高一下期末总结
期末总结
光阴似箭，日月如梭，似乎只是一眨眼，高一的学习生活便已宣告结束。在这学期，我逐渐感受到高中学习的紧张气氛，我觉得自己在一天天的成长，一点点的懂得坚定执着与刻苦努力。
从学习方面讲，这学期分了文理，使学习的目的性更明确了。我选择了文科，文科背诵的内容很多，并且需要灵活运用，这就要求我们要勤于背诵，并且多读书，在这方面我还有所不足，有待提高。本学期的教课进度比之前要快，并且需要自己自主理解的内容更多了，学习不再是一味的听老师教受，而是学要自己钻研，理解。对于文科的学习，起初我多少有些不适应，但伴随着一学期的学习，我也渐渐可以跟上老师的步调，并掌握一定学习方法。
对于考试，我主要存在两大不足，一是速度慢，这与我平时写作业就拖拖拉拉是分不开的，要想就这点有所改进，我首先就要提高自己的作业速度以及写字速度。另外在考试时，我总热衷于死扣某道难题，所以一旦陷入某个难题中，就一定打不完卷，这也是急需改正的坏毛病。而第二大不足就是马虎。这是我从小传承下来的坏习惯，改正有一定难度，所以要想改正，只能循序渐进，考试时尽量保持镇定，仔仔细细答每一道题，尽量保证会的题不出错误。除此之外，个别知识点的薄弱也急需改进。考试的目的不是分数，而是检测我们一段时间内的学习情况，所以找到知识点的漏洞，加紧学习，弥补不足，才是我们真正的目的
当然，提高成绩的基础还是将知识掌握牢固，否则再多的方法也是空谈、废话。保证成绩的首要条件就是课堂听讲，消化了课堂知识，才能在此之上有所提高。其次就是作业，尽量保证多思考才能锻炼思维，切忌糊弄，否则还不如不写。在这学期的学习生活中，我惊异的发现了时间资源的短缺，太多知识要学习了，而自习时间又很少，所以我希望在以后我可以更好的利用小块时间，如食堂站队，课间午休等等，不让宝贵时间白白浪费掉。
从其他方面讲，在寝室休息方面还算不错，毕竟好的休息是学习的保证，正如寝室里某个标语所说：“不会休息，就不会学习。”在纪律方面，偶尔也有走神或讲话现象，望新学期有所改进。
“学如逆水行舟，不进则退”。高中是人生中很关键的一个阶段，而我仿佛只在一眨眼间就已经走完了它的三分之一，这让我倍感紧张，还有两年就是人生一个重要的转折点了，我不希望自己到时候会有所遗憾，我觉得自己在这学期的学习生活之中还有许多不足之处，我会在下学期努力改进。争取有所进步。
未来的路就在自己脚下，“既然选择了远方，就只管风雨兼程”，我知道学习之路并不轻松，但我会尽心尽力，为自己交上一份满意的答卷！
扩展阅读：上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen
高一下期末复习资料
板块一指对幂函数
【知识要求】
（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式：loga10
logaa1
alogabb
1.2对数公式：logaMlogaNlogaMNlogaMlogaNlogambnlogaM
logaNlogabnnlogabnlogabmlogablogcblogca1logbalogablogablogbclogca1（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】（1）【201*湖北文03】已知函数fx。log3x,x0，则x2,x0141ff9A．4B．14C．4D．【解析】B；f2，f2191。4（2）【201*湖北文05】函数y1log0.54x3
的定义域为。A．,1
34B．,
34C．1,D．,11,
34【解析】A；log0.54x30log0.54x3004x31（3）【201*重庆文04】函数y164x的值域是。
3x1。4A．0,B．0,4
C．0,4
D．0,4
xx【解析】C；1640416x2，
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x,24x0,164x16,0164x0,16y0,4。
【例2【】201*北京文06】给定函数①yx，②yogl其中在区间0,1上单调递减的函数的序号是
1212③yx1，
④y2x1，x1，
。C．③④A．①②B．②③
【解析】B；根据函数图像可得②③满足题意。
D．①④
12【例3】【201*全国Ⅰ文10理08】设alog32，bln2，c5，则。
A．abcC．cabB．bcaD．cba【解析】C；∵alog321211，bln2，log23log2e，∴ab，又log23log2e∵c51511，alog32log33，∴ca。综上，cab。22板块二三角比【知识要求】（1）角的定义与表示1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。1.3表示：与角终边一致的角：|360k,kZ01.4弧度制1.4.1为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名”。01.4.2弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换180。把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1rad。圆心角l112；扇形面积Slrr。r221rad57.30057018"；100.01745rad。
（2）三角比的定义
2.1三角比的定义
①用直角三角形边之比定义锐角三角比；．．
abab，cos，tan，cot，ccbacc正割：sec，余割：csc
basin②用终边上点的坐标定义任意角的三角比；．．．
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在任意角的终边上任取一点P。设P点的坐标为x,y，则OPrx2y2。
sinyryx2y2，cosxrxx2y2，tany。x由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。③用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。．．．
sinMPMP，cosOMOM，tanATAT
2.2特殊角的三角比0（00）sin00（30）6120（45）4220（60）3320（90）21第3页共37页教师版
cos13233221120tan03不存在cot不存在31330速记口诀如下：
030456090度，正余弦及正切值。数字01234，除以4求算术根；计算结果都存在，对应五角正弦值。数字43210，除以4求算术根；计算结果都存在，对应五角余弦值。数字01234，数字43210，对应相除若有商，算术根乃正切值。（3）同角三角恒等式sin2cos21tansincosk,kZ2cotcosk,kZsinktancot1,kZ2sincsc1k,kZcossec1k,kZ21cot2csc2k,kZ1tan2sec2k,kZ2【注】asinbcos、sincos、sin、cos、其一，其余的必可求解！
