高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(二)函数1
二、函数
1.映射f:AB的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设f:MN是集合M到N的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点(a,b)在映射f的作用下的象是(ab,ab)，则在f作用下点(3,1)的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，
B到A的映射有个，A到B的函数有个则A到B的映射有个，（答：a,b,cR，
81,64,81）；（4）设集合M{1,0,1},N{1,2,3,4,5}，映射f:MN满足条件“对任意的xM，xf(x)是奇数”，这样的映射f有____个（答：12）；（5）设f:xx2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则AB一定是_____（答：或{1}）.
2.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数f(x)，xF，那么集合{(x,y)|yf(x),xF}{(x,y)|x1}中所
12含元素的个数有个（答：0或1）；（2）若函数yx2x4的定义域、值域都
2是闭区间[2,2b]，则b＝（答：2）
3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为yx2，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
4.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中
x0,a0且a1，三角形中0A,最大角3，最小角3等。如（1）函数
yx4xlgx32的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；（2）若函数ykx7kx24kx33（3）函数f(x)的定义域是[a,b]，ba0，)；
4则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是__________(答：[a,a])；（4）设函数f(x)lg(ax22x1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a1；②0a1）
的定义域为R，则k_______(答：0,（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式ag(x)b解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于当x[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x)的定义域）。如（1）若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为__________（答：x|21；（2）若函数2x4）
．f(x21)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）
5.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m,n]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）
求函数yx22x5,x[1,2]的值域（答：[4,8]）；（2）当x(0,2]时，函数
1；f(x)ax24(a1)x3在x2时取得最大值，则a的取值范围是___（答：a）2（3）已知f(x)3xb(2x4)的图象过点（2,1），则F(x)[f1(x)]2f1(x2)的值域
为______（答：[2,5]）
（2）换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）y2sin2x3cosx1的值域为_____（答：[4,17]）；（2）y2x1x18的值域为_____（答：(3,)）（令x1t，
t0。运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；（3）yn的isxocsnisxocsxx1[1,2]）值域为____（答：；（4）yx49x2的值域为____（答：；[1,324]）
2（3）函数有界性法——直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数y2sin1，
1sin2sin1133xy(,](,]y，的值域（答：、（0,1）、）；x1cos2213（4）单调性法——利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
19x5(1x9)，ysin2x，y2log3x1的值域为______2x1sinx8011（答：(0,)、[,9]、[2,10]）；
92如求yx（5）数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点P(x,y)在圆xy1上，求
22y及y2x的取值范围（答：x2[3322；（2）求函数y(x2)(x8)的值域（答：[10,)）；,]、[5,5]）
33（3）求函数yx26x13x24x5及yx26x13x24x5的值域
（答：[43,)、(26,26)）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。
（6）判别式法——对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
b33y(0,]）型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：22kx2x2bxx②y2型，先化简，再用均值不等式，如（1）求y的值域（答：
xmxn1x211x2(,]）；（2）求函数y的值域（答：[0,]）
22x3x2mxnmx28xn③y2型，通常用判别式法；如已知函数ylog3的定义域2xmxnx1为R，值域为[0，2]，求常数m,n的值（答：mn5）
①yx2mxnx2x1④y型，可用判别式法或均值不等式法，如求y的值域（答：
mxnx1
(,3][1,)）
（7）不等式法——利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添
(a1a2)2项和两边平方等技巧。如设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的
b1b2取值范围是____________.（答：(,0][4,)）。
（8）导数法——一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，
（答：－48）x[3,3]的最小值。
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断
x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同
2(x1).(x1)子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数f(x)，则使得
4x1.(x1)f(x)1的自变量x的取值范围是__________（答：(,2][0,10]）；（2）已知
(x0)1 3，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是________（答：(,]）f(x)21 (x0)7.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：
f(x)ax2bxc；顶点式：f(x)a(xm)2n；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知f(x)为二次函数，
且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式。（答：f(x)12x2x1）22（2）代换（配凑）法——已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知f(1cosx)sinx,求fx若f(x的解析式（答：f(x)x224；（2）2x2,x[2,2]）
11)x22，则函数f(x1)=_____（答：x22x3）；（3）若函数f(x)是xx定义在R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)，那么当x(,0)时，
f(x)=________（答：x(13x)）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。
