复变函数公式及常用方法总结
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第一章复数
1i2=-1i1欧拉公式z=x+iy
实部Rez虚部Imz
2运算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2
②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2
z1z2③
x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1
④z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxiy共轭复数
zzxiyxiyx2y2共轭技巧
运算律P1页
3代数,几何表示
zxiyz与平面点x,y一一对应,与向量一一对应
辐角当z≠0时,向量z和x轴正向之间的夹角θ,记作θ=Argz=02kk=±1±2±3…
把位于-π<0≤π的0叫做Argz辐角主值记作0=argz0
4如何寻找argz
例:z=1-iz=i
42z=1+i
4z=-1π
5极坐标:xrcos,yrsinzxiyrcosisin
i利用欧拉公式ecosisin可得到zre
iz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei12
6高次幂及n次方
znzzzzrneinrncosnisinn
凡是满足方程z的ω值称为z的n次方根,记作
nnz
zrei2kn即rn
2knr2kn
1n第二章解析函数
1极限2函数极限
①复变函数
对于任一ZD都有W与其对应fz注:与实际情况相比,定义域,值域变化例fzz
②limfzzz0称fz当zz0时以A为极限
zz0☆当fz0时,连续例1
证明fzz在每一点都连续
证:fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一点都连续
3导数
fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC时有C证:对z有limz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3证明fzz不可导解:令zz0
fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy当0时,不存在,所以不可导。
定理:fzux,yivx,y在zxiy处可导u,v在x,y处可微,且满足C-R
条件
uvuvuvi且fz
xxxyyx例4证明fzz不可导
解:fzzxiy其中ux,yxvx,yyu,v关于x,y可微
uv11不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例5fzRez
解:fzRezxux,yxvx,y0
uv10不满足C-R条件所以在每一点都不可导xy例6:fzz
2解:fzz2x2y2其中ux,yx2y2vx,y0
根据C-R条件可得2x0,2y0x0,y0所以该函数在z0处可导
4解析
若fz在z0的一个邻域内都可导,此时称fz在z0处解析。用C-R条件必须明确u,v
四则运算fgfgfgzfggzkfkfznnzn1
zfgfgfg☆eezffgfg2gg例:证明fzezeezz
解:fzezexcosyiexsiny则ux,yexcosyvx,yexsiny
uvexcosyexcosyxyuvexsinyexsiny任一点zxiy处满足C-R条件yxz所以e处处解析fzuviexcosyiexsinyezxx练习:求下列函数的导数
fzzz
22232233223解:fzzzxyxiyxixyxyiyxxyixyy
2ux,yx3xy2vx,yx2yy3所以
u2xyyuv3x2y2x23y2xyC-R
方程可得
v2xy根据xuv3x2y2x23y2xyuv2xy2xyx0,y0yx所以当z0时fz存在导数且导数为0,其它点不存在导数。
初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数ezexcosyisiny
①定义域②e1ezz2ez1z2③ez2iezcos2isin2ez④ezez
Ⅲ对数函数称满足ze的叫做z的对数函数,记作lnz分类:类比nz的求法(经验)目标:寻找arg幅角主值
i可用:zezreuiv
iuiveueivreireu,eieiv过程:zreeeulnr,v2kk0,1,2
所以uivlnri2klnrirgzlnziargz2k
k0,1,2