（4）诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成（5）两角和差展开公式
sincos、以上表达式只需知cossin2k的形式，然后用口诀。
sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsin
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coscoscossinsin
tantantan
1tantan
tantantan
1tantan（6）二倍角公式
sin22sincos
cos2cos2sin22cos2112sin2
tan2半角公式2tan21tansin21cos1coscos22222sin1costank,kZ21cossin（7）辅助角公式（提携公式）asinbcosa2b2sinsinba2b2，cosaa2b2，tanba*acosbsina2b2cosaa2b2，tansinba2b2，cosba【经典例题】【例4】（1）若是第二象限角，那么和都不是22。A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角【解析】B；∵是第二象限角，∴第四象限角，故
D．第四象限角
是第一或三象限角，为第三象限角，∴为22和都不是第二象限角。220（2）扇形的中心角为120，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为【解析】。
r2743；设扇形半径为R，内切圆半径为r。sin600R1r，9Rr312222R1R127432321。3r39r3第5页共37页教师版
∴S扇形S内切圆
cs【例5】（1）【201*山东明天中学】已知角的终边过点P8m,6sin300，且o则m的值为
。，45A．113B．C．
222D．
32【解析】C；∵P8m,6sin300，即P8m,3，∴cos4，∴
564m298m1，又∵cos0，yP30，∴角的终边应在第三象限，∴xP8m0，21∴m。2m（2）【201*重庆文06】下列关系式中正确的是。A．sin110cos100sin1680B．sin1680sin110cos100D．sin1680cos100sin110C．sin110sin1680cos100【解析】C；在单位圆中画出sin110、cos100、sin1680分别所对应的三角函数线可得sin110sin1680cos100。【例6】（1）【201*山东临沂】已知sincos。1，,，则tan的值是522【解析】411；法一：∵sincos，∴12sincos，∴
52531212492，∴sincos12，又∵,，25252522127os0，∴sinc0，∴,0，∴sincos。
2552sincossincos14sincossin55tansin4。则73cos3sincoscos55cos法二：∵sin1112，∴12sincos，∴sincos，∴52525sincos12tan12212tan25tan120，∴，∴，即2222525sincos1tan第6页共37页教师版
tan431或tan，又∵,，sincos0，345221240，∴,，∴tan。25324。
sincos（2）【201*安徽合肥】已知sinx2cosx，则sin2x1A．
65B．
94C．53D．
53【解析】B；∵sinx2cosx，∴tanx2，∴sin2x12sin2xcos2x2sin2xcos2x2tan2x19。222sinxcosxtanx150【例7】（1）【201*全国Ⅰ02】记cos800k，那么tan100。1k2A．k1k2B．kC．k1k2D．k1k20201*00【解析】B；cos800kcos80k，则sin801k，故tan01k2sin800tan18080tan80。0cos80k00（2）【201*安徽皖北】若sin3，则cos。653C．45D．A．35B．3545【解析】33；coscossin。536526【例8】（1）已知4，则1tan1tan。
2；【解析】∵tantantantan1，∴atnatn1atnatn
1tantan4∴1tan1tan1tantantantan2。（2）已知为锐角，且cos5，则cos613。
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【解析】5312；∵为锐角，∴0,，∴sin1cos2
6266621251，∴coscos
136613312153125。coscossinsin132132266666【例9】（1）已知sin3x，则sin2x。452773【解析】；sin2xcos2x12sin2x12。2525245（2）已知sinx341，则cos4x。cosx44【解析】1131；sinxcosxsinxcosx244442441cos2x1121sin2xcos2xcos2x444422111sin2x，∴cos4x12sin22x12。222【例10】（1）【201*四川非延考理05】若02，sin3cos，则的取值范围是。2A．43,B．,C．,D．,3233332【解析】C；sin3cossin3cos0sin032k32k，kZ2k32k4，kZ，又∵3402，∴,33（2）若3sinx。2cosx，且x0，则sinxcosx
212123第8页共37页教师版
。【解析】422；3sinxcosx2sinx3121231263，
又∵1sinx432x02，∴
4x44，∴
221cosx1sin2x1。∴sinxcosx2sinx
4434342sinx2cosx。3424板块三三角函数【知识要求】（1）定义：一般地，形如ysinx，ycosx，ytanx的函数称为三角函数。（2）图像①由单位圆上的有向线段平移所得②五点法
（3）图像变换
①同名函数之间进行变换；②所有变换必须针对x或y；
③左加右减，“上正下负”。
（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称
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【经典例题】
【例11】（1）作出函数y2sin2x【解析】法一：用“五点法”x的图像。37123222322x3600法二：通过图像变换绘制。由ysinx的图像，向左平移个单位，纵坐标不变横坐标变31为原来的，横坐标不变纵坐标变为原来的2倍。2（2）【201*江苏10】定义在区间0,y0122230上的函数y6cosx的图像与y5tanx的图像2的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1与ysinx的图像交于点P1，直线PP2，则线段P1P2的长为【解析】。2；根据题意画出函数图像，显然线段3P1P2的长度为ysinx在P1点处所对应的函数值。记P1P2sinx0。1点处的横坐标为x0，则P2又有6cosx05tanx0cosx05sinx0，6又因为22，所以sixn0cox0s1532sixnsixn1sixn（舍）或000622sinx0。