（3）方程的思想——已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知
2f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：f(x)3x）；（2）已知f(x)是奇
3x1函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=,则f(x)=__（答：2）。
x1x1
8.反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)0(x{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数yx2ax3在区间[1,2]上存在反函数的充要条
3件是A、a,1B、a2,C、a[1,2]D、a,12,（答：D）
（2）求反函数的步骤：①反求x；②互换x、y；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数yf(x1)的反函数不是yf1(x1)，而是yf1(x)1。如设f(x)(x12)(x0).求f(x)的反函数fx1(x)（答：f1(x)1．(x1)）
x1（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax3)=x，其中a≠0，若f(x)的反函数f1(x)的定义域为
14,，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）.aa②函数yf(x)的图象与其反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称，注意函数yf(x)的图象与xf1(y)的图象相同。如（1）已知函数yf(x)的图象过点(1,1),那
2x3么f4x的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数f(x)，
x171若函数yg(x)与yf(x1)的图象关于直线yx对称，求g(3)的值（答：）；
2③f(a)bf1(b)a。如（1）已知函数f(x)log3(2)，则方程f1(x)414x的解x______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数ff(4)＝0，则f1(x)，
(4)＝（答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知fx是R上的增函数，点A1,1,B1,3在它的图象上，f1x是它的反函数，那么不等式f1log2x1的解集为________（答：（2,8））；
⑤设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f1(x)]x(xB)，f1[f(x)]x
(xA)，但f[f1(x)]f1[f(x)]。
9.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)2sin(3x)，
x[25,3]为奇函数，其中(0,2)，则的值是（答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如判断函数y|x4|49x2的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)f(x)0或判断f(x)x(f(x)1（f(x)0）。如f(x)11)的奇偶性___.（答：偶函数）2x12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|).如若定义在R上的偶函数f(x)在
1(,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)2的解集为______.（答：
38(0,0.5)(2,）)
④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既
a2xa2不充分也不必要条件。如若f(x)为奇函数，则实数a＝____（答：1）.
2x1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数
f(x)f(x)的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数，F(x)，
2f(x)f(x)。①判断F(x)与G(x)的奇偶性；②若将函数f(x)lg(10x1)，
2表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，
1G(x)为奇函数；②g(x)＝x）
2G(x)⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
扩展阅读：概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结4：三角函数 (2)
中小学1对1课外辅导专家
——概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
四、三角函数
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3.终边相同的角的表示：
（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2k(kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的5度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25；）36（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)k(kZ).（3）终边与终边关于x轴对称2k(kZ).（4）终边与终边关于y轴对称2k(kZ).（5）终边与终边关于原点对称2k(kZ).（6）终边在x轴上的角可表示为：k,kZ；终边在y轴上的角可表示为：
kk,kZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,kZ.如的终边与的终边关于226直线yx对称，则＝____________。（答：2k,kZ）34、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则是
22第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：l||R，扇形面积公式：S1lR1||R2，1弧度(1rad)57.3.如已知扇22形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm2）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x,y)是的终边上的任意一点（异于原yxy,cos，tan,x0，点），它与原点的距离是rx2y20，那么sinrrxrxrcot(y0)，secx0，cscy0。三角函数值只与角的大小有关，而与终边xyy上点P的位置无关。如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则sincos的值为＿＿。（答：72m33）；（2）设是第三、四象限角，sin，则m的取值范围是_______（答：（－1，)）；
4m213|sin|cos)0，（3）若试判断cot(sin)tan(cos的符号（答：负）
sin|cos|yT7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起B点在x轴上)”、余S弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点P是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等αOMAx的大小式。如（1）若0，则sin,cos,tan关系为
8,sin,tan的_____(答：tansincos)；（2）若为锐角，则大小关系为_______（答：sintan）；（3）函数y12cosxlg(2sinx3)的定义域
2](kZ)）是_______（答：(2k,2k33中小学1对1课外辅导专家
