电子书库 高中数学函数知识总结
高中数学函数知识点梳理
1..函数的单调性
(1)设x1x2a,b,x1x2那么
f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；
x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.
注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.
(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).
注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若
2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.
3.多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性
(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)
f(2ax)f(x).
(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).
4.两个函数图象的对称性
(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.
5.互为反函数的两个函数的关系
f(a)bf1(b)a.
27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1[fk1(x)b],并不是
y[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y6.几个常见的函数方程
1[f(x)b]的反函数.k(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.
(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).
(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，
f(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，
1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),
f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则
1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；
(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.
或f(xa)8.分数指数幂
(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.
a9.根式的性质（1）(na)na.（2）当n为奇数时，nana；a,a0当n为偶数时，a|a|.
a,a0nn10.有理指数幂的运算性质
(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).
(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).
p注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
logaNbabN(a0,a1,N0).
34.对数的换底公式
logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).
logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).
mlogaN11.对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;
MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).
(2)loga注：设函数f(x)logm(ax2bxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为
2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要
单独检验.
12.对数换底不等式及其推论
1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.
aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.
aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.
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高中数学函数知识点梳理
1..函数的单调性
(1)设x1x2a,b,x1x2那么
f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；
x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.
x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.
注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.
(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).
注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若
2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.
3.多项式函数P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性
(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)
f(2ax)f(x).
(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).
4.两个函数图象的对称性
(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.
5.互为反函数的两个函数的关系
f(a)bf1(b)a.
27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是k1y[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函数.
k6.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.
(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，
"xf(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，
1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),
f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；(3)f(x)1f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则
1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；
(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.
或f(xa)8.分数指数幂
(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.
a9.根式的性质n（1）(na)a.（2）当n为奇数时，aa；
nna,a0当n为偶数时，a|a|.
a,a0nn10.有理指数幂的运算性质
(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).
(2)(a)a(a0,r,sQ).
(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).
p注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).
34.对数的换底公式
logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).
logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).
mlogaN11.对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;
MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).
(2)loga2注：设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为
2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要
单独检验.
12.对数换底不等式及其推论
1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.
aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.
aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.
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