高中数学新知课小结的优化设计
绍兴市中小学“让教学更有效”学科教改项目
《高中数学新知课小结的优化设计》的
实施方案
上虞市城南中学戴关云
一、问题的描述
小结是数学课堂教学必不可少的环节，课堂教学无论采取何种形式，都离不开它，它是教学设计中的画龙点晴之笔，是一门科学,也是一门艺术。好的课堂小结，不仅对该节课起了加深巩固的作用，还可以收到画龙点睛、唤起思维、激发求知欲、发挥想象、启迪灵感等教学效果。故课堂小结的好与坏直接影响着数学课堂教学的效益。但近年来，笔者在听课中发现，教师们对数学知识的形成、展开与升华过程，以及对数学问题的分析与解决过程等方面都颇为重视，并有自己的独到之处，但他们都或多或少地存在忽视数学课堂小结这一环节，主要表现在:（1）有的教师只是碍于公开课缘故，对课堂小结象征性地一带而过。（2）有的小结的随意性很大，有的甚至由于下课时间到了也就“省略”掉了。（3）课堂小结的形式单一，往往是“通过本节课的学习，你有什么收获？谈谈你的感受。”的千人一面。即便是不同形式的课但小结大都是课堂知识的复述。这使笔者感到很困惑：在高中数学课堂教学中小结的在一节课中的地位如何？该如何设计并优化呢？
二、原因的分析
分析造成上述现象的原因，笔者认为，主要有以下几点：
1、教师对新知课课堂小结环节的理解上存在误区，有教师认为，一节课贵在突出重点，突破难点，课堂引入的第一印象也很重要，但小结无非是宣告一节课的结束，同时整理一下知识、回顾一遍课堂教学内容而已，在主观意识上厚此薄彼，存在轻视意识。也正因为如此，教师对小结没能
精心思考和设计导致小结的形式单一。
2、教师对新知课各环节时间的分配失调，课堂小结大多是放在一节课的最后，临到课堂小结时，往往是下课的铃声即将敲响或已经敲响了，进行课堂小结的时间太短太少，教师只好草草收兵。结果课堂小结就成了学生简单总结知识点的过场戏。
3、教师对新知课教学目标的设定不到位。数学知识具有一定的系统性和连贯性，旧知识是新知识的基础，而新知识又为以后学习作铺垫。但实际学习时，由于时间关系，往往只能就所学内容进行讲解，对本课与其他知识之间的联系讲解的较少。因此，适当地进行小结，把本节课所学内容与前后的知识进行联系，从而帮助学生更灵活、更深刻地理解掌握所学的知识，丰富自己的知识体系，把相关知识融会贯通。这样才算是知识点的真正落实。忽视小结实际上就是教学目标设定不到位。
三、实施计划（一）研究方法
我们的研究设计是：以学校开展的数学教学、科研活动为特定内容，采用方案设计、过程分析（随堂访谈、小组谈心、师生评价）、成效比较（课堂小结设计对于学生兴趣激发、知识学习、能力培养和情感陶冶等强弱的影响）等方式，通过研究人员深入课堂、主持教学、案例评析、问卷调查、随堂检测等，研究分析得出相应的结论。设计的研究方法是：
1、调查研究法：以本项目研究小组成员所任教班级学生为抽样总体，通过问卷、访谈等形式就高中数学课堂小结的不同设计及呈现时机对于学生兴趣激发、知识学习、能力培养和情感陶冶等方面的影响，得出相应结论，提炼出课堂小结优化设计的现实意义及实际价值。
2、行动研究法：针对高中数学课堂小结设计中内容、形式、结构、书写的优化等实际问题，围绕课堂小结的价值及功能的发掘和发挥在行动研
究中不断地探索，得出相应结论，提炼出课堂小结优化设计的主要内容及具体方式、方法。
3、案例研究法：多种途径收集有关高中数学课堂小结优化设计的具体案例。通过对这些案例的分析研究，得出相应结论，提炼出高中数学课堂小结优化设计的基本原则及具体要求。
设计的实施途径是：
1、上课。本项目研究小组成员在正常的数学课堂教学中，通过积极尝试、大胆实践、及时总结和不断反思，探索数学新知课课堂小结的设计并优化，并形成书面报告材料。本项目研究小组成员每一个月在学校多媒体录播教室上一节展示课。
2、听课。本项目研究小组成员每周每人至少听一节数学新知课。听课中尤其应关注上课老师的课堂小结。并及时通过不同途径了解该课的课堂小结设计对学生学习的影响及与教学效果的关系。了解学生对该课小结的意见建议。
3、评课。本项目研究小组成员在每次展示课后进行评课活动。并邀请学校教研组其他老师参与评课。评课着重围绕探讨课堂小结设计效果、得失和改进意见。对每次评课活动进行过程记录。（二）研究步骤
本项目的研究计划用一年的时间，分三个阶段，各阶段的主要目标任务是：
1、准备阶段：201*年9月至201*年10月
（1）召开研究小组成员会议，制定项目研究、实施计划，进行工作分工；
（2）收集高中数学新知课课堂小结文献，把握本项目的研究动态，形成该研究项目的文献综述。
（3）广泛征求听取兄弟学校教师、本校数学组同仁对本项目研究的意见建议，并邀请教研员和其他专家指导
2、实施阶段：201*年11月至201*年10月
（1）高中数学新知课课堂小结价值、功能与局限的研究，以实现新知课课堂小结与教学内容相得益彰。
（2）高中数学新知课课堂小结呈现时间与教学效果的关系研究，以实现高中数学新知课课堂小结呈现时间的优化
（3）高中数学新知课课堂小结的内容与教学效果的关系研究，以实现高中数学新知课课堂小结内容的优化
（4）高中数学新知课课堂小结呈现形式与教学效果的关系研究，以实现高中数学新知课课堂小结呈现形式的优化。
（5）高中数学新知课课堂小结的学生参与度与教学效果的关系研究，以实现高中数学新知课课堂小结学生参与度的优化。
3、总结提炼阶段：201*年11月至201*年12月
（1）本项目研究小组成员收集整理研究活动相关材料，每人撰写一篇研究报告。
（2）召开本项目研究小组成员会议。汇总活动材料，交流研究体会和研究成果。
（3）在个人研究的基础上，由项目负责人撰写本项目研究的研究总报告。
四、教改目标及成果形式
1、通过本项目研究，能系统概括和提炼高中数学新知课课堂小结优化设计的主要环节、基本原则、操作方法和具体要求，具有较高的理论水平和实践价值，研究成果以论文形式能在公开刊物发表，以研究报告的形式能在上级组织的研究成果评比中获奖。
2、通过本项目研究，提高本项目研究组成员设计高中数学新知课课堂小结的能力，增强优化高中数学新知课课堂小结设计的意识，实现高中数学新知课课堂小结效益的最佳化。
扩展阅读：(no.1)201*年高中数学教学论文 优化课堂教学设计,提高课堂教学效率
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优化课堂教学设计，提高课堂教学效率
一、几个基本观点
1．坚持我国数学教育的优良传统