8.特殊角的三角函数值：30°45°60°sin0°01090°100180°0－10270°－10015°62462475°6246241222223212costancot3233113332-32+32+32-339.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,sincos,cot（3）商数关系：tancossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数sintany的值的符号为____（答：大于0）；（2）若02x2，则使1sin22xcos2x成coscot立的x的取值范围是____（答：[0,]43m342m5[,]）()，则tan＝____（答：）；（3）已知sin，cos；（4）m5m52412tansin3cos5131，则已知＝____；sin2sincos2＝_________（答：；）；tan1sincos35tn160（5）已知sin200a，则a1a2等于A、B、C、D、22a1a1aaa1a2（答：B）；（6）已知f(cosx)cos3x，则f(sin30)的值为______（答：－1）。ak10.三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），2符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数。如（1）97423costan()sin21的值为________（答：）；（2）已知sin(540)，则54623[sin(180)cos(360)]2（答：cos(270)______，若为第二象限角，则________。tan(180)43；）5100
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令sinsincoscossinsin22sincos
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令coscoscossinsincos2cos2sin2 2cos2112sin2tantan1+cos2如（1）下 cos2＝1tantan21cos2 sin2＝22tan tan21tan2tan22.5122sin列各式中，值为的是A、sin15cos15B、cosC、D、2212121tan22.5 tan1cos30（答：C）；（2）命题P：tan(AB)0，命题Q：tanAtanB0，则P是Q的A、2充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答：37)sin，那么cos2的值为____（答：）C）；（3）已知sin()coscos(；（4）
52513的值是______（答：4）；(5)已知tan1100a，求tan500的值（用a表示）甲求得sin10sin801a2a3的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：
2a13a甲、乙都对）12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与2()()，2()()，其和差角的变换.如()()，21等），，如（1）已知tan()，tan()，那2222254431么tan()的值是_____（答：）；（2）已知0，且cos()，4222292490sin()，求cos()的值（答：）；（3）已知,为锐角，sinx,cosy，
237293343cos()，则y与x的函数关系为______（答：y1x2x(x1)）5555(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值sin50(13tan10)（答：1）；（2）已知sincos211,tan()，求tan(2)的值（答：）1cos238(3)公式变形使用（tantantan1tantan。如（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝_____（答：2）；(2)设ABC中，2tanAtanB33tanAtanB，sinAcosA3，则此三角形是____三角形（答：等边）41cos21cos2(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos2，sin2与升幂公式：
22311111cos22cos2，1cos22sin2)。如(1)若(,)，化简cos2为_____
22222中小学1对1课外辅导专家
（答：sin）；（2）函数f(x)5sinxcosx53cos2x2553(xR)的单调递增区间为___________（答：[k,k](kZ)）21212(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan(cossin)
sintan1sin2；（答：sin）；（2）求证：（3）化简：cotcsc12sin21tan2tan(x)sin2(x)22441（答：cos2x）2(6)常值变换主要指“1”的变换（1sin2xcos2xsec2xtan2xtanxcotx3，如已知tan2，求sin2sincos3cos2（答：）.tansin等）425sinxcosx”的内存联系——“知一求二”(7)正余弦“三兄妹sinxcosx、，如（1）若t21sinxcosxt，则sinxcosx__（答：)，特别提醒：这里t[2,2]；（2）若22sin22sin47k()，求tan的值。（答：）；（3）已知(0,),sincos1，2421tan3试用k表示sincos的值（答：1k）。1tan2cos4x2cos2x1213、辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosxa2b2sinx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanb确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程a；（2）当函数sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）3y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：)；（3）如果
2tan=(答：－2)；（4）求值：fxx2coxs是奇函数，则()sin3164sin220________(答：32)22sin20cos201*、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法：3五点法：先取横坐标分别为0，,,,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到22正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是1,1，对ysinx，当x2kx2k322kZ时，y取最大值1；当
kZ时，y取最小值－1；对ycosx，当x2kkZ时，y取最大值1，当
3x2kkZ时，y取最小值－1。如（1）若函数yabsin(3x)的最大值为，最小值
2611为，则a__，b＿（答：a,b1或b1）；（2）函数f(x)sinx3cosx（x[,]）
2222的值域是____（答：[－1,2]）；（3）若2，则ycos6sin的最大值和最小值分别是
____、_____（答：7；－5）；（4）函数f(x)2cosxsin(x)3sin2xsinxcosx的最小值是
3中小学1对1课外辅导专家
_____，此时x＝__________（答：2；k12(kZ)）；（5）己知sincos1，求tsincos21的变化范围（答：[0,]）；（6）若sin22sin22cos，求ysin2sin2的最大、最小值
2（答：ymax1，ymin222）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；②f(x)Asin(x)和
x2。如(1)若f(x)sin，则f(x)Acos(x)的最小正周期都是T3||；(2)函数f(x)cos4x2sinxcosxf(1)f(2f)(3)f＝___（答：0）sin4x的最小正周期为____（答：）；(3)设函数f(x)2sin(x)，若对任意xR都有
25f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为____（答：2）（4）奇偶性与对称性：正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是k,0kZ，对称,0kZ，
22对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，轴是直线xkkZ；余弦函数ycosx(xR)是偶函数，对称中心是k5对称中心为图象与x轴的交点）。如（1）函数ysin；2x的奇偶性是______（答：偶函数）2)______（答：－5）（2）已知函数f(x)axbsin3x1(a,b为常数），且f(5)7，则f(5；（3）
函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：kk(,1)(kZ)、x(kZ)）；（4）已知f(x)sin(x)3cos(x)为偶函数，求2828的值。（答：k(kZ)）63（5）单调性：ysinx在2k,2kkZ上单调递增，在2k,2kkZ2222单调递减；ycosx在2k,2kkZ上单调递减，在2k,2k2kZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！16、形如yAsin(x)的函数：1（1）几个物理量：A—振幅；f—频率（周期的T相位；—初相；（2）函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由图象上的特殊点确定，如||)的图象如图所示，f(x)Asinx(A)，(215（答：f(x)2sin(x)）；
