":null,"t":"word","r":[3]},{又∵当m2时，原方程的△170，∴m的值为2．

例6、已知：关于x的一元二次方程x(2m1)xmm20．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

122（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1解：（1）

(2m1)4(mm2)221x211m2，求m的值．

224m4m14m4m8

90

∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根

x1，2(2m1)29（2）解法一：由原方程可得或

x(m1)x(m2)0

x1m2，x2m1

1又∵x111x2111m21

m2m1

m2

1m2经检验：m2符合题意．m的值为2．

22.3实际问题与一元二次方程

教学内容

1、由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．

2、建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．

3、根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．4、运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．例1．某电脑公司201*年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x

则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%

答：所求的增长率为50%．例2．某人将201*元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存201*元取1000元，剩下的本金和利息是1000+201*x80%；第二次存，本金就变为1000+201*x80%，其它依此类推．

解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+201*x80%+（1000+201*x8%）x80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

1解得：x1=-2（不符，舍去），x2=8=0.125=12.5%

答：所求的年利率是12．5%．

例3某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

老师点评：总利润=每件平均利润总件数．设每张贺年卡应降价x元，

x则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+0.1100）解：设每张贺年卡应降价x元

100x则（0.3-x）（500+0.1）=120

解得：x=0.1

答：每张贺年卡应降价0.1元．

例4．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少510kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）销售量[500-10（x-50）]

10000（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过40=250kg，在

这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-510=450（kg）；销售利润：450（55-40）=45015=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000

解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg250kg，（舍去）．

cm，例5：要做一个容积为750cm，高6底面的长比宽多5cm的无盖长方体铁盒，

3应选用多大尺寸的长方形铁片？（精确到1cm）解：如图1，设长方体铁盒底面宽为xcm，则底面长为(x5)cm，根据题意，得

6x(x5)750．

整理，得

x5x1250．

2解这个方程，得

x1≈9，

x2≈14（不合题意，舍去）．

当x9时，x1726，x1221．

答：选用长为26cm，宽为21cm的长方形铁片．

例6．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．

（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友

DQ情提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则：ABCQAC）CCQQDPAA(a)B(b)

分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，

PB由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．

（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．

1则：2（6-x）2x=8

整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4

∴经过2秒，点P到离A点12=2cm处，点Q离B点22=4cm处，经过4秒，点P到离A点14=4cm处，点Q离B点24=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，

DQ且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有AB∵AB=6，BC=8

∴由勾股定理，得：AC=68=10

6(2y8)6(y4)56(y4)522CQAC

∴DQ=

110

则：2（14-y）

=12.6

整理，得：y2-18y+77=0

解得：y1=7，y2=11

即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2．

经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．23.1图形的旋转（1）

1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？2．什么叫旋转的对应点？3、性质：1）．对应点到旋转中心的距离相等．2）．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3）．旋转前后的图形全等及其它们的运用．

4、理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．

例1．两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方

1形中心重合，不难知道重合部分的面积为4，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．

分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′．解：面积不变．

理由：设任转一角度，如图所示．在Rt△ODD′和Rt△OEE′中∠ODD′=∠OEE′=90°∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOEOD=OD∴△ODD′≌△OEE′∴S△ODD`=S△OEE`∴S四边形OE`BD`=S

1正方形OEBD=4

一、选择题

1．在26个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（B）．A．6个B．7个C．8个D．9个

2．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（C）．A．20°B．26°C．30°D．36°

3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（B）．A．70°B．80°C．60°D．50°

4．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么B点从开始至结束所走过的路径长是多少？

(答案:翻滚一次滚120°翻滚五个三角形，正好翻滚一个圆，所以所走路径是2π．)

1例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=4，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？

（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？

分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A点．","p":{"h":18,"w":9,"x":387.495,"y":275.042,"z":53}（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D

（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中","p":{"h":18,"w":504.63,"x":198.27,"y":227.762,"z":59},"ps":null,"s":{"letter间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．","p":{"h":18,"w":18wenku_20({"font":{"8827068702d276a201*92e1f0010014":"TimesNewRomanBold","8827068702d276a201*92e1f00201*4":"宋体","8827068702d276a201*92e1f0030014":"宋体","8827068702d276a201*92e1f00EAODCEBBOFDAC

(4)(5)

2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为___8__；最长弦长为10____．3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_AB=CD______（只需写一个正确的结论）4．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．

解答（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，AD=83，∴

121212AC=（AB），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°，

∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

24.1圆(第2课时)

教学内容

1．圆心角的概念．

2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．一、选择题．

1．如果两个圆心角相等，那么（）

A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对

2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）

DB．DC．DD．不能确定A．AB=2CAB>CAB1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．

3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．答案：一、1．D2．A3．C二、1．圆的旋转不变形2．

13或

533．3

24.1圆(第3课时)