3【例12】（1）【201*天津文08】右图是函数
5yAsinxxR在区间,上的图像，为
66了得到这个函数的图像，只要将ysinxxR的图像上所有的点(A)向左平移
。1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
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个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变31(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
26(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6(B)向左平移
【解析】A；由图像可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是
ysin2x。代入,1可得的一个值为，故函数的一个表达式为
312ysin2x，所以只需将ysinxxR的图像上所有的点向左平移个单位长度，33再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变。2（2）【201*天津理08】要得到y2cosx的图像，只需将函数y2sin2x的图像4上所有的点的。1倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度281B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度24A、横坐标缩短到原来的个单位长度4D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度8C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动【解析】C；ycosx的周期是y2sin2x的周期的2倍，从周期的变化上知4道横坐标应该伸长。排除A、B。y2sin2x的横坐标伸长2倍后变成了
4y12sinx，将y2cosx化成正弦形式为y22sinx，根据口诀“左加
42右减”得y2由y1向右移动
。4【例13】（1）【201*重庆理06】已知函数
ysinx(0,则
。2)的部分图像如图所示，
A．16
B．16
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C．266712T2，所以fxsin2x，又因为【解析】D；
1234
D．2
2f1，所以sin1。
6233（2）【201*浙江理08】已知a是实数，则函数fx1asinax的图像不可能是．．．。
T【解析】D；D选项：22a1，而由图像的振幅可得a1两者相互矛盾。a【例14】（1【）201*浙江理11】函数f(x)sin(2x【解析】；4)22sin2x的最小正周期是______。
fx2222sin2xcos2x2cos2x2sin2xcos2x22222sin2x2，故最小正周期为。42（2）【201*北京理15改编】函数fx2cos2xsinx4cosx的最大值为______，最小值为______。
7222；f(x)2(2cosx1)(1cosx)4cosx3cosx4cosx13273(cosx)2，xR。因为cosx[1,1]，所以，当cosx1时，f(x)取最大
3327值6；当cosx时，f(x)取最小值。
33【解析】6，（3）【自编】函数ysinxcosxsinxcosx，x5,126的值域为______。第12页共37页教师版
【解析】,1；令tsinxcosx8152sinx，当x,4126时，x427,2。,，则t26121t2又有t12sinxcosxsinxcosx，
221t211122yt2tt11，当t则原函数可化为yt,2222221122时，y,1，故函数的值域为,1。4242【例15】（1）【自编】已知函数fxsin2x2sin2x，xR（）求函数的值域；（）求函数的最小正周期；（）求函数的单调性；（）求函数的对称轴和对称中心；【解析】fxsin2x2sin2xsin2xcos2x12sin2x14（）xR，2x4R，sin2x1,1，fx21,21，即值4域为21,21。（）T2，即最小正周期为。2（）函数的增区间为2x32k,2kxk,k42288函数的减区间为2x352k,2kxk,k422882sin2x单调递减的是______。
4C．【注】在下列区间内函数yA．,44
B．0,2,88
D．3,24【解析】C；此题的函数为复合函数，在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特
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别需要注意函数的复合形式。令t42x，usint，y2u，可见函数t42x单调递减，y2u单调递增，
则要求整个函数的减区间，只要usint单调递增即可。所以t2k2,2k2，
即32x2k","p":{"h":20.321,"w":10.176,"x":245.519,"y":271.779,"z":125},"ps":{"_scaleX":0.98},"t":"word"
ysin2xsin2xcos2xsin2xcos2xsin2x，
44442所以函数为奇函数。
【例16】（1）【201*天津文21】已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图像关于点M(3,0)对称，且在区间[0,]上是单调函数。求和的值。42【解析】函数fx是R上的偶函数，∴f01，即sin1，又0，则2；函数关于点M(333,0)对称，∴f0sin04244函数cos4k233，kZ；0k33424T2，又0，∴2；在区间[0,]上是单调函数，∴222综上，2，2或2，经检验以上两组答案均满足题意。3【注】此题为逆向问题，告诉三角函数yAsinx的相关性质，求解参量。对于此类问题总结如下：1、已知fx0M直接代入；2、已知奇偶性：3、已知对称轴对称：关于xx0轴对称fx0A或fx00fx00在同一周期内fafbf奇函数(1)f00;(2)fx0fx0偶函数(1)f0A;(2)fx0fx0abA
2中心对称：关于点x0,0中心对称fx00或fx00fx00
在同一周期内fafbfab0
24、已知周期TT02T0
