选修4-4知识点及题型总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
“参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化,极坐标系与普通坐标系的互化,参数方程和极坐标的简单应用三块
1.坐标系:①理解坐标系作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形变化情况.③在极坐标系中用极坐标表示点位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点位置区别,进行极坐标和直角坐标互化.④在极坐标系中给出简单图形(如过极点直线、过极点或圆心在极点圆)方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系2.参数方程:①了解参数方程,了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
xx,(0),1.伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换:yy,(0).作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中坐标伸缩变换,简称伸
缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点M的极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的xOM叫做点M的极角,记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).
极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称,即(,)与(,)表示同一点。如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。
222xcos,5.极坐标与直角坐标的互化:xy,yysin,tan(x0)x6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程是r;
在极坐标系中,以C(a,0)(a0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是2acos;在极坐标系中,以C(a,2)(a0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是2asin;
7.在极坐标系中,(0)表示以极点为起点的一条射线;(R)表示过极点的一条直线.在极坐标系中,过点A(a,0)(a0),且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
cosa.
8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数
xf(t),t的函数并且对于t的每一个允许值,由这个方程所确定的点M(x,y)都在这
yg(t),条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,
简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
xarcos,222(为参数).9.圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为ybrsin.第1页共4页
椭圆
xa222yb221(ab0)的参数方程可表示为xacos,ybsin.(为参数).
抛物线yx2px2,2px的参数方程可表示为(t为参数).
y2pt.xotcos(,tx经过点MO(xo,yo),倾斜角为的直线l的参数方程可表示为为参数).
yyotsin.10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的
互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
,下列所给出的不能表示点M的坐标的是()1.已知M5,34C.2D.5A5,B.5,5,5,33332.点P1,3,则它的极坐标是()
B.4CA.D.42,2,2,2,33333.极坐标方程cos表示的曲线是(
4)
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D圆4.圆2(cossin)的圆心坐标是
2,B.1C.A1,,424
4D.2,
45.在极坐标系中,与圆4sin相切的一条直线方程为
A.sin2Bcos2C.cos4D.cos46.若直线的参数方程为xsin2x12t(t为参数),则直线的斜率为()
y23tA.2/3B.-2/3C.3/2D-3/27.下列在曲线1ycossin(为参数)上的点是()
A.(,2)B(231,)C.(2,3)D.(1,3)421点M的直角坐标是(1,3),则点M的极坐标为2化极坐标方程
cos0为直角坐标方程3直线xcosysin0的极坐标方程为
24.极坐标方程4sin225表示的曲线是5.圆锥曲线8sincos2的准线方程
6.在极坐标系中,定点A(1,
2),点B在直线cossin0上运动,当线段AB最短
时,点B的极坐标是_________.
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8.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+π/4)=2/2,求点A(2,7π/4)到这条直线的距离。
9.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos,4sin.(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(II)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
(一)、方程的伸缩变换
"x2x1、已知y2x,求经过变换后的方程。"y3y2x"2x22、经过变换后的方程为y2x,求"y3y变换前的方程。3、求将曲线y2sin3x变成ysinx的变换。
4.说说由曲线ytanx得到曲线y3tan2x的变化过程。
5.在平面直角坐标系中,方程x2y21所对应图形经过伸缩变换x2x,后图形所对应方
y3yx3x,6.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x29y29,yy则曲线C方程为
(二)、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点与原点重合;(2)极轴与x轴正方向重合;(3)取相同的单位长度.设点P的直角坐标
2x2y2xcos为x,y,它的极坐标为,,则;若把直角坐标化或yysintgx为极坐标,求极角时,应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置),以便正确地
求出角.
2,则极点到该直线的距离是42211),(4,),(2,)化成直角坐标例2(1)把点M的极坐标(8,36例1:已知直线的极坐标方程为sin(2)把点P的直角坐标(6,2),(2,2)和(0,15)化成极坐标
21、已知点的极坐标分别为(3,),(2,)43求它们的直角坐标。2、已知点的直角坐标分别为(3,3),(2,2求它们的极坐标。3)3、把方程x22y23xy4x0化为极坐标方程。4、把方程2cos29,cos2sin2化为直角坐标方程。
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5、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A,判断三角形5,,B5,,C43,623ABC的三角形的形状,并计算其面积.
(三)、圆和直线的极坐标方程
1、圆心在(a,0)半径为a的方程为:2、圆心在(a,)半径为a的方程为:23、圆心在(a,)半径为a的方程为:34、圆心在(a,)半径为a的方程为:25、圆心在极点,半径为a的方程为:6、经过(a,0)且垂直于极轴的直线方程为:7、经过(a,0)且与极轴所成角为的直线方程为:
练习2、按下列条件写出圆的极坐标方程:(1)以A(3,0)为圆心,且过极点的圆;
(2)以B(8,)为圆心,且过极点的圆;2
(3)以极点O与点C(-4,0)连接的线段为直径的圆;(4)圆心在极轴上,且过极点与点D(23,)的圆。56例题1:求过极点,倾斜角为4的射线的极坐标方程。2、求过极点,倾斜角为4直线的极坐标方程。
求直线的极坐标方程步骤1.根据题意画出草图;2.设点M(,)是直线上任意一点;3.连接MO;4.根据几何条件建立关于,的方程,并化简;5.检验并确认所得的方程即为所求.
