高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结
一、函数对称性:
1.2.3.4.5.6.7.8.
f(a+x)=f(a-x)==>f(x)关于x=a对称
f(a+x)=f(b-x)==>f(x)关于x=(a+b)/2对称f(a+x)=-f(a-x)==>f(x)关于点(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x)+2b==>f(x)关于点(a,b)对称
f(a+x)=-f(b-x)+c==>f(x)关于点[(a+b)/2,c/2]对称y=f(x)与y=f(-x)关于x=0对称y=f(x)与y=-f(x)关于y=0对称y=f(x)与y=-f(-x)关于点(0,0)对称
例1:证明函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x=(b-a)/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解。
证明:假设任意一点P(m,n)在函数y=f(a+x)上,令关于x=t的对称点Q(2tm,n),那么n=f(a+m)=f[b(2tm)]
∴b2t=a,==>t=(b-a)/2,即证得对称轴为x=(b-a)/2.
例2:证明函数y=f(a-x)与y=f(xb)关于x=(a+b)/2对称。
证明:假设任意一点P(m,n)在函数y=f(a-x)上,令关于x=t的对称点Q(2tm,n),那么n=f(a-m)=f[(2tm)b]
∴2t-b=a,==>t=(a+b)/2,即证得对称轴为x=(a+b)/2.
二、函数的周期性
令a,b均不为零,若:
1.函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|
2.函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|3.函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|4.函数y=f(x)存在f(x+a)=1/f(x)==>函数最小正周期T=|2a|
5.函数y=f(x)存在f(x+a)=[f(x)+1]/[1f(x)]==>函数最小正周期T=|4a|
这里只对第2~5点进行解析。
第2点解析:
令X=x+a,f[a+(xa)]=f[b+(xa)]∴f(x)=f(x+ba)==>T=ba
第3点解析:同理,f(x+a)=-f(x+2a)……①
f(x)=-f(x+a)……②∴由①和②解得f(x)=f(x+2a)∴函数最小正周期T=|2a|
第4点解析:
f(x+2a)=1/f(x+a)==>f(x+a)=1/f(x+2a)
又∵f(x+a)=1/f(x)∴f(x)=f(x+2a)
∴函数最小正周期T=|2a|
第5点解析:
∵f(x+a)={2[1f(x)]}/[1f(x)]=2/[1f(x)]1
∴1f(x)=2/[f(x)+1]移项得f(x)=12/[f(x+a)+1]
那么f(x-a)=12/[f(x)+1],等式右边通分得f(x-a)=[f(x)1]/[1+f(x)]∴1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[f(x)1],即-1/[f(x-a)=[1+f(x)]/[1-f(x)]∴-1/[f(x-a)=f(x+a),-1/[f(x2a)=f(x)==>-1/f(x)=f(x-2a)①,又∵-1/f(x)=f(x+2a)②,
由①②得f(x+2a)=f(x-2a)==>f(x)=f(x+4a)
∴函数最小正周期T=|4a|
扩展阅读:函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特殊的对称性)1、奇偶性:(1)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)f(x)0
(2)偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式f(x)f(x)
2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性
(1)函数的轴对称:
函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)
f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax)或f(x)f(2ax)
若写成:f(ax)f(bx),则函数yf(x)关于直线x称
(ax)(bx)ab对22证明:设点(x1,y1)在yf(x)上,通过f(x)f(2ax)可知,y1f(x1)f(2ax1),
即点(2ax1,y1)也在yf(x)上,而点(x1,y1)与点(2ax1,y1)关于x=a对称。得证。
说明:关于xa对称要求横坐标之和为2a,纵坐标相等。
∵(ax1,y1)与(ax1,y1)关于xa对称,∴函数yf(x)关于xa对称
f(ax)f(ax)
∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称,∴函数yf(x)关于xa对称
f(x)f(2ax)
∵(x1,y1)与(2ax1,y1)关于xa对称,∴函数yf(x)关于xa对称
f(x)f(2ax)
(2)函数的点对称:
函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b
上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b或f(2ax)f(x)2b
若写成:f(ax)f(bx)c,函数yf(x)关于点(abc,)对称2证明:设点(x1,y1)在yf(x)上,即y1f(x1),通过f(2ax)f(x)2b可知,
f(2ax1)f(x1)2b,所以f(2ax1)2bf(x1)2by1,所以点(2ax1,2by1)也在yf(x)上,而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)关于(a,b)对
称。得证。
说明:关于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如(ax)与(ax)之
和为2a。
(3)函数yf(x)关于点yb对称:假设函数关于yb对称,即关于任一个x值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于yb对称,比如圆c(x,y)x2y240它会关于y=0对称。(4)复合函数的奇偶性的性质定理:
性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]。复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]。性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。
性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)关于直线x=a轴对称。复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)关于点(a,0)中心对称。总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程
总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。
总结:x的系数同为为1,具有周期性。
(二)、两个函数的图象对称性
1、yf(x)与yf(x)关于X轴对称。
证明:设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1),所以yf(x)经过点(x1,y1)
∵(x1,y1)与(x1,y1)关于X轴对称,∴y1f(x1)与yf(x)关于X轴对称.注:换种说法:yf(x)与yg(x)f(x)若满足f(x)g(x),即它们关于y0对称。
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