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5、已知单调特性T
6、已知最值或最值分布情况振幅或周期
提醒：因为以上结论均非充要条件，故解完此类问题，需代回原函数进行检验。（2）【201*辽宁理16】已知f(x)sin(x)(0),f()f()，且f(x)在区间
363(,)有最小值，无最大值，则＝__________。
63【解析】
14；因为3f6f，且f(x)在区间(,)有最小值，无最大值，所以
63310f1sin12k8k，kZ；
4323344进一步挖掘函数f(x)在区间(T2,)有最小值，无最大值，有，又因为632630，所以6；综上，14。经检验满足题意。3板块四反函数【知识要求】1.1定义：若函数yfx的定义域为A，值域为B，对于B中每一个元素y0在A中有唯一确定的元素x0与之对应，则函数yfx存在反函数，即为yf1x，否则不存在反函数。1.2存在反函数的前提条件：一一映射。1.3求反函数的步骤：①求值域；②反解；③互换1.4互为反函数的两函数的性质：①奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。②单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。③原函数与反函数关于直线yx对称。1.5反三角：
xarccosx①反三角公式：arcsinxarcsinx，arccosxarctanx，arccotxarccotxarctanarcsinxarccosxarctanxarccotx2
sinarcsinxcosarccosxtanarctanxcotarccotxx
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当x,时，arcsinsinxx22
cosxx当x0,时，arccos当x0,时，arccotcotxx
当xtanxx,时，arctan22定义y=arcsinx定义域
②反三角函数的图像和性质名称值域图像y2反正弦函数(y=sinx,x[-,]22的反函数)[-1,1][-,]22-1xO21反余弦函数y=arccosx(y=cosx,x[0,]的反函数)[-1,1][0,]-1y2xO1y=arctanx反正切函数(y=tanx,x(-的反函数)y2,)22(-,+)(-,)22xO2【经典例题】【例17】（1）函数yx22xx0的反函数为2。【解析】f1x1x1，0,；yx22xx11，当x0时，函数的值域为0,。∴x1y1，则x1y1，∴反函数为f1x1x1，
x0,。exex（2）【1992全国理】函数y的反函数为2A．奇函数，且在0,单调递减
。B．偶函数，且在0,单调递D．偶函数，且在0,单调递增
C．奇函数，且在0,单调递增
exexfx，故原【解析】C；原函数定义域为R关于原点对称，且有fx2第17页共37页教师版
函数为奇函数，∴反函数也为奇函数。∵函数yex在0,单调递增，函数yex在
exex0,单调递减，∴函数y在在0,单调递增，∴反函数在0,上也单
2调递增。
（3）【201*全国理15】已知函数yfx是奇函数。当x0时，fx3x1，设fx的反函数是ygx，则g8
。【解析】2；原函数为奇函数，则反函数也为奇函数，故g8g8，令3x18，解得x2，∴g82。sinx【例18（】1）【201*上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：则x等于。13，x,，32A．arcsin【解析】B；13B．arcsin131C．arcsin3D．2arcsin13（2）【201*上海南模中学高一下期末试题05】若x范围是【解析】。2,，则arcsincosx的取值3321,；∵x,，∴cosx,1，根据yarcsinx的图像可33622,。62得arcsincosx板块五解三角【知识要求】（1）解三角工具
1.1解三角问题：a、b、c、A、B、C、l、S，已知部分量，求解其它量的问题1.2解三角工具
①ABC，abcl②S111ahabsinCrl222abcr为内切圆半径，p2ppapbpc
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abc2R，R为外接圆半径sinAsinBsinC变形：1）a:b:csinA:sinB:sinC
ab2cabc2R2）
sinAsinB2sinCsinAsinBsinC③正弦定理：
适用情况：1）两角一边；2）两边一对角
a2c2b2b2c2a2a2b2c2④余弦定理：cosA，cosB，cosC
2bc2ab2ac变形：a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC适用情况：1）三边；2）两边一夹角⑤三角形内的诱导公式sinABsinC，cosABcosC，tanABtanCsinABCABCABCABCcos，cossin，tancot，cottan22222222⑥三角形内的不等关系：1）大边对大角，大角对大边；2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3）0A，0AB；4）锐角三角形任一角的余弦值大于0；钝角三角形最大角的余弦值小于0；AAA2cosA0a2b2c2；cosA0a2b2c2；cosA0a2b2c2；225）ABCab.csinAsinBsinCcosAcosBcosC；BC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解的充要条件为cosAcosB0。6）在A（2）解三角思想2.1a、b、c、A、B、C、l、S，8个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；2.2边角，角边【经典例题】【例19】（1）【201*山东文15理15】在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、
c，若a2，b2，sinBcosB2，则角A的大小为【解析】；∵nis。
6∴sinB1，又∵B0,，BcosB2nisB2，
44ab521，∴sinA又∵A0,，∴A或sinB，sinAsinB6622∴B4。又∵
（舍）
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（2）【201*湖南文14】在锐角ABC中，BC1，B2A，则，AC的取值范围为。
AC的值等于cosA【解析】2；
BCACACAC，∵sinAsinBsin2A2sinAcosA02AAC22。又∵锐角ABC，∴A0,，∴sinA0，∴
cosA203A22,3；由正弦定理可得
6A4，∴AC2cosA2,3。
