数学必修2第三章知识点小结及典型习题

数学必修2第三章知识点小结及典型习题

第三章直线与方程

1、直线倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.

3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k表示,也就是k=tanα。

①当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;②当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

当0,90时，k0，k随着α的增大而增大；当90,180时，k0，k随

着α的增大而增大；当90时，k不存在。

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k⑵过两点Py2y1(x1x2)

x2x1注意下面四点：

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

1、P2的顺序无关；(2)k与P(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。

4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）

①直线的点斜式方程：yy0k(xx0)，k为直线的斜率，且过点x0,y0，适用条件是不垂直x轴。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是yy0。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x=x0。

②斜截式：ykxb，k为直线的斜率，直线在y轴上的截距为b

③两点式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2y2y1x2x1④截矩式：

xy1，其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与xab轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：

AxByC0（A，B不全为0）

注意：①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。②各式的适用范围③特殊的方程如：

平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系

平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

A0xB0yC0（C为常数），所以平行于已知直线A0xB0yC00的直线方程可

设：A0xB0yC0,CC0

垂直于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线方程可设：

B0xA0yC0（C为常数）

（2）过定点的直线系①斜率为k的直线系：y②过两条直线l1:y0kxx0，直线过定点x0,y0；

A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数），其中直线l2不在直线系中。

6、两直线平行与垂直

（1）当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（2）当l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20时，

l1//l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20

例：设直线l1经过点A(m，1)、B(3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(1，m+1)，当(1)l1//l2(2)l1⊥l2时，分别求出m的值7、两条直线的交点

当l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交时，

A1xB1yC10交点坐标是方程组的一组解。A2xB2yC20方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合。

x1x2，28.中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则线段的中点M坐标为(y1y2)例：已知点A(7，4)、B(5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。29、两点间距离公式：设A(x)Bxy1,y1，（2,）2是平面直角坐标系中的两个点，则

|AB|(x2x1)2(y2y1)10、点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离为dAx0By0CAB22

11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。

（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为d12巩固练习：

1、图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

2、设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分别求m的值：①l在x轴上的截距是－3；②斜率为1．3．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的

4、一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．

5、直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

6、已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为．

7、若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(

1，m)共线，则m的值为2(第3题)

C1C2AB22

1．求直线l的方程．48、与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是。

9、直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A．3B．－3C．1D．－1

10、如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

11、直线l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所经过的定点为。(m∈R)

扩展阅读：数学必修2第二章知识点小结及典型习题

第二章点线面位置关系总复习

1、（1）平面含义：平面是无限延展的，没有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（2）点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。2、四个公理与等角定理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为

A

A∈LB∈LLααLA∈αB∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内，则直线在平面内）（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB

αC

符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2的三个推论：（1）：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（2）：经过两条相交直线，有且只有一个平面。（3）：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3说明：两个不重合的平面只要有公共点，那么它们必定交于一条过该公共点的直线，且线唯一。β公理3作用：判定两个平面是否相交的依据，是证明三线共点、三点共线的依据。即：①判定两个平面相交的方法。Pα②说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。L③可以判断点在直线（交线）上，即证若干个点共线的重要依据。（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b

a∥c

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。（表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）

（5）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3、（1）证明共面问题：

方法1是先证明由某些元素确定一个平面，在证明其余元素也在这个平面内。

方法2是先证明分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。

（2）证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点，则第三个点在必然在这两个平面的交线上。

（3）证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这个点。

4、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线。（既不平行也不相交的两条直线）①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。（两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形）说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。（3）求异面直线所成角步骤：（一作、二证、三计算）

第一步作角：先固定其中一条直线，在这条直线取一点，过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。第二步证明作出的角即为所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角。（思路是把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角）5、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（2）直线与平面的位置关系有且只有三种：①直线在平面内有无数个公共点

②直线与平面相交有且只有一个公共点③直线在平面平行没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa∥α注意直线与平面的位置关系其他分类：（1）按直线与平面的公共点数分类：（自己补充）（2）按直线是否与平面平行分类：

（3）按直线是否在平面内分类：

（3）平面与平面之间的位置关系有且只有两种：（按有无公共点分类）

①两个平面平行没有公共点；α∥β。

②两个平面相交有一条公共直线；α∩β＝b。6、空间中的平行问题（1）线线平行的判定方法：①线线平行的定义：两条直线共面，但是无公共点②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

a//aa//b③线面平行的性质定理：a④线面垂直的性质定理：

b5面面平行的性质定理：○

//aba//bba//b（2）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行证明线面平行，只要在平面内找一条直线b与直线a平行即可。一般情况下，我们会用到中位线定理、平行线段成比例问题、平行公理等。

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行性质定理的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题线面平行的判定方法：a①线面平行的定义：直线与平面无公共点②判定定理：b

a////③面面平行的性质：a//aa//b（3）平面与平面平行的判定及其性质面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行面面平行），两个平面平行的性质定理与结论：

