例谈归纳总结法提高学生解题能力
例谈归纳总结法提高学生解题能力
鄱阳县教师进修学校附中娄彩虹
在教学中我们经常发现学生只会做书本上现成的数学题，不会从一个数学题想到一类数学问题，也不会归纳出这一类数学问题的解题规律。学生为什么会产生这种现象？原来我们老师在平时教学中只注重教学生解答现成的数学题及其答案的准确性，而忽视知识本身的发生过程及与之相关的问题。若我们平时能的有意识地重视这一点，在培养学生分析、归纳总结以及解题的能力上定能起到事半功倍的效果。下面笔者就几个问题谈谈自己的作法与体会：一、“牛喝水”问题
例1、如图1，小明在草地上放牛，他想先牵牛到河边饮水，然后再回家，却不知牵牛到河边的哪一点饮水，才使行走的路程最短？
解：作A点关于直线l的对称点A′，连结A′B与l相交于点P，则P点的位置为所求。
通过这一例子，我们可以把这个问题拓展，而出示一些与之有关的习题，让学生在练习中思考，在思考中归纳，而形成解这一类问题的能力。并告知学生这一类问题我们都可称为“牛喝水”问题。1、如图2，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A、B两镇供
气，泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短？
2、点A的坐标为（-3，2），点B的坐标为（-1，1）在X轴上找
一点C，使AC+BC最小，求C点的坐标。（答案：C（-5/3，0））3、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，
MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值是多少
4、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，
点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的
最小值为
5、在RT△ABC中,已知角B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F,分别是AB,BC,CA三边上的点,则DE+EF+FD的最小值。（答案9.6）二、“握手”问题
例2，参加一次聚会的每两人都握一次手，所有人共握手45次，有多少人参加聚会？解：设有n人参加聚会依题意得：
n（n-1）/2=45
解方程的n1=10,n2=-9(舍去)答：一共有10个人参加聚会。
通过这一例子，可以把下面一些问题向学生提出，让学生自己去解答，从而归纳总结出解决这一类问题的方法。并启发学生这一类问题都可称为“握手”问题。
1、
元旦前夕,老师让九（5）班同学互相写新年祝福词,已知共写祝福词1540条,这个班共有多少名学生？（答案56名）2、
3个球队参加足球比赛,两两各赛一场,共赛__场;4个球队参加足球比赛,两两各赛一场,共赛__场;n个球队参加足球比赛,两两各赛一场,共赛__场.
3、同一线上有n个点,共有__条线段.
4、同一顶点出发的射线有n条,共构成__个角.5、同一平面内,n条直线两两相交,共有__个交点.三、“塔高”问题
例3，周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度。如图5小芳站A处测得她看塔顶的仰角为45°，小丽站B处测得她看塔顶的仰角为30°，她们又测出AB两地的距离为30米。假设她们眼睛离头顶的都为10厘米，求南塔的高度？
解：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为x米则得：
x1.60.1=tan30°
x1.60.130解得：x≈42.48
这是一个典型的解直角三角形求塔高问题，也是考试中常遇到的一个问题，我们也可把下面一些习题集中起来让学生去练习和思考，让他们自己归纳总结，从而得到解决这一类问题的方法。
1、海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛在北偏东30°方向上。如果渔船不变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图），测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°，若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．（结果保留两位小数，≈1.732）
3、如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离．（结果保留根号）
总之，教师如果在教学中多注重让学生自己去归纳总结，寻求解决问题的规律性，学生就能举一反三，大大提高学习能力和学习效率，让学生轻松而愉快地把数学学好。
扩展阅读：浅谈如何提高学生的数学解题能力