（3）在ABC中，下列结论：①若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形；②若sinC2cosAsinB，则此三角形为等腰三角形；③若AB，则sinAsinB；④cosAcosB0，其中正确的个数为。A．1个B．2个C．3个D．4个b2c2a20，故此三角形为钝角三角形，①正确；【解析】D；cosA2bcsinC2cosAsinBsinAB2cosAsinBsinAcosBcosAsinB0sinAB0，又∵AB,，∴AB，故②正确；∵AB，∴ab，
又∵ab，∴sinAsinB，故③正确；∵AB，即0AB，sinAsinB∴cosAcosB，即cosAcosB0，故④正确。【例20】（1）【201*浙江文14理13】在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、
c，若3bccosAacosC，则cosA【解析】。3；法一：33bccosAacosC3sinBsinCcosAsinAcosC
3。33sinBcosAsinAcosCcosAsinCsinACsinBcosA法二：
3bccosAacosCb2c2a2a2b2c23bca
2bc2ab2bcb2c2a232bc3bca，则cosA。
2bc2bc33222第20页共37页教师版
（2）【201*江苏13】在锐角ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若
batanCtanC6cosC，则的值是abtanAtanB。
baa2b2c2ba3222【解析】4；∵6cosC，∴6，则abc。
ab2ab2abtanCtanCsinCcosAcosBsinCsinBcosAcosBsinAc2tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBabcosC6c26c26c224。23baabc2ab2ab【例21】【201*陕西理17】如图，A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东450，B点北偏西600的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西600且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】ADB4506001050，sinADBsin1050sin450cos600cos450sin600264又∵ABsinDACABBD，∴BDsinADBsinDACsinADB53326422103（海里），
222∴CDBCBD2BCBDcosCBD2031032203103cos600900，∴CD30（海里），∴时间t22301（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。30板块六方程
【知识要求】（1）“8”字环思想【经典例题】
【例22】【201*闸北高一下期末考试】已知函数f(x)sin2xcos2x1。
2cosx第21页共37页教师版
（1）求方程f(x)0的所有解；（2）若方程f(x)a在x[0,32sinxcosx2cos2xsinxcosx(cosx0)【解析】（1）f(x)2cosx由题意，有f(x)（2）当x[0,]范围内有两个不同的解，求实数a的取值范围。
2sin(x4)0，得xk4(kZ)。
3]时，方程asinxcosx2sin(x2sin(x4)有两个不同解，
等价于函数ya与y)（x[0,]）的图像有两个不同的交点。4331,2由函数y2sin(x)的图像性质得a。42x【例23】（1【）201*浙江文09】已知x0是函数fx21的一个零点。若x11,x0，1xx2x0,，则。A．fx10，fx20B．fx10，fx20D．fx10，fx20C．fx10，fx20【解析】B；fx02x011根据图像可得x01，当x11,x002x01x0x01幂函数图像在指数函数图像上方，故fx10；当x2x0,指数函数图像在幂函数图像上方，故fx20。（2）【201*上海文17】若x0是方程lgxx2的解，则x0属于区间。A．0,1B．1,1.25D．1.75,2
C．1.25,1.75
【解析】C；令gxlgx，hxx2，
g1.75g4100.25，
h1.750.25，则
g1.75h1.75，所以两图像的交点位于1.25,1.75之间。
板块七数列通论
【知识要求】
1.1定义
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1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。
【注】数列是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集1,2,3,,n）的特殊函数。2）通项公式：数列的第n项an与n之间的关系。即anfn，nN*。3）前n项和：Snai1ni。前n项和也可写成关于n的函数，即Snfn，nN*。
4）递推公式：已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。【注】通项公式、前n项和以及递推公式（包括第1项或前几项）都是给出数列的方式。1.2表示1）列举；2）解析（通项、前n项和、递推三种形式）；3）图象（孤立的点（离散的点））；1.3分类1）有穷数列、无穷数列；2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；3）有界数列、无界数列。1.4等差数列1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即anan1dnN*,n2。【注】证明等差数列的两种方法：①anan1dnN*,n2；②an1ananan1nN,n2。2）通项公式：ana1n1d，nN（累加）**3）前n项和：Snna1annn1na1d，nN*（倒序相加）224）a1、an、n、d、Sn中知三求二。1.5等比数列1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即
anqan1q0,nN①
*,n2
【注】证明等比数列的两种方法：
anaaqq0,nN*,n2；②n1nnN*,n2。an1anan1*2）通项公式：ana1qn1，nN（累乘）
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,q1na1aanqn3）前n项和：Sna11q，当q1时，也可写成Sn1（错位相减）
,q11q1q4）a1、an、n、q、Sn中知三求二。1.6用函数观点来分析等差、等比
1）等差：andna1d（一次型函数），