（1）课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等；
（2）教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；
（3）学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。2.针对问题进行改革
（1）数学教学“不自然”，强加于人；（2）缺乏问题意识；
（3）重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；
（4）重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；
（5）讲逻辑而不讲思想。
3．处理好数学课改中的各种矛盾关系，把握平衡不走极端而到达光辉顶点（1）学生主体与教师主导（2）接受学习与发现学习（3）基础与创新
（4）数学知识、能力与情感态度
（5）数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象等）（6）独立思考与合作交流
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（7）过程与结果（8）面向全体与因材施教（9）书本知识与数学应用
二、改革中应重点关注的问题1．亲和力问题
（1）呈现方式：自然亲切，生动活泼，激发兴趣和美感，引发学习激情。
（2）数学的内在吸引力：在体现知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩之处、数学的科学和文化价值等方面，引发学生的积极体验。
2．加强“问题性”问题引导学习
（1）通过恰当的、对学生思维有适度启发性的问题，引导学生的思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。
提问题的境界：度。道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。
好问题的标准：
（1）“跳一跳能够摘到的果子”（2）反映当前教学内容的本质；（3）学生经过适度努力能够解决。
案例一：三角函数诱导公式的推导中的提问
你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？α的终边、α+180°的终边与单位圆交点有什么关系？
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你能得出sinα与sin（α+180°）之间的关系吗？
我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？
问题情境
三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？
3．提高思想性
加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”。
案例二：“向量”内容的结构
核心目标：
1.理解向量及其运算的意义；
2.能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中的一些问题。
向量方法的内核是利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用：
点（以确定点为始点的）向量。
直线一个点A、一个方向a定性刻画；引进数乘向量ka，可以实际控制直线上的每一个点。
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平面一个点A、两个不平行的（非0）向量a，b在“原则”上确定了平面（定性刻
画）；引入向量的加法a+b，平面上的点X就可以表示为λa+μb（以及定点A），而成为可
操纵的对象。
距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基本量引进向量的数量积的定义
ab=|a||b|cosα，
作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。
用向量解决问题的“三步曲”
（1）建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算研究几何元素之间的关系(平行、垂直)，及其度量问题（如距离、夹角）等；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
向量内容的结构顺序
向量的实际背景及基本概念→向量的线性运算→平面（空间）向量基本定理及坐标表示→向量的数量积→向量应用举例
4．加强结构性
结构良好的教学内容的特点
（1）核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；
（2）形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；（3）具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。
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“结构性”的几个具体要求
（1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。
（2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。
（3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。
（4）强调科学思考方法的应用
推广
类比当前内容类比
特殊化
案例三：数系扩张中的结构思想
（1）度量的实际需要具有实际意义；（2）数学概念发展的内在需要：
引进新的数，定义相应的运算，使得算术运算中原来的运算律保持不变
三、搞好课堂教学设计，提高教学质量和效益
1.明确教学目标，使学生保持高水平的数学思维。
（1）教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。