浅谈如何提高学生的数学解题能力
宁波市第二技师学院数学组聂德升
美国著名数学家G"波利亚说过“问题是数学的心脏”，“掌握数学意味着什么？那就是善于解题。”但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫。要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就必须培养他们的解题应变能力。有了较强的应变能力，在漫游“题海”时，才能随机应变。教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题，不断提高学生的数学解题能力是一件不容易的事，它是一项长期性的工作。解决数学问题是数学的核心，学数学就意味着解题。显然，解题能力标志着一个人的数学水平。那么做为数学教师，能否培养并提高学生的解题能力，不仅直接关系到学生学习数学成功与否，而且也是该教师数学教学业务水平高低的重要标尺之一，尤其是以问题的解决为重心的职业高中里的专业应用数学教学。教给方法，培养能力，是什么原因造成了学生“解题技能”和“解题智能”发展不均衡？这恐怕要涉及“教”、“学”、“思”三方面的原因。任教以来，在培养和提高学生解题能力方面，我进行了一些初步的探索。那就是古人所谓的“授之以渔”。那么如何培养学生的解题应变能力呢？我在这方面做过一点尝试，在此浅谈，以其引玉。
一、就“教”而言
我认为提高学生的数学解题能力，教师应重视如下几个方面
w.21cn1、在平时的课堂教学中重视对学生的数学基础知识的掌握和基本技能的训练。
对教学大纲中要求掌握的基础知识，基本技能，不能粗枝大叶，蜻蜓点水。因为，数
学中的许多问题都是基础知识的综合，数学中的基本概念、性质、公式、定理是进行推理、判断、演算、解题的依据，因此，对数学中的基本概念、性质、公式、定理等，教师在教学时要注意它们的形成过程和推理依据，并引导学生注意知识之间的衔接，让学生随着学习的深入，对它们的认识和理解不断深化。
例如：在教学绝对值的概念时，要重点分析“当a0时，a＝a；当a0时，a＝－a”的深刻含义，并在学生理解绝对值概念之后，可以给出以下习题加以巩固。1、如果x＝－2，则x＝______________2、如果x2＝2，则x＝_________________3、化简：a2＝____________；
aa＝______________
4、已知x3+y12＝0，求3x2y＝_____________________
5、有理数a、试比较大小：（1）a与b；（2）ab与ba。b在数轴上的位置如下图，
a－10b1
通过这些习题的训练，让学生对绝对值的概念有了更深刻的认识和理解。
另外，在基本技能的训练中，学生运算能力的提高也是十分关键。因为运算是解题的根本，只有运算准确，才能使综合训练得以顺利进行，但是，许多学生的运算能力比较差是一直存在的老问题。出现这种现象的原因是多方面的，其中最重要的是许多学生在解题时往往是动脑不动手，动嘴不动笔，往往容易造成计算的错误。因此，只有让学生在思想上真正认识到提高运算能力的重要性，并在平时解题过程中克服粗心的毛病，才能逐渐提高学生的运算能力。解题教学的本质是“思维过程”，受年龄等因素的限制，学生思维发展有其特定的规律，这需要解题教学遵循学生认知特点，设置最近发展区，进行有针对性的训练。
2、在平时的教学练中让学生熟练地掌握基本的数学思维方法和常用的数学方法。
数学中的思维方法是在整体上指导我们分析和理解数学问题的一般原则，巧妙地运用
数学方法是我们解答数学题的有效途径。作为教师在平时的教学中，一方面要善于引导学生一些基本的思维方法，另一方面又要重视指导学生学习数学的方法与掌握联想、类比、猜想、归纳等研究问题的方法。解答综合题的基本方法是分析综合，这种思维方法就是：由“已知”猜想“可知”，由“未知”猜想“需知”。若能够将“可知”与“需知”联系起来，解题的途径就会水到渠成。p在平时的课堂教学中，我非常重视例题的典范作用。因为现在学生的解题仍较依赖
com]m例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。记得在《梯形》这部分内容的一节复习课中，我只讲了一道例题：
2wh8v2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s如图，梯形ABCD中，AB∥CD，2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：以AD、AC为边作平行四边形ACED，DCBOO2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[2育EAC（网：延长DC交EB于F，求证：EF=FB。AB2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]通过分析、讨论，进行一题多解，总共概括了8种解法，这8种证明方法将梯形问题中重要辅助线添法、中位线的知识等都囊括其中。