Snd2na1dn（没有常数项的二次型函数）22）等比：ana1n，q（指数型函数）q,q1na1a1qn（分段函数，分别为一次型和指数型函数）Sna1,q11q1q1.7等差数列性质1）anamnmd【拓展】danamnm2）等差中项：2anan1an1【拓展】①当ijpq时，有aiajapaq；【注】等差数列an，若aiajapaq，则ijpq不一定成立。②S2n12n1an3）衍生等差数列：①anC为等差数列，公差d；②anbn为等差数列，公差d1d2；
③akmp（其中m为间距，ap为起始项，kN）为等差数列，即等距项为等差数列，公差md；
2④Sm，S2mSm，S3mS2m，S4mS3m，为等差数列，公差md；
【注】anS2n1"bnS2n1⑤dSn为等差数列，公差；2n第24页共37页教师版
⑥其它：
1）项数为奇数2n1的等差数列an，有：S奇S偶an，
S奇S偶n；n1项数为偶数2n的等差数列an，有：S奇S偶nd，
S奇S偶an；an12）等差数列an中，若ann，ammmn，则amnmn；
等差数列an中，若anm，amnmn，则amn0；等差数列an中，若Snm，Smnmn，则Smnmn；等差数列an中，若amanmn，则amanmn，amnmn；等差数列an中，若SmSnmn，则SmSnmnd，Smn0。1.8等比数列性质1）anamqnm2【拓展】qnmanam2）等比中项：anan1an1【拓展】①当ijpq时，有aiajapaq；【注】等比数列an，若aiajapaq，则ijpq不一定成立。②
aaini12n12n13）衍生等比数列：①对任意非零实数，an为等比数列，公比为q；anq1②anbn为等比数列，公比为q1q2；为等比数列，公比为；
q2bn③Sm，S2mSm，S3mS2m，S4mS3m，依然成等比数列，公比为q。
*【注】若an1，nN，则S2，S4S2，S6S4，就不成等比数列。
mn【经典例题】
*【例24】（1）【201*北京理06】已知数列an对任意p、qN满足apqapaq，且
a26，那么a10等于。
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A．165B．33C．30D．21
【解析】C；法一：a10a2a82a2a65a25630。
法二：令q2，则ap2apa26，故数列的所有偶数项和奇数项分别成等差数列，所以a10a24630。
（2）数列an满足：an1。12a,0ann2，若a6，则数列的第201*项为1172an1,an123653651；∵a1，∴a22，a321，
77777763a42a3。∴数列an的周期为3，a201*a3。77nnN*，则在数列an中最大项为【例25】（1）已知an2。n156【解析】【解析】n1；an225n1561156156x0，则当x，令fxx时，156xxnn156*，nNn1。25*函数fx取最小值。而nN，则当n12或13或其中之一时，fnn取得最小值，f1225，f1325，所以当n12或13时，有anmax（2）已知数列an中，ann2nnN围为。*，且a是递增数列，则实数的取值范n*【解析】3；法一：∵an是递增数列，∴对任意的nN，有an1an，即n12n1n2n2n1，令fn2n1，则fnmax，又∵*当nN时，fnmaxf13，∴3。
法二：ann2nn，则其图象为抛物线上离散的点。又∵an是递增
2433，即3。22231【例26】（1）已知等比数列an中，a3，S34，则a1223【解析】或6；
2数列，∴只要对称轴小于
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22。
（2）已知9，a1，1成等差数列，9，b1，b2，b3，1成等比数列，则a1b2。【解析】15；
（3）已知数列an的通项为an112n，nN*，数列bn的每一项都有bnan，则数列bn的前n项和Sn。
10nn2n5,nN*【解析】Sn2*n10n50n6,nN令an112n0n5.5，所以当n5时，an0，所以此时
Sn9112nn10nn22；当n6时，an0，所以此时
Sna1a2a5a6a7ana1a2an2a1a2a510nn2n5,nN*综上，Sn210nn25025n10n50。*n10n50n6,nN22（4）【201*北京理07】设fn2242721023n10nN，则fn等于。2A．(8n1)72B．(8n11)7C．2n3817D．2n481721842841；【解析】D；法一：赋值。令n0，则f02227184102823n102n4218n4281；法三：fn8n41法二：fn771818【例27】（1）【201*全国Ⅰ文14理14】设等差数列an的前n项和为Sn，若S972，则a2a4a9。【解析】24；S99a572a58，a2a4a9a1a5a93a524。（2）【201*辽宁理06】设等比数列an的前n项和为Sn，若。
S6S3，则9S3S6A．2B．
738C．
3D．3
【解析】B；由等比数列性质：S3、S6S3、S9S6仍成等比数列，又因为S63S3，
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所以S97S3，则
S97。S63Sn3n1a，则8Tn2n3b8（3）等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，且。
【解析】
aSaS315144；∵等差数列an、bn，∴n2n1，则815。3bnT2n1b8T1521533（4）【201*广东四校联考】等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11，a99a10010，①0q1；②a99a10110；a9910，给出下列结论：a1001③T100的值是Tn中最大的；④使Tn1成立的最大自然数n等于198。其中正确的结论是。【解析】①②④；∵a99a10010，即a99a10010，∴a99与a100同号，即q0，又∵
a991a10且a11，∴0q1（可用反证法）0，故①正确；∵99a1001a10012a991a10010a991且a1001，a99a101a1001，则a99a10110故②正确；∵a991且a1001，故Tn中最大的是T99，故③错误；∵T198a99a100991，
T199a1001991，故④正确。
板块八通项、前n项和、递推公式之间的推导
【知识要求】
数列中的核心问题：
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1.1anSn通法：Snai1ni
（1）公式求和：①
AP：Snna1annn1na1d
22na1,q1n②GP：Sna11q,q11q③123nnn12nn12n1122232n26nn1132333n322（2）裂项相消①分式：1111nnppnnp1AnBAnC111CBAnBAnC1111nn1n22nn1n1n2②根式：1nnp1pnpn③对数：lgnplgnplgnnn④指数：aqaqnqn11q⑤其它：nn!n1!n!
