大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备
河北科技大学201*级高等数学（下）期末考试试题1
一、填空题（共15分）
1.(5分)微分方程y3y2y0的通解为.2.(5分)设D是平面区域|x|2,|y|1,则x(xy)d.
D3.(5分)设zf(exy),其中f可微,则dz二、选择题（共15分）
.1.(5分)若anxn在x2处收敛，则此级数在x1处().
n1(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)收敛性不确定.
2.(5分)limun0是级数un收敛的().
nn1(A)充分条件;(B)必要条件;
(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.
3.(5分)已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐标面上是某个二元函数的全微分,则a=().
(A)0;(B)2;(C)1;(D)2;三、解答题（共56分）
1.（7分）已知曲线xt,yt2,zt3上P点处的切线平行于
平面x2yz4,求P点的坐标.
2.（7分）设zf(xy,),f具有二阶连续的偏导数,求
xy2zxy2.
3.（7分）计算曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L为
xx由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周yaxx2(a0).4.（7分）将f(x)arctanx展开成关于x的幂级数.5.（7分）判别级数(1)nn1lnnnn的敛散性.
6.（7分）求幂级数n1(x3)n3n的收敛域.
7.（7分）计算曲面积分
I(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy
333其中为球面x2y2z2a2(a0)的内侧.
8.（7分）试写出微分方程2y5yxcos2x的特解形式.四、应用题（8分）
在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.
五、证明题（6分）
证明：曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行，
其中函数g可导.
评分标准（A卷）
一、(每小题4分)
1.yC1exC2e2x;2.323;3.f(exy)exy(ydxxdy).
二、(每小题4分)1.(B);二、解答题
2.(B);3.(D).
21．(7分)解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分
已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分
1令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分
3于是
111P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分
3927解
2．(7分)
zxy2zx233xfxyf1xyf2,┄┄┄┄3分
34yf22┄┄┄┄7分4xf12xf2xyf113．(7分)解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分
C(esinyy)dx(ecos1)dydxdyDxxa212()a.┄┄┄4分228而
OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分1a0a.┄┄┄┄7分
8811x22xxI124．(7分)解f(x)(1)xn0n2n(x1),┄┄┄┄3分f(x)(1)n0n12n1x2n1┄┄┄┄6分
x[1,1].┄┄┄┄7分
n(1)5．(7分)解limnlnnnlimlnn,
n1n(或当n3时,
(1)lnnnnlnnn1n)┄┄┄┄2分
而n11n发散,n1(1)nlnnn发散.┄┄┄┄4分
令unlnnn,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分
n由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分6．(7分)解liman1annlimn3nn1n(n1)3,R3,┄┄┄┄3分31又当x33,即x0时,级数n1(1)nn收敛;┄┄┄┄5分
当x33,即x6时,级数n11n发散┄┄┄┄6分
故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分7.(7分)解利用高斯公式及球坐标有
222I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分
30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分
2a12a55.┄┄┄┄7分
28.(7分)解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分
25f(x)x1212cos2x,┄┄┄┄3分
120是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分
*的一个特解形式为
又02i不是特征根,2y5y*12cos2x的一个特解形式为
y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故原方程的一个特解形式为
yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分
四、解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(x)，┄┄┄┄1分点(x,y)处的切线方程为Yyy(Xx),┄┄┄┄2分令Y0,得切线在x轴的截距Xx***yy,┄┄┄┄3分y梯形的面积为S212(xX)y212(2xy)ya,
2即2(xya)yy,┄┄┄┄4分化为一阶线性方程
dxdy2yx2ay22,┄┄┄┄5分2a22代入公式或用常数变易法求得通解：x3yCy.┄┄┄┄7分
将初始条件yxaa代入通解得C2a213a,
故所求曲线方程为x3yy3a.┄┄┄┄8分
五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分
故原结论成立.┄┄┄┄6分
扩展阅读：大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳
河北科技大学
高等数学（下）考试试题3
一、填空题(每题4分,共16分)
1.(4分)级数un收敛的必要条件是.
n12.(4分)交换二次积分的次序0dy0f(x,y)dx=.3.(4分)微分方程y4y4y2xe2x的一个特解形式可以设为.
4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)
221.(4分)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面
1y2x2yz10,则点P的坐标是().
A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为（）.
A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面xyz被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分(xy)dS().
22222A.C.
220d0rrdr;B.0d0rrdr;
12120drrdr;D.
12020drrdr.
2120nn3xn14.(4分)幂级数(1)的收敛半径为().
n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.
23三、解答题(每题7分,共63分)1．(7分)设zsin(xy)exy,求dz.
2．(7分)计算三重积分Ixdxdydz,其中为三个坐标面及平面
x2yz1所围成的闭区域.
3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面
x2y225截出的有限部分.
(1)n(x1)n的收敛域.4．(7分)求幂级数nn15．(7分)将f(x)1展开为麦克劳林级数.22xxxx6．(7分)求曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy,其中L为
x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.
7．(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.8．(7分)求曲面积分I(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,
其中为曲面xyz4的内侧.
9．(7分)计算曲线积分I(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)L222为顶点的三角形折线.
四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线y0上点的区域上,曲线积分
x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关，其中C是该区域上一条2yyC光滑曲线，并求出当C从A(1,1)到B(0,2)时I的值.
评分标准
一、1.limun0;2.0dxxf(x,y)dy;
n113.y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.
三、1.解zxcosx3分(y)yexy(y)xezycosx3分
xy7分dz[cosx(y)ye]dx[cosx(yx)yxedyxy2.解I0dx111x20dy1xy20xdz3分
0xdx1x20(1x2y)dy5分
110(x2x2x3)dx6分417分483.解:z5y1分
2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分
D62dxdy6分
D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分
收敛域为(0,2].7分11115.解2分22xx31xx212113分
x31x6(1)21n1nxx(1)5分3n06n021n1n1(1)n1x6分3n02n7分x16.解Pesinyy,Qecosy11分
xxQP13分xy由格林公式得Idxdy6分
Da12a7分
2287.解ye2xdx2C4xexdx3分
x22eCex2[C2ed(x2)]4分
x225分
将yx03代入上式得C16分所求特解为ye
x227分8.解利用高斯公式得
4分I6dv46分643327分
(x)ydsx)yds9.解I(xy)ds(OAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12Px(x2y2)t1222(2tyxy)四、解1分2yyQ2x(x2y2t)1222(xytx)2分2xy令
PQ22可得(2t1)(xy)0yx1因为y0,所以t3分
2因曲线积分与路径无关,故取从点A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分
I10xx12dx04分
5分
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