高中数学三角函数知识点解题技巧总结

高中数学三角函数知识点解题技巧总结

高中数学三角函数知识点解题方法总结

一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式

一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).

二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”

1.sinα+cosα>0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形

还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.

六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：

1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.

七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：

(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故

1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)

1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;

2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.

扩展阅读：高中数学三角函数知识点总结实用版[1]

三角函数

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：

|k360,kZ

3sinx4cosxcosx▲y2sinx1cosx②终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ

xcosx4sinx2sinx3④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx1SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域轴上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝

180≈0.01745（rad）

3、弧长公式：l||r.扇形面积公式：s扇形12lr12||r

y24、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则sincosxryr；rya的终边P（x,y)；tanyx；cotxy；secrx；.csc.rox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

6、三角函数线

正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.

7.三角函数的定义域：三角函数f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定义域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcostan8、同角三角函数的基本关系式：sintancot1cscsin1

222

cossincot

16.几个重要结论:

2seccos1

22sincos1sectan1csccot1

(1)y(2)y9、诱导公式：

把k2|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|x的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

cosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

coscos()coscossinsinsin22sincos()coscossinsinsin()sincoscossin2222cos2cossin2cos112sin

tan22tan1tan1cos22

sin()sincoscossintantan1tantantantan1tantansin2tan()

cos21cos2

sin1cos1cossintan()tan

21cos1cos公式组三公式组四公式组五2tansin1tan22sincos121212sinsincossinsincos(sin(tan(121212)sin)cos)cot2

cossincoscos1tancos1tan22cos22

sinsin12coscoscos(tan(sin(sinsin2sinsinsin2cos22cossin22121212)sin22tantan1tan22)cot)cos264

coscos2coscoscos2sin22cossinsin15cos75,,tan152cot7523,.

2tan75cot15223

sin75cos1564

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxycosxytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxyAsinx（A、＞0）RR[1,1]R[1,1]x|xR且xk,kZRRA,A22奇函数22偶函数[2k1,奇函数k,k22奇函数当当0,0,非奇非偶奇函数[2k,2k]；k,k1上为减函数（kZ）22k]上为增函上为增函数数（kZ）[2k,上为增函数[；2k,2k]2k1]数2k2(A),12k2(A)22上为减函（kZ）上为增函数；2k2(A),32k2(A)3上为减函数（kZ）上为减函数（kZ）

注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.

▲②ysinx与ycosx的周期是.

cos(x)y③ysin(x)或yytanx2（0）的周期T2.

Ox的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2④ysin(x)的对称轴方程是x对称轴方程是x原点对称k（kZ），对称中心（k,0）；y12(socx)的

k（kZ），对称中心（k；y,0）

(nat（x)的对称中心

k2.,0）

ycos2xycos(2x)cos2x

tan⑤当tan

1,k2(kZ)tan；tan

1,k2(kZ).

⑥ycosx与ysin2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则x212y(x)sin(xk)cos(x).

⑦函数ytanx在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，ytanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)）

f(x)f(x)，奇函数：

奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函数，ytan(x1)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(x)一定有质）

▲f(0)0.（0x的定义域，则无此性

⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；y▲yx1/2xycosx是周期函数（如图）；ycosx为周期函数（T）；y=cos|x|图象ycos2x12的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=|cos2x+1/2|图象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsinab22sin()cosba有a2b2y.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，频率f1T||2，相位x;初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx

替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－

22等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=

ba确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例1．已知tan的值.

解：（1）

cossincossin1sin22322；

1tan1cossin1tan11cos222cossin2，求（1）；（2）sin2sin.cos2cos2cossin(2)sinsincos2cossin222sinsincos2cossincos22

cos2cossin12cossin222221432.

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2．求函数y1sinxcosx(sinxcosx)2的值域。

解：设tsinxcosx1232ytt1(t)242sin(xπ4)[2，2]，则原函数可化为

，因为t[2，2]，所以

12当t2时，ymax32，当t34时，ymin34，

所以，函数的值域为y[，32]。

例3．已知函数f(x)4sin2x2sin2x2，xR。

（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数f(x)的图像关于直线xπ8对称。

解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)2sinx22coxs22π2xsin(24)(1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2xπ42kππ2，即xkπ3π8时，f(x)最大值为22；

π8(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x有f(π8x)f(π8π8π8π8x)成立，

π8π8x)x)π4π4对称，只要证明对任意xR，

因为f(f(x)22sin[2(x)22sin[2(x)f(π8]22sin(]22sin(π2π22x)22cos2x，

2x)22cos2x，

π8所以f(x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x12对称。

例4．已知函数y=cos2x+

32sinxcosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y=+1

==

141212cos2x+

32sinxcosx+1=

1412(2cos2x－1)+

14+

34（2sinxcosx）

cos2x+sin(2x+

346

sin2x+)+

5454=(cos2xsin

6+sin2xcos

6)+

54

所以y取最大值时，只需2x+

6=

2+2kπ,（k∈Z），即x=

66+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移

6+kπ,k∈Z}

6，得到函数y=sin(x+

12)的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的函数y=sin(2x+

6倍（纵坐标不变），得到

)的图像；

12（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=

12sin(2x+

6)的图像；

54（iv）把得到的图像向上平移的图像。

综上得到y=

12个单位长度，得到函数y=

12sin(2x+

6)+

54cos2x+

32sinxcosx+1的图像。

说明：本题是201*年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a2b2sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，

1y=

2cos2x23sin2xcossinxcosx21x+1=

221tan3tanx2x+1

化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0

∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：∴ymax=

7434≤y≤

74

，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+

x3cosx33cos26,k∈Z}

例5．已知函数f(x)sinx3.