r1rrCn1CnCn1
1111n1!nn!n1!（3）错位相减
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错位相减用于差比数列（AnBqn）求和；（4）倒序相加主要用在类似于fx555x（与指数相关函数，其中fxf1x定值）以及组
合数问题上；（5）分组求和
通项由多成分构成，可单独求和再相加。
【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。1.2SnanS1,n1通法：anSS,n2n1n1.3递推关系式an、Sn（1）递推关系式的形式递推关系式的三种形式：①只含an；②只含Sn；③同时含有an和Sn将第三种情况向第一种或第二种转化转化的工具：采用anS1,n1SnSn1,n2，可以消an，也可消Sn。但无论采用哪种都需要分类讨论。方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。(2)递推an、Sn①累加法遇到anan1fn；anan1fn；anfnan1gn用累加法。②累乘法遇到anafnfn（n）；anfnan1；fnangnan1用累乘法。an1an1gn③构造熟悉数列▲公式法
1）anban1fn
n当b1时，用累加；当b1时，采用待定系数法或两边同除以b求解。
?当b1时，用待定系数法或两边同除以b。
2）非线性问题
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）ancan1问题，可考虑两边取对数。
）anpan1或Aanan1BanCan10，可考虑取倒数或两边同除以anan1。
ran1s3）多项递推问题
）an1panqan1问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。）无穷多项递推，可多些一项或少写一项，然后作差或作商。④数学归纳法【经典例题】
【例28】【201*山东理18】已知等差数列an满足：a37，a5a726。an的前n项和为Sn。（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn1*，求数列bn的前n项和Tn。nN2an1【解析】（Ⅰ）∵a37，a5a726，∴a12d7a31，∴an2n1，
2a110d26d2nN*；Snnn2，nN*。（Ⅱ）an12n114nn1，∴bn2212an1111，故4nn1Tn11111111n，即数列bn的前n项114223nn14n14n1和Tnn*，nN。4n1【例29】【201*全国新课标理17】设数列an满足a12，an1an322n1。（Ⅰ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn。
【解析】（Ⅰ）当n1时，an1an1ananan1a2a1a1
322n122n32222n11，而a12，所以数列an的通项公式为
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an22n1，nN*。
（Ⅱ）由bnnann22n1，得Sn12223325n22n1①，从而
4Sn123225327n122n1n22n1②
由①②得3Sn2232522n1n22n1，所以Sn13n122n12，nN*。9【例30】（1）已知数列的前n项和Snn22，则此数列的通项公式为。
【解析】an3,n12n1,n2*（2）已知数列an的前n项和Sn32n，nN。求an。【解析】当n2时，anSnSn132n32n12n1；当n1时，a1S155,n1不满足前式。所以综上，ann12,n2【例31】已知数列an的前n项和为Sn，其中a13，SnSn12ann2,nN*，求an。【解析】当n2时，SnSn12anSnSn12SnSn1，两边同时除以2SnSn1，可得1111111，所以数列是以为公差的等差数列，首项为，2SnSn12S13Sn611115，则anSnSn1n1n，即Sn3n5Sn3226所以6618，显然当n1时，不满足上式。综上，
3n53n83n53n83,n118an,n23n53n8【例32】已知数列an中，a11，nann1an1，求an。【解析】∵nann1an1，∴当n2时，
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ann1，则an1n
ananan1a2n1n211a11，显然，a11也满足上式。综上，通an1an2a1nn12n1，nN*。n项an【例33】（1）已知数列an中，a11，an12an1，nN*。求数列的通项an。（2）已知数列an中，a12，an12ann3，nN*。求数列的通项an。（3）已知数列an中，a12，an12an3n1，nN*。求数列的通项an。（4）已知数列an中，a11，an12an2n1，nN*。求数列的通项an。【解析】（1）法一：当n2时，设an2an1，则an2an1，an2an11。可得1。即an2an11an12an11。令bnan1，则bn2bn1，
b1a112，∴bn2n，则an2n1，显然a11也满足上式。∴综上，an2n1，
nN*。anaan11nb法二：当n2时，an2an11，两边同时除以2，则n。令，nnnn12222a11则bnbn1，b11。∴bnbnbn1bn1bn2b2b1b1
222nn1122nn11122211122112nn11，∴a2nb2n1，
nn2*显然a11也满足上式。∴综上，an2n1，nN。（2）当n2时，an2an1n4。设anAnB2an1An1B，则
an2an1AnB2A，可得
A1，
B2A4B2。∴