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（2）教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的基础上。（3）教学目标应当是可观察的。关于教学目标分类的思考三层级模型
第一层级:主成分以记忆为主要标志,培养的是以记忆为主的基本能力。测试看基本事实、方法的记忆水平，标准是：获得的知识量以及掌握的准确性。
第二层级:主成分以理解为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力，测试看能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题。测试标准是：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。
第三层级:主成分以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力，测试看能否对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣。标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。
案例四:教学目标的陈述
(1)反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。(2)可观测：清楚陈述学习后有什么变化。例:理解函数单调性概念。
这一陈述中，需要对“理解”的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到“理解”。实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。因此可以改述为：能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。
要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：
培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；培养学生勇于探索、创新的个性品质；体验数学的魅力，激发爱国主义热情；等等。
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2.以问题引导学习，尽量采用“归纳式”，让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程，这是基本而重要的。
3.既讲逻辑又讲思想，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法。
4.使学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质。
搞好课堂教学设计的“321”三个基本点:
理解数学对数学的思想、方法及其精神的理解；
理解学生对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学对数学教学规律、特点的理解。两个关键:
提好的问题在学生思维最近发展区内，有意义；
设计自然的过程数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。
案例五:“不等式基本性质”中的提问
不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。你能回忆一下等式的基本性质吗？
考察等式的基本性质的基本思想是什么？（运算中的不变性）类似的，不等式有哪些基本性质呢？
过程抽象与具体、特殊与一般的关系抽象是数学的一个公认的、最显著的特点数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质
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从具体中可以进行多次抽象可以从不同的角度进行抽象
特殊化能使一般的性质得到最明显的表征
案例六正、余弦定理的推导
三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径等。解三角形就是给定三角形的若干几何量，求其余几何量。你认为至少给定几个量就可以求出其余量？（从定性到定量）
特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互余、锐角三角函数等）。
推广：能否将上述结论推广到一般三角形？
在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如：三角形面积与正弦定理、
垂直投影与余弦定理、用余弦定理推导正弦定理、借助于外接圆证明正弦定理
案例七等差数列求和公式教学设计
高斯如何得到求1+2++100的简便方法？
一个猜测：
第一，知道常数数列求和最简单；
第二，观察到和式的特点，懂得用“平均数”思想将不同数求和化归为常数数列求和。
上述猜测是从一个具体问题中归纳的，但反映了等差数列求和的最核心思想。
问题引导下的教学过程
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你知道小高斯是如何求1+2++100的吗？
这一方法的思想实质是什么（为什么要“首尾相加”）？
类似的，你能求1+2++n吗？
对于公差为d的等差数列{an}，如何利用上述思想方法求Sn=a1+a2++an？
还有其他方法吗？
一个核心：概括引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征
强调学生实质的、高水平的思维参与度，使学生在教学过程中保持高水平的数学思维活动
在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。
根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。
课堂教学的“六字经”：问题引导学习教学重心前移典型丰富例证提供概括时机保证思考力度加强思想联系使用变式训练强调反思迁移
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