2wh8v2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s可见，一道好例题的教学，对学生思维品质和解题能力的提高有着积极的促进作用。2wh8v2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s而且在讲解例题的过程中，我也坚持不懈地对学生进行数学思想的培养，并注意与实际联系，收到了较好的效果。比如像函数部分有这么一道题：已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3,0)，则a+b+c的值（）A、等于0B、等于1C、等于-1D、不能确定此题若从数上考虑，可得b2a=2，9a+3b+c=0，用含a的代数式表示b、c后，代xD入求解。但若利用函数图象，非常容易发现（3，0）关于对称轴x=2的对称点为（1，0），代入函数解析式，即得a+b+c=0。13可见，数形结合思想是一种重要数学思想，不仅达到事半功倍的效果，还可激发学生学习数学的兴趣。数形结合是数学中最重要的方法之一，人们一般把代数称为“数”，把几何称为“形”。数与形看上去是两个相互对立的概念，其实它们在一定条件下可以相互转化。代数方法容易操作，若不配以“形”，许多问题过于抽象，理解困难；几何图形比较直观，但证明几何问题常需添加辅助线，又使人感到难以捉摸，这就要借助“数”的方法去揭示其内在规律。数量问题可以转化为图形问题，反过来图形问题也可以转化为数量问题，而数形结合就是实现这种转化的有效途径。
例如：在学习“不等式”这一章时，特别要注意介绍“数形结合”的思想方法；在学习“函数及其图像”时又要善于从图像运动的变换这一特性去寻找规律。
解题中的数学思维源于对基础知识的深刻理解，所以习题的训练要回归课本中所涉及的基础知识。考试题往往涉及多个知识点，所以提高学生的数学解题能力应加强综合能力的培养。考试题对考生的能力要求，尤其对思维能力的要求越来越高，因此在平时的试题训练中，应有意识地培养学生从不同层次、不同角度、不同方向对问题进行分析，以活跃思维。
提高学生的数学解题能力是一项重要而艰巨的任务，但不能急于求成，了不能盲目地搞题海战术，习题的训练要有针对性，讲求质量，讲求效益。在平时的数学教学中，我们教师应多引导学生进行思考，逐步使学生的思维能力由单向性发展为多向性。让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。现实生活中，我们在解决问题时，常说的一句话：多动脑筋，用较少的钱做更多的事，不正是这个思想的真实写照吗？
当然，在分析、讲题的过程中，我也不忘暴露自己在解题过程中的思维过程。“为什么要这样做”、”怎么想到的?”，这些问题是学生最感困难的。所以我就尽可能地将自身或者前人是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思维进程展示给学生，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤，而且在适当时机，我也会展示自己思维受阻、失败的探索过程，分析其原因，从反面衬托正确思路的必要性与合理性，给学生以启示。
3、在平时的教学中，注重让学生对解题后的“反思”，以提高学生的数学解题能力。
提高学生的数学解题能力，受诸多条件和因素的影响。长期的学习经验表明，不少的同学在完成作业或进行解题训练的过程中，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，就是解题后的“反思”。一道数学题经过反复思考，苦思冥想解出答案之后，就心满意足了，而不再去思考、探索：这道题考查了我们哪些方面的概念、知识和能力？解答的每一步推理是否合理？这道题有没有其他的解法？多种方法中哪一种比较简单一点？把这道题的条件或结论进一步推广又会如何？等等。
为了帮助学生养成解题后的“反思”这种良好的学习习惯，提高解题技巧，在教学时，可选择一些多种解题的习题，给学生训练。例如：已知：如图，AB切⊙O于点C。求证：∠CBD＝∠ABD。
这道题可以引导学生添加辅助线，有四种证法，如图（证明过程从略）
EOｖ
CDAOCDAEB（1）EDECA
B（2）
证法一：如图（1），延长AO交⊙O于点E，并连结EB，则∠ABD＝∠DEB，∠DBE＝900。
证法二：如图（2），过D作⊙O的切线DE交AB于E，则DE⊥AO，∠ABD＝∠BDE。证法三：如图（3），延长BC交⊙O于点E，并连结ED，则∠ABD＝∠DEB，又由垂径定理可得∠CBD＝∠DEB。
证法四：如图（4），连结BO并延长BO交⊙O于点E，连结DE，则∠ABD＝∠DEB＝∠EDO，∠EDB＝90。
0二、就“学”而言
2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s学生提高解题能力的两条主渠道：一是听课学习、二是解题实践