令bnann2，则bn2bn1，b1a1121，ann22an1n12，
∴bn2n1，则an2n1n2，显然a12也满足上式。∴综上，an2n1n2，
nN*。
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【注】此题也可两边同除以2求解，但相对计算量要大一些。
（3）法一：当n2时，an2an13n2。设anABn2an1ABn1，则
nan2an12ABAB2Bn2，可得B3，2ABAB21A1，∴3111an3n2an13n1，令bnan3n，则bn2bn1，b1a111，∴
333则an2n13n1，显然a12也满足上式。∴综上，nN*。bn2n1，an2n13n1，法二：两边同除以2n1aan1an13n13可得n1nn，令bnn，则bb，n1nn6222262nb1a11，∴bn1bn1bnbnbn1b2b1b12n331nn1213331213626221213则bn22n1n1311，2221，n2，∴an2n13n1，n22*显然a12也满足上式。∴综上，an2n13n1，nN。（4）两边同除以2n1可得anan1ana111bb，，令，则，bb1n1n1n222n12n2n11，n2，∴ann2n，n2。22∴bnb1n11n显然a11也满足上式。∴综上，ann1n*2，nN。2*2【例44】（1）已知数列an中a110，an110an，nN。求数列的通项an。
2【解析】根据题意可知数列an中每一项均为正数，则lgan1lg10an，即
lgan12lgan1，∴lgan112lgan1，∴lgan1lga112n12n，
n2。则an102n1，n2。显然a110也满足上式。综上，通项an102n1，nN。
*第34页共37页教师版
（2）已知数列an中a11，an12an，nN*。求数列的通项an。
2ana2111n，即an12anan2【解析】法一：对递推关系式两边同时取倒数，可得
1an11111111∴数列为等差数列。，n1d1n1n1。
ana122an2an2，nN*。n1则anan1法二：2an111两边同除以an1an，可得an1an2an12an0，，
2anan1an2接下来解析同上。【例45】（1）已知数列a11，a25，且an14an4an1(n2)，求通项公式an。【解析】设an1tans(antan1)，∴an1(st)anstan1st4s2令可得st4t2于是an12an2(an2an1)22(an12an2)2∴n1(a22a1)32n1，
an1an3a113an，即是以为首项、为公差的等差数列，n1422n12n422an13*(n1)，从而an(3n1)2n2，nN。n242111a12a2nan52nnN，求数列的通项公式an和222∴（2）数列an满足前n项和Sn。【
解析】∵111a12a2n1an1222111a12a2nan52nnN，∴2221n1n2；52n1，两式作差可得nan2an2，
214,n11当n1时，a17a114显然不满足上式。∴ann1。当n2时，
22,n2Sn1422234n1812n1142n26；当n1时，S1a114，
12第35页共37页教师版
显然也满足上式，∴综上，Sn2n26，nN*。
【例46】【201*全国Ⅱ理22】设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3,（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）求an的通项公式。
【解析】（Ⅰ）当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，则
a112a1a11a10，解得a11；2当n2时，x2a2xa20有一根为S21a1a21a21，则2111a2a2a2a20，解得a2。6222（Ⅱ）有题设Sn1anSn1an0，即Sn2Sn1anSn0。222当n2时，anSnSn1代入上式可得Sn2Sn1SnSnSn10，进而
1112S2a1a2，22633n*S3S22S310S3，∴猜测Sn，nN。4n1当n1时，命题显然成立；k*假设当nk，kN时，命题也成立。即Sk。k1SnSn12Sn10，∵S1a1，
当nk1时，由SnSn12Sn10得Sk1Sk2Sk10Sk11Sk21k2k1k1k1，也满足命题。k2k11综上Snn*，nN。n1∴当n2时，anSnSn1当n1时，a1nn11；n1nnn11显然也满足上通项。2第36页共37页教师版
∴综上，an1，nN*。
nn1【例47】【201*安徽理20】设数列a1，a2，，an，中的每一项都不为0。
证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN*，都有
111n。a1a2a2a3anan1a1an1【解析】必要性证明：
①当公差d0时，ana1为常数列，111n显然成立。a1a2a2a3anan1a1an1②当公差d0时，an1an1111a2a1a3a2a1a2a2a3anan1da2a3anan1a1a211111111111ndnda1a2a2a3anan1da1an1da1an1a1an1111n111n1，∴，两式a1a2a2a3anan1a1an1a1a2a2a3an1an2a1an21n1n，化简得a1n1an1nan2。同理可得，an1an2a1an2a1an1充分性证明：∵作差可得a1nann1an1，两式作差可得2nan1nannan2，即an1anan2an1，
∴数列an是等差数列。【注】充分性的证明也可采用数学归纳法。
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