例:求Ln1Ln1iLni的值
arg1
Ln1ln1iarg12ki2k1k0,1,2
arg1i4
Ln1iln1iiarg1i2kargi1ln2i2kk0,1,2242
Lnilniiargi2k1i2kk0,1,2
2Ⅳ幂函数对于任意复数,当z0时
zeLnz
例1:求i解
1i的值
:i1ielni1ie1iLelnii1iniie1ii2kAr2ei12kg2
k0,1,2
例2:求1i3ieln1i3ie3iln1ie13iln2i2k24
Ⅴ三角函数eiyeiycosyeiycosyisiny2iyiyiy
eeecosyisinysiny2i定义:对于任意复数zxiy,由关系式可得z的余弦函数和正弦函数
eizeizeizeizcoszsinz
22i例:求sin1icos5i解:sin1i1i1ieei1i2i1cos5iei5iei5i
2第三章复变函数的积分
1复积分
定理3.1设C是复平面上的逐段光滑曲线fzux,yivx,y在C上连续,则
fzux,yivx,yCC在C上可积,且有
fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx
C注:①C是线②方式跟一元一样方法一:思路:复数→实化
把函数fzuiv与微分dzdxidy相乘,可得
fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydx
CCC方法二:参数方程法☆核心:把C参数C:ztt
fzdzztztdt
C例:求
1;11izdz①C:0→1i的直线段②0CC1C2解:①C:zttit0t1
zdztittitdtt1i1idt1
C0011②C1:ztt0tC2:zt1it0t1
zdzzdzzdztdt1itdtCC1C201*111i1i22★结果不一样
2柯西积分定理
例:
zaC1nn12idz
n10C:以a为圆心,ρ为半径的圆,方向:逆时针解
:C
:zaei2in
2zxiy
02zaC1ndz0edz10einieid2in1i221nin1e1nid1ed1ni0n1001ni☆积分与路径无关:①单联通②处处解析例:求
2zC2xasin8z1dz,其中C是连接O到点0,2a的摆线:
ya1cos解:已知,直线段L与C构成一条闭曲线。因fz2z8z1在全平面上解析,
22z8z1dz0即2z8z1dz2z则
2CL2CL28z1dz
把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于
2zL28z1dz22a02x288x1dx2a2a28a1
3故
2zC88z1dz2a2a28a1
3★关键:①恰当参数②合适准确带入z
3不定积分
定义3.2设函数fz在区域D内连续,若D内的一个函数z满足条件
zfzzD定理3.7若可用上式,则例:计算解:
fzdzzzz,zz00z0D
edz
0i0izi0ezdzezei1
2练习:计算解:
2i2i22ze3z1dz
12i3z21212i3z214i12edzed3z1222622ze3z1dz4柯西积分公式
定理处处解析fz在简单闭曲线C所围成的区域内则fa1fzdz
2iCzaez1dz例1:z1zez1ez1解:dzdzez1z1z1z0zz00
sinzz2z21dzsinz1sinz1sinzdzdzdz2isin1解:z2z21z2z22z12z1例2:例3:
9zz7dz
z22z解:
z2z2zz9zdzdz2iz2zi9z2z79z2zi5
fz1fdzDC2iz注:①C:zD
②1一次分式z③找到fzfz在D内处处解析例4:解
sinzzz22zz1dz
:szzz22zz1dzszzszzs22dzdz2iiizzz1szzis11z0z2z1z2z0225解析函数的高阶导数
公式:fnzn!f2iCzn1dzDn=1,2……应用要点:①zD
②1zn1"n"
③精准分离
fzn1
sinzZ12z3dzsinz例:2z1z021dz2i2!sinz2z006调和函数
2g2若gx,y满足gx2gy20则称gx,y叫做D内的调和函数若fzux,yivx,y在D内解析
所以2u2u2xyv2v22xyxy0
把u,v称为共轭调和函数
第四章级数理论
1复数到znn1距离dz,z
谈极限对zn若有z0D使得dzn,z0znz00n此时z0为zn的极限点记作z0limzn或znz0n
n推广:对一个度量空间x,d都可谈极限2极限的性质
znnz00znz0nznnz00nn0
n0znz0n03znxniynz0x0iy0n
xx0nn
yy0n
4zn级数问题
Snz1z2z3znSn部分和数列