(四)、极坐标系内的距离问题
1、已知A(2,),B(3,),求|AB|26SAOB(o为极点)。2、曲线方程为sin(A到该曲线的距离。3、求曲线2cos上的点与定点(1,)2的最近距离和最远距离。4)22,求
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扩展阅读:选修4-4知识点及题型总结
选修44知识点及题型总结一、知识点
xx,(0),1.伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:yy,(0).的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简
称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。
3.点M的极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的xOM叫做点M的极角,记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).
极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称,即(,)与(,)表示同一点。
如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。5.极坐标与直角坐标的互化:2x2y2,xcos,y
ysin,tan(x0)
x6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心,r为半径的圆的极坐标方程是r;
在极坐标系中,以C(a,0)(a0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是2acos;在极坐标系中,以C(a,2)(a0)为圆心,a为半径的圆的极坐标方程是2asin;
7.在极坐标系中,(0)表示以极点为起点的一条射线;(R)表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点A(a,0)(a0),且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
cosa.
8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数
xf(t),t的函数并且对于t的每一个允许值,由这个方程所确定的点M(x,y)都在这
yg(t),条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,
简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
xarcos,222(为参数).9.圆(xa)(yb)r的参数方程可表示为ybrsin.椭圆
xa22yb22xacos,(为参数).1(ab0)的参数方程可表示为ybsin.第1页共4页抛物线y2x2px2,(t为参数).2px的参数方程可表示为y2pt.xxotcos,经过点MO(xo,yo),倾斜角为的直线l的参数方程可表示为(t为
yyotsin.参数).
10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
二、题型总结
(一)、方程的伸缩变换
"x2x1、已知y2x,求经过变换后的方程。"y3y2x"2x22、经过变换后的方程为y2x,求"y3y变换前的方程。3、求将曲线y2sin3x变成ysinx的变换。
(二)、极坐标与直角坐标的互化
21、已知点的极坐标分别为(3,),(2,)43求它们的直角坐标。2、已知点的直角坐标分别为(3,3),(2,23)求它们的极坐标。3、把方程x2y3xy4x0化为极坐标方程。4、把方程cos29,cos2sin2化为直角坐标方程。222
第2页共4页(三)、圆和直线的极坐标方程
1、圆心在(a,0)半径为a的方程为:2、圆心在(a,)半径为a的方程为:23、圆心在(a,)半径为a的方程为:34、圆心在(a,)半径为a的方程为:25、圆心在极点,半径为a的方程为:6、经过(a,0)且垂直于极轴的直线方程为:7、经过(a,0)且与极轴所成角为的直线方程为:
8、圆心在(2,),半径为1的圆的方程为:49、经过(2,),且与极轴所成角为的36直线方程为:
(四)、极坐标系内的距离问题
1、已知A(2,),B(3,),求|AB|26SAOB(o为极点)。2、曲线方程为sin(A到该曲线的距离。3、求曲线2cos上的点与定点(1,)2的最近距离和最远距离。4)22,求
(五)、常见的参数方程
1、圆心在(a,b)半,径为r的圆的方程为:2、中心在原点,焦点在x轴的椭圆的方程为:3、中心在原点,焦点在x轴的双曲线的方程为:4、顶点在原点,焦点在x正半轴的抛物线的方程为:5、经过(x0,y0)倾斜角为的直线方程为:
(六)、参数方程化为普通方程
第3页共4页1xtt1、yt1tx12sint3、y23cost1txete2、yet1tex3sint4cost4、y4sint3costxsin2t5、ycostsint
22(七)、参数方程的简单应用
1、已知P(x,y)是曲线xy2y上的点(1)求2xy的取值范围(2)求(x2)(y3)的取值范围(3)求y1x2的取值范围22(4)若xya0恒成立,求a的取值范围2、点P在曲线x2
16y2121上,求它到直线x2y120的距离的最大值和最小值,并给出对应点的坐标。
3t(t为参数)x1y2t3.已知直线L的参数方程是:
(1)求t=1时,对应的点P坐标(2)求点P到点M(-1,2)的距离(3)求直线L的倾斜角(4)求直线L被曲线
2xy322截得弦长及弦中点坐标
4、经过抛物线y2x外一点M(2,4)且倾斜角为4的直线与其交于M1、M2(1)设M1M2中点为M0,求它的坐标(2)求|M1M2|、|MM1||MM2|和|MM1||MM2|(3)若线段M1M2上一点M3满足求M3的坐标MM1MM2M1M3M2M3
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