学生在听课的过程中，确有一部分同学重“结论”胜于“过程”，重“程序”胜于“意义”，对老师精心设计的“知识生长过程”、“结论发生过程”袖手旁观，丝毫没有投身其间、勇于探索的热情，眼巴巴地等待“结论”的出现、“程序”的发生，久而久之，势必造成数学思维的程序化，丧失钻研问题与解决问题的思维锐气，最后只有对见过的题型可以“照猫画虎”，对不熟悉的题型则一筹莫展，消极地等待“外援”。
在解题时，学生多数为完成作业而“疲于奔命”，缺乏解题前的深刻理解题意和解题后的检验回顾，这种急功近利式的解题方式，造成了数学作业量虽大但效益低下。更有甚者，有的学生迫于教师必收作业的压力，盲目抄袭、对答案，老师改后也不改错，形成数学作业“一多”、“二假”、“三无效”(学生解题和老师批阅均为无效劳动)。针对学生在学习的过程中存在的问题，老师可以在平时的教学中从以下几方面加强对学生的训练：
1、培养学生善于进行总结归纳的习惯！
解题后，可以从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。这样才能举一反三，触类旁通，提高解题能力。
例如，（高二代数）已知a，b，c，d都是正数，且a+b=1，c+d=1，求证：ac+bd≤1。证法一：由已知条件，得a+b+c+d=2。
22222222根据算术平均与几何平均不等式，有2(ac+bd)≤a+b+c+d=2，∴ac+bd≤1。
这样从已知条件出发，借助基本不等式直接证得结论，显得简捷明了。证法二：由已知条件可知a≤1，b≤1，c≤1，d≤1。于是设a=sinα,c=sinβ,则b=cosα,d=cosβ。
∴ac+bd=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α－β),∴ac+bd≤1。
这一证法，使用问题转化的策略，将代数问题，转化为三角问题，使证法显得更为简明。当然，无论哪种解法，都应将解题方法及时进行归纳总结，以促进解题能力的提高。
2222
2、善于进行引伸
解完一道题之后，要善于把它“改头换面”。变成为多个与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目，这样可以扩大视野，深化知识，从而提高解题能力。
例如：（初中平面几何）边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，P是AB上一点，AP:PB=2（如图示），求矩形PNDM的面积。
解：延长NP交EF于K，延长MP交CF于G，得PG=AF=
3123EAKFMGPB，
DNCPK=BF=
3223，
23∴矩形PNDM的面积=MP×NP=（4－）（4－
23）=11。
91解完这道题后可以作如下引伸：去掉条件“AP:PB=2”。于是矩形PNDM的面积因P点在AB上的不同位置而变化，可引伸为如下的题目：
边长为4的正方形CDEF，截去一角成五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，若P是AB上的一个动点，并将矩形PNDM的面积记为S，求S的变化范围。
若条件不变又可引伸为：①S的最大值、最小值分别是多少？②P点在怎样的位置时S的值为10？
这样从不同角度引伸，有助于培养学生的解题能力。3、善于进行推广
当一道数学题解完之后，如果将命题中的特殊条件一般化，从而推得更为普
遍的结论，这就是数学命题的推广。善于进行推广所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。这有利于培养学生深入钻研的良好习惯，激发他们的创造精神。
例如：求“2549>49！”推广为“求证(n12；三角形中的余弦定)n>n！(n∈N)”
理是直角三角形的勾股定理的实质推广。
又如，求222之值。
解完这道题后，可以引导学生作如下推广：①求aaa之值（a>0）；②求n2n2n2之值（n>1,n∈N）；③求nanana之值（n>1,n∈N。a>0）；④求。aa2a3之值（a>0）
这种推广对活跃思路，开阔视野，培养解题能力是大有裨益的。
培养学生的解题能力，对发展学生的辩证唯物主义数学观，有重要的教育意义。在解题教学中，教师要引导学生在实践中演练，感知，体会解题的思想方法，逐步形成一系列行之有效的解题策略，如，化繁为简，化生为熟，化整为零，化曲为直，以形论数，以数论形，等等。在遇到新的问题情景时，能以有效的思维策略，去探索转化的途径。
为了抵制学生重“结论”的学习倾向，彻底走出数学作业“一多”、“二假”、“三无效”的误区？酝酿再三，我对学生提出了如下两条教学策略：
一是精选数学作业题，使学生脱离“题海”：在作业方面，我能减则减，以学生通过精当的练习，实现教师所期望的发展为度，而且对于不同层次的学生我还采取了分层作业，服从学生“解题技能”和“解题智能”的均衡发展的需要，实现数学题“算法型”和“思辨型”的合理搭配。