若limSnS0nzn1n则zn收敛,反之则发散。都收敛,则
性质:1若
znnzznnnn收敛
2若一个收敛,一个发散,可推出发散3SnS0n
Sn1S0n若若
aanan绝对收敛
但an收敛,为条件收敛
nz1zn等比级数:Snzzz
1z2nSn
zz1时收敛,其他发散n1z幂级数
Cnzz0
nn0zz0则Cnn
n0求收敛域limnCn1Cn0010R0
0zn例:求的收敛半径及收敛圆
n1n解:因为lim
Cn1nlim1所以级数的收敛半径为R=1,收敛圆为z1
nCnn1n泰勒级数
泰勒定理:设函数fz在圆K:zz0R内解析,则fz在K内可以展成幂级数
fzCnzz0n0nfnz0其中,Cn,(n=0,1,2……),且展式还是唯一的。
n!z例1:求fze在z0处的泰勒展式
解:fze在全平面上解析,fznzez,fn01
所以在z0处的泰勒展式为
z2zne1zz
2!n!z例2:将函数fz解
11z2展成zi的幂级数
:fz11z211121z1izi1in1zizin121i1izi2
罗朗级数
罗朗定理若函数fz在圆环D:rzz0R0rR内解析,则当zD时,有fznCzzn0n
其中Cn1fdn0,1,2n12iz01例:将函数fz内展成罗朗级数。
z1z2在圆环(1)1z2(2)2z
解:(1)在1z2内,由于
1z1,1,所以z2111111z1z1z2z2z121z12z
nn1z11zn1n1n12n02zn0zn02n0zfz(2)在2z内,由于
1121,1,所以zz11111121z1z2z2z121z1zz
nn12112n11zn0zzn0zznn1fz
孤立奇点
定义:若函数fz在z0的去心邻域0zz0R0R内解析,在z0点不解
析,则称z0为fz的孤立奇点。
sinzz2z4z2nn例:11z0为可去奇点
2n1!z3!5!2n3sinz1zn1z21z0为一级极点
2n1!z3!zsin1z11111n11z0为本性奇点32n12n1!zz3!z第5章留数理论(残数)
定义:设函数fz以有限项点z0为孤立奇点,即fz在z0的去心邻域
1fzdz的值为函数fz在点z0处的留数2iC0zz0R内解析,则称积分
记作:Resfz,z01fzdzC2i其中,C:zz0R,C的方向是逆时针。例1:求函数fzsinz在z1处的留数。z414解:因为z1以z1为一级零点,而sin10,因此fz以z1为一级极点。
Resfz,1sinzz411zz1sinz4z3z11sin14例2:求函数fzez在z0处的留数
解:z0是fz的本性奇点,因为
fzez1z111z2zn111ee1z12n2!n1!z2!n!zzz1z0z
所以C111111
n1!n!2!2!3!可得Resfz,01
111
n1!n!2!2!3!
第7章傅里叶变换
通过一种途径使复杂问题简单化,以便于研究。
定义:对满足某些条件的函数ft在,上有定义,则称
Ffteitdt
为傅里叶变换。同时ftfteitd为傅里叶逆变换
注:①傅里叶变换是把函数ft变为函数F
②傅里叶逆变换是把函数F变为函数ft③求傅里叶变换或傅里叶逆变换,关键是计算积分
④两种常见的积分方法:凑微分、分部积分复习积分:①exdx1xxedxe
0②sin7x1dx1cos7sin7x1d7x17x17③xe2dx1x233x33x23213x232e32edx6ed3x36
④x3exdxx3exexdx3
x3ex3exx2dxx3ex3exx2exdx2
x3ex3exx26exxdxx3ex3exx26xexex
dxx3ex3exx26xex6ex⑤x2sinxdxx2sinxsinxdx2
x2sinx2xsinxdxx2sinx2xsinxsinxdxx2sinx2xsinx2cosx
注:uvdxuvudv
例1:求ft10tsts的F
Ffteitdtsitt0edts1isedts0eitdtisitdit解:
seieits
siiisese2sins例2:求ft0ett0t00的FFfteitdt00eitdteteit0dt解:it0edt
1eiti0i22-函数
定义:如果对于任意一个在区间,上连续的函数ft,0tt0ftdtft0,则称t为-函数。
例1:求-函数的F
恒有解:Fteitdtt0eit0eitt01
例2:求正弦函数ftsin0t的傅氏变换
Ffteitdtsin0teitdtei0tei0titedt2i解:1ei0tei0tdt2i120202ii00F☆t112
F1第8章拉普拉斯变换设ft在t0时有定义
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