①如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）面面平行的判定方法：

a//b//①面面平行的定义：两个平面无公共点。②判定定理：ababP③线面垂直的性质定理：

//

aa//④公理四的推广：

a//////

7、空间中的垂直问题线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（1）线线垂直的判定方法：①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角。（共面垂直、异面垂直）②线面垂直的性质：a,bab②线面垂直的性质：a,b//ab（2）线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。判定线面垂直，只要在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可（注意：两条直线必须相交）

经常用到的知识点有：

①等腰三角形三线合一（中线，角平分线，高），如果取等腰三角形底边的中点，连接顶点与中点的线既是中线也是高，所以，这条线垂直于底边；

②正方形的对角线是互相垂直的；③三角形勾股逆定理abc,可以推出a边与b边垂直；

④如果是要证异面垂直的两条直线，一般采用线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的平面，从而得到两条异面直线垂直；

5采用三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。○

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

2线面垂直的判定方法：

abac①线面垂直的定义②线面垂直的判定定理：bcAa

bc③平行线垂直平面的传递性推论:

aa//bb

④面面平行的性质结论：//,aa

5面面垂直的性质定理：la○

aal（3）面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直的判定方法

①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角

②面面垂直的判定定理：

aa

③面面平行的性质结论：//,

8、空间角问题空间角的计算步骤：一作，二证，三计算（1）直线与直线所成的角A①两平行直线所成的角：规定为0。

B②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条O

直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角，的范围为（0°，90°]。注意：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（锐角或者直角）

（2）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。（3）角AOB的度数并不等于直线AO与直线BO所成的角。（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面

所成的角：规定为90。

③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，取值范围为（0°，90°）。

由①②③直线与平面所成的角的范围为[0°，90°]。（0时，b∥或b）求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。关键的步骤是“作角”（斜线和射影所成的角）求线面角的方法（求一条直线与平面所成的角，就是要找这条直线在平面上的射影，射影与它的直线所成的角即为线面角，即作垂线，找射影）

①定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）②方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

③在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：1、斜线上一点到面的垂线；2、过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射．．．．．线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°求二面角的方法①定义法：在棱上选择一个特殊点，过这个点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线得到平面角

②垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角为二面角的平面角

③垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角。

9、“转化思想”，要熟练他们之间的转换线线垂直线面垂直面面垂直

线线平行线面平行面面平行证明空间线面平行或垂直需要注意三点（1）由已知想性质，由求证想判定。

（2）适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

（3）使用定理时要明确已知条件是否满足定理条件，再由定理得出相应结论。10、巩固专项练习

1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的度数。2、在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．

3、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；5BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________。○

4、已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．

5、已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SASBSC，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明

6、已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证平面B1AD1//平面BC1D

7、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。

8、已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。9.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()

A.若mβ，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

10、设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC()

A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形

C.是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形

11、把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面ABC所成角的正切值为())

A.2B.

23

C.1D.23

12、如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么()

A、PA＝PB>PCB、PA＝PB16、如图，已知PA矩形ABCD所在平面。M,N分别是AB,PC的中点。（）求证：1MN面PAD（2）求证：MNCD（3）若PDA45O,求证：MN面PCD

17、如图所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，AEAF

E、F分别是AC、AD上的动点，且＝＝λ(0参考答案

1、解：

在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30，在RtΔDEC中，∠DEC=90，

∴∠EDC=60∴所求的二面角为60。

5、分析1：如图，观察图形，即可判定SG//平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，

FH就是适合题意的直线．怎样证明SG//FH？只需证明H是CG的中点．

证法1：连结CG交DE于点H，∵DE是ABC的中位线，∴DE//AB．在ACG中，D是AC的中点，且DH//AG，

∴H为CG的中点．∵FH是SCG的中位线，∴FH//SG．又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG//平面DEF．

分析2：要证明SG//平面DEF，只需证明平面SAB//平面DEF，要证明平面DEF//平面SAB，只需证明SA//DF，SB//EF而SA//DF，SB//EF可由题设直接推出．证法2：∵EF为SBC的中位线，∴EF//SB．

∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF//平面SAB．同理：DF//平面SAB，EFDFF，

∴平面SAB//平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG//平面DEF．6、证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体∴D1A//C1B，又C1B平面C1BD，故D1A//平面C1BD．同理D1B1//平面C1BD．

又D1AD1B1D1，∴平面AB1D1//平面C1BD．7、证明：

8、证明：

AB是圆O的直径BCACC是圆周上异于A、B的一点PA平面ABCBCPABC平面ABCAC平面PAC，PA平面PACACPAA

9、C10、C11、B12、C

13、解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，

BC平面PACBC平面PBC

平面PAC平面PBC。

∴GH⊥平面ABCD，

∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋6.答案：2＋6

14、①③④②；②③④①

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