教学内容

1．圆周角的概念．

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．

例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：

asinAsinBsinCcabsinAb2R=

b=

c=2R．

=2R，只要证明

asinA分析：要证明即sinA=

a2R=

sinB=

，sinB=，sinC=

sinCc2R=2R，

bsinB=2R，

csinC=2R，

，因此，十分明显要在直角三角形中进行．

证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB

∵CD是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBC中，sinD=同理可证：∴

asinAbsinBbBCDC，即2R=

casinA

=2R，

csinCsinC=2R

=

sinB==2R

一、选择题

1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．

A．140°B．110°C．120°D．130°

A4213BCDO

(1)(2)(3)

2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4A．2.5B．2.5cmC．3cmD．4cm

CAAODB

3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD

长为（）

A．

5252BC2B．C．2D．3

二、填空题．

1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在

_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点．

2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．

3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形

外心在三角形_________．

答案：一、1．B2．B3．A

二、1．无数，无数，线段PQ的垂直平分线，一个，三边中垂线2．33a

36a

3．斜边内外

24.2直线和圆的位置关系

教学目标

(一)教学知识点

1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．

2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．

直线和圆有三种位置关系，如下图：

(1)从公共点的个数来判断：

直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．

(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：d＜r时，直线与圆相交；d＝r时，直线与圆相切；d＞r时，直线与圆相离．

如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．

(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？

分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．

解：(1)过A作AC⊥BF于C．

在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，

∴AC＝ABsin30°＝300

12

＝150(千米)．

∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影响．

(2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响．

∵AC＝150，AD＝AE＝200，

∴DC＝201*50507．∴DE＝2DC＝1007．∴t＝

sv100710722＝10(小时)．

答：A城受影响的时间为10小时．

24.2直线和圆的位置关系(2)

教学目标

(一)教学知识点

1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．

判定圆的切线的又一种方法：切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径．例：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

求证：DC是⊙O的切线．

分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

证明：连结OD．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，

∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．

∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切线．

练习1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA

的长是（）

A．

41B．40C.14D.60

2．下列说法正确的是（）

A．与圆有公共点的直线是圆的切线．

B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;

D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，

若AB=10，AC=8，则DC长为________．

AAOCDBP

CBO

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．

3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=其中P=

12SP，

（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=

12（a+b-c）

答案:

一、1．A2．B二、1．4三、

2．（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，

则S△ABC=

12122．33

3232

32120°3．130°160°

ABr+

12BCr+

12ACr，则r=

sp；

（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，

如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE，∴DIEC为正方形，∴CE=CD=r，

∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，∴r=

12（a+b-c）．

ADlFBCE

24.2与圆有关的位置关系(第3课时)

教学内容

1．切线长的概念．

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

例2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．解：连结AO、BO、CO

∵⊙O是△ABC的内切圆且D、E、F是切点．∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2∴AB=4，BC=5，AC=3又∵S△ABC=6∴

12AFOBDEC（4+5+3）r=6

∴r=1

答：所求的内切圆的半径为1．一、选择题．

1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．

A．60°B．75°C．105°D．120°

OACPBPDAOCBADOAEC

BCBF(1)(2)(3)(4)

2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为

（）．A．93B．9（3-1）C．9（5-1）D．9

3．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（）

A．180°-aB．90°-aC．90°+aD．180°-2a二、填空题

1．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．2．如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．

3．如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．答案：一、1．C2．C3．D二、1．14cm2．

36a3．正方形

24.3圆和圆的位置关系

(一)教学知识点

1．了解圆与圆之间的几种位置关系．

2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．五种位置关系，如下图：

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

外离(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切

内含外切内切．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1r1+r2外切d=r1+r2

相交r2-r1

(1)(2)(3)

2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______时，两圆相交；当d满足_______时，两圆不外离．

3．如图2所示，⊙O1和⊙O2内切于T，则T在直线________上，理由是

_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．

3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

yAO答案:

一、1．B2．D3．B

x

二、1．垂直平分线

2．2-2时，9x=x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），当x-2（舍），②设⊙B与⊙A内切，则9x=│x+2│-1，

当x>-2时，9x=x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），当x-2，∴应舍去．

综上所述：B（0，0）或B（4，0）．

2222224.3正多边形和圆

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．3．正多边形的画法．

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°B．45°C．30°D．22．5°

(1)(2)(3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为

（）A．18°B．36°C．72°D．144°二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于

D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果

⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长

是_______；∠BOC的度数是________．

答案:

一、1．C2．C3．D二、1．

34a22．3．r3r60°

24.4弧长和扇形面积(第1课时)

教学内容

1．n°的圆心角所对的弧长L=2．扇形的概念；

nR13．圆心角为n°的扇形面积是S

扇形

=

nR3602；

4．应用以上内容解决一些具体题目．

一、选择题

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A．3B．4C．5D．6

2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕

点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（）

A．1B．C．2D．2

(1)(2)(3)

3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆

都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）

A．12mB．18mC．20mD．24m二、填空题

1．如果一条弧长等于

4R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，

当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

的长的_____倍．2．如图3所示，OA=30B，则AD的长是BC三、综合提高题

1．已知如图所示，AB所在圆的半径为R，AB的长为R，⊙O′和OA、OB分别

3相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．

答案:

一、1．B2．D3．D二、1．45°

16R2．3

三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上

由l=R，解得：∠AOB=60°，AB3由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=

13R，所以⊙O′的周长为2r=

23R．24.4弧长和扇形面积(第2课时)

教学内容

1．圆锥母线的概念．

2．圆锥侧面积的计算方法．3．计算圆锥全面积的计算方法．4．应用它们解决实际问题．

设圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r圆锥的侧面积=ra圆锥的全面积=ra+r2

一、选择题

1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）A．228°B．144°C．72°D．36°

3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发

绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）

A．63B．

332C．33D．3

二、填空题

1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．

2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，所得圆柱体的

表面积是__________（用含的代数式表示）3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部

铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2

的油毡．

答案:

一、1．D2．C3．C

22

二、1．r+rL2．130cm3．158.4

第二十五章概率

课题：25.1随机事件

教学目标：知识技能目标

了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.

指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？1.通常加热到100°C时，水沸腾；（必然发生）2.姚明在罚球线上投篮一次，命中；（随机事件）3.掷一次骰子，向上的一面是6点；（随机事件）4.度量三角形的内角和，结果是360°（不可能）；5.经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；（随机事件）6.某射击运动员射击一次，命中靶心；（随机事件）7.太阳东升西落；（必然发生）8.人离开水可以正常生活100天；（不可能）9.正月十五雪打灯；（随机事件）10.宇宙飞船的速度比飞机快.（必然发生）

课题:25.1.2概率的意义

教学目标:

〈一〉知识与技能

1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值2.在具体情境中了解概率的意义

我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.概率定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

mn会稳定在某个常

数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）,记作P（A）=p.

注意指出：1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

频率与概率有什么区别与联系?

从定义可以得到二者的联系,可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.

课题:25.2列举法求概率

教学目标：

知识与技能目标

学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。

例题1、为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。14

8765

解法1

ABA

图2联欢晚会游戏转盘

B

451（1，4）（1，5）6（6，4）（6，5）8（8，4）（8，5）从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。7（1，7）（6，7）（8，7）5∴P(A数较大)=

4,P(B数较大)=

99.

∴P(A数较大)＞P(B数较大)

∴选择A装置的获胜可能性较大。开始

解法二：

A装置1

B装置457457457

由图知：可能的结果为：（1，4），（1，5），（1，7），（6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7）。共计9种。

685∴P(A数较大)=

9,P(B数较大)=

49.

∴P(A数较大)＞P(B数较大)

∴选择A装置的获胜可能性较大。

25．3利用频率估计概率

疑难分析：

1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动．这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P．3．利用频率估计出的概率是近似值.

一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）

1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为()

A．90个B．24个C．70个D．32个

2．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（）．A．

11000B．

1200C．

12D．

15

3．下列说法正确的是()．

A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；

B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行；C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；

D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论．4．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如

人数图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长

方形高的比是1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（）．A．C．

11012、

1101B．

11012、、

1212

59.569.579.589.599.5分数(分)、

10D．

5．某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着

抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有（）．A．10粒B．160粒C．450粒D．500粒6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是

35，这个

35的含义是（）．

A．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷；

B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8；C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的

35；

D．在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球．

7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为

15，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（）．

A．口袋中装入10个小球，其中只有两个红球；

B．装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球；C．装入红球5个，白球13个，黑球2个；

D．装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个．8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.

假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（）．A．2元B．5元C．6元D．0元二、填一填

9．同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组两个正面335142一个正面655557没有正面120411由上表结果，计算得出现“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种结果的频率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________．

10．红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上

组别频数频率46~504051~558056~6016061~658066~703071~7510从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________．11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛（满分100分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表：组别分组频数频率149.5～59.5600.12259.5～69.51200.24369.5～79.51800.36479.5～89.5130c589.5～99.5b0.合计a1.00表中a=________,b=________,c＝_______；若成绩在90分以上（含90分）的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________．三、做一做

12．小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1~20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：实验次数204060801001201*0160180201*的倍数的频数51317263236394955613的倍数的频率（1）完成上表；（2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？

（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？

（4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？

13．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0","p":{"h":15.75,"w":7.875,"x":43012．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；（2）0.31；（3）0.31；（4）0.3

13．解：(1)计分方案如下表：n(次)12345678M(分)87654321(用公式或语言表述正确，同样给分.)(2)根据以上方案计算得6局比赛，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在这次比赛中获胜．

友情提示：本文中关于《九年级上册数学知识点梳理总结(全)》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，九年级上册数学知识点梳理总结(全)：该篇文章建议您自主创作。

　　来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。

《九年级上册数学知识点梳理总结(全)》
由互联网用户整理提供,转载分享请保留原作者信息,谢谢!
http://m.bsmz.net/gongwen/589791.html

• 上一篇：维稳工作汇报

• 下一篇：学校维稳工作汇报材料