二是建立“我能行”数学档案袋，弥补课堂教学的不足
在课堂教学中，由于时间有限，不可能每道题都由学生讲解、分析，这就少了很多给学生锻炼的机会。因而，课后我让学生精选自己认为的好题进行分析，重点写出分析过程、解决这一问题时用到的知识、掌握的技能及最大收获等。通过这一策略，强化学生对所学知识的复习，对所用技能、方法的巩固，是提升解题能力的点睛之笔。
三、就“思”而言
2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。解题后的反思是提高解题能力的一个重要途径。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出答案之后，必须要认真进行解题反思：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法一题多解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论举一反三，多题一解？但许多同学在完成作业方面，因为学习态度和心理状态的不同，或者老师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯，解题能力和思维品质未能在更深和更高层次得到有效提高和升华。学习数学，也就只能登堂未能入室。为了提高学生的解题能力，我经常倡导和训练学生进行有效的解题反思：鼓励学生从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。想想以前有没有做过与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目。如果将题目的特殊条件一般化，能否推得更为普遍的结论，这样所获得的就不只是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;s就拿以下一题来说，已知如图：ＡＢ和ＤＥ是直立在地面上的两根石柱，ＡＢ＝５cm，某一时刻ＡＢ在阳光下的投影ＢＣ＝３cm。⑴请在图中画出此时ＤＥ在阳光下的投影；⑵在测量ＡＢ的投影时，同时测出ＤＥ在阳光下的投影长为６cm，请你计算ＤＥ的长。D2wh8vj2&[21世纪教育网：]mp;&[21世纪教育网：]mp;sA这道题主要是利用相似三角形的知识解决实际问题，说明数学知识来源于实际又服务于实际。在分析这一题时，我先做好题前反思，预见学生在解题过程中可能出现的错BCE误，先让学生来判断这些做法是否正确，误区一：默认△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ；误区二：默认∠Ａ＝∠Ｄ；误区三：由ＡＢ∥ＤＥ推△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ。对学生可能出现的典型错误加以评述，让学生在解题中增强识别、改正错误的能力。然后再让学生归纳、总结此题所用到的知识点，以及所用到的数学方法。再进行延伸，是否做过同类型的题，学生很容易就想到测量树高等问题，进而引申到如何测量树高，可有哪些方法？学生想到的比较多，利用物高与影长成比例或是利用光学原理进行解决。由此学生所得到的就不止是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。解题后的反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知
识的回顾节思考，只有这样，才能有效的深化对知识的理解，提高思维能力。有时多次受阻而后“灵感”突来。不论哪种情况，思维都有很强的直觉性，若在解题后及时重现一下这个思维过程，追溯“灵感”是怎样产生的，多次受阻的原因何在，总结审题过程中的思维技巧，这对发现审题过程中的错误，提高分析问题的能力都有重要作用。这些方法的熟练程度密切相关，学生在解题时总是用最先想到的方法，也是他们最熟悉的方法，因此，解题后反思一下有无其它解法,可使学生开拓思路，提高解题能力
2w总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练。只有这样，才能其正把这一工作做好。此外，米卢先生在中国倡导并实施的“快乐足球”，我想，如果能应用到数学教学中来，使培养能力与快乐学数学有机结合起来，必将使学生的能力越来越强，教师越教越松，家长越来越满意，社会越来越放心。提高学生的数学解题能力是一项重要而艰巨的任务，但不能急于求成，了不能盲目地搞题海战术，习题的训练要有针对性，讲求质量，讲求效益。在平时的数学教学中，教师应多引导学生进行思考，逐步使学生的思维能力由单向性发展为多向性。让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。“
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