（Ⅰ）将f(x)写成Asin(x)的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.

解：

f(x)12sin2x332(1cos2x3)12sin2x332cos2x332sin(2x33)32

（Ⅰ）由sin(2x33)=0

即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知b2=ac

33k12即

2x3k(kz)得xkz3k12kz

，cosx|12acb2ac222acac2ac222acac2ac2x32x312，593sin(2x3cosx1，0x3，3332||592|，32sin].

3sin(3)1，3)132，即f(x)的值域为(3,1综上所述，x(0,]，f(x)值域为(3,1332].

说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。

例6．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(1)求sinB的值；

(2)若b42，且a=c，求ABC的面积。解：(1)由正弦定理及

cosCcosB3acbcosCcosB3acb，

，有

cosCcosB3sinAsinCsinB，

即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以sin(BC)3sinAcosB，

又因为ABCπ，sin(BC)sinA，所以sinA3sinAcosB，因为sinA0，所以cosB13，又0Bπ，所以sinB1cos2B23ac32223。

(2)在ABC中，由余弦定理可得a2c243，又ac，

所以有a232，即a224，所以ABC的面积为

S12acsinB12asinB822。

三角函数

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kππkπ2．集合M＝{x|x＝±，k∈Z}与N＝{x|x＝，k∈Z}之间的关系是（）

244A.MNB.NMC.M＝ND.M∩N＝

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）

A.60°角

()

A.（1）（2）2A.

5

B.（2）（3）C.（1）（3）21B.－C.

55

B.－60°C.30°

D.－30°

4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的

是

D.（2）（4）

5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（）

1

D.－

513

6．若cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（）

223313B.C.D.±2222

7．若α是第四象限角，则π－α是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）

A.－A.2

B.2

C.2sin1sin1

D.sin2

1

9．如果sinx＋cosx＝，且0＜x＜π，那么cotx的值是（）

5

4A.－

3

433B.－或－C.－

344

43

D.或－

34

D.9

10．若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（）A.2x－9B.9－2xC.11

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若sinα＋cosα

＝2，则sinαcosα的值是_____________.

sinα－cosα

2cosx

13．不等式（lg20)＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.

1

14．若θ满足cosθ＞－，则角θ的取值集合是_____________.

215．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.－16．已知f(x)＝

1－xπ

，若α∈(，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________.1＋x三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，5)，且cosα＝

2

x，求sinα与tanα的值.4

m－34－2mπ

19．(本小题满分14分)已知≤θ≤π，sinθ＝，cosθ＝，求m的值.

2m＋5m＋5

20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg33

－lg2，求cos3α－sin3α的值.2

7

21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝2cos(π＋β)和3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，

2

且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.

三角函数

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）

A.y＝sin2xC.y＝sin2x＋cos2x

x

B.y＝cos

2

1－tanxD.y＝

1＋tan2x

2

2．设函数y＝cos(sinx)，则（）

A.它的定义域是［－1，1］B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函数3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两

π

倍，然后把图象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为

4（）

A.y＝2sin2x

B.y＝－2sin2x

xπ

D.y＝2cos(＋)

24π

C.y＝2cos(2x＋)

4π

4．函数y＝2sin(3x－)图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）

4

πA.

3B.

2π

C.π3

D.

4π

3

5．若sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，则α角所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6．函数y＝|cotx|sinx（0＜x≤

3π

且x≠π）的图象是（）2

cos2x

7．设y＝，则下列结论中正确的是（）

1＋sinx

A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值

C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值π

8．函数y＝sin（－2x)的单调增区间是（）

4

A.［kπ－

3πππ5π，kπ＋］(k∈Z)B.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)8888

π3π3π7π

C.［kπ－，kπ＋］(k∈Z)D.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)

8888

1

9．已知0≤x≤π，且－＜a＜0，那么函数f(x)＝cos2x－2asinx－1的最小值是（）

2

A.2a＋1

B.2a－1C.－2a－1

D.2a

π

10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0，］上是增函数的θ的一

4个

（）A.

5π

3B.值

4π2π

C.33

为πD.3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．函数y＝

cosx

的值域是_____________.

1＋2cosx

cosx

的定义域是_____________.

lg（1＋tanx）

13．如果x，y∈［0，π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形12．函数y＝

的面积是_____________

15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.π

16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：

3

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；π②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－)；

6π

③y＝f(x)的图象关于点（－，0)对称；

6π

④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称.

6

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)＋2cosx.(x∈R)

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.

(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

2

19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝log12(sinx－cosx)

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值m，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

21．(本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其3ππ

图象关于点M（，0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ和ω的值.

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