23倒数）；x—
23Y29X-223题图定；由周期确则f(x)＝_____
3（3）函数yAsin(x)图象的画法：①“五点法”——设Xx，令X＝0，,,,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系：①函数ysinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（中小学1对1课外辅导专家
数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；④函数yAsin(图象的横坐标不变，纵坐标向上（k0）或向下（k0），得到x)ysinx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1，得到函数ysinx的图象；③函
yAsinxk的图象。要特别注意，若由ysinx得到ysinx的图象，则向左
或向右平移应平移||个单位，如（1）函数y2sin(2x)1的图象经过怎样的变换才能得到
4ysinx的图象？（答：y2sin(2x)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向左
44平移个单位得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最后将纵坐标81x缩小到原来的即得ysinx的图象）；(2)要得到函数ycos()的图象，只需把函数224x7ysin的图象向___平移____个单位（答：左；）；（3）将函数y2sin(2x)1图像，按向223量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量a(,1)）；（4）若函数
6fxcosxsinx,20x的图象与直线yk有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是（答：[1,2)）（5）研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将
x看成ysinx中的x，但在求yAsin(x)的单调区间时，要特别yAsin(x中的)注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如（1）函数ysin(2x)的递减区间是______35x](kZ）)（答：[k,k；（2）ylog1cos()的递减区间是_______（答：
121234233[6k,6k](kZ)）；（3）设函数f(x)Asin(x)(A0,0,)的图象关于直4422152线x2对称，它的周期是，则A、f(x)的图象过点(0,)B、f(x)在区间[,]上是减函21233数C、f(x)的图象的一个对称中心是(5,0)D、f(x)的最大值是A（答：C）；（4）对于函数12fx2sin2x给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x成轴对123称；③图象可由函数y2sin2x的图像向左平移个单位得到；④图像向左平移个单位，即得123到函数y2cos2x的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数f(x)2sin(x)图象与直线y1的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是_______（答：）
317、正切函数ytanx的图象和性质：
（1）定义域：{x|xk,kZ}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域
2了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，
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其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如ysin2x,ysinx的周期都是,但ysinx
1，而y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周期不变；
6262k（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0kZ，特别提醒：正(余)切型函数
2的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注意在整个定22义域上不具有单调性。如下图：cosx的周期为
三角函数图象几何性质An(isyy=Asin(ωxx+)φ)yOx4x3x=x2x=x邻中心轴相距T14|x-x|=T/2邻中心邻轴|x1-x2|=T/234无穷对称轴:无穷对称中心:由y=0确定由y=A或-A确定18.三角形中的有关公式：三角函数图象几何性质y=tan(x+)φyAAn(atωx)yxOxx3x4x=x1x=x2邻中心|x3-x4|=T/2无穷对称中心:由y=0或y无意义确定邻渐近线|x1-x2|=T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：abc2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一sinAsinBsinCab,sinB,sinC些变式：iabcsinAsinBsinC；iisinA2R2Rc；iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运2R用正弦定理，则务必注意可能有两解.222(3)余弦定理：a2b2c22bccosA,cosAbca等，常选用余弦定理鉴定三角形的形2bc状.(4)面积公式：S1aha1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）.如ABC22222222中，若sinAcosBcosAsinBsinC，判断ABC的形状（答：直角三角形）。特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：
ABCABC,sin(AB)sinC,sincos；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，
22b，且常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）ABC中，A、B的对边分别是a、那么满足条件的ABCA、有一个解B、有两个解C、无解D、A=60,a6,b4，
不能确定（答：C）；（2）在ABC中，A＞B是sinAsinB成立的_____条件（答：充要）；（3）
1在ABC中，(1tanA)(1tanB)2，则log2sinC＝_____（答：）；(4)在ABC中，a,b,c260）分别是角A、B、C所对的边，若(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，则C＝____（答：；
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a2b2c230）（5）在ABC中，若其面积S，则C=____（答：；（6）在ABC中，A60,b1，
43239这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、
31BCb、c是角A、B、C的对边，a3,cosA,则cos2=，b2c2的最大值为（答：
3219;）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（答：0C）；（9）设O是
632锐角三角形ABC的外心，若C75，且AOB,BOC,COA的面积满足关系式．SAOBSBOC3SCOA，求A（答：45）19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在,内(1a1)。(2)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切22arctanx的取值范围分别是[,],[0,],(,).2222在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]，0,，[0,),[0,),[0,]．22220、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）
3若,(0,)，且tan、tan是方程x25x60的两根，则求的值______（答：）；
4B6,4sinB3cosA，则C＝_______（答：）（2）ABC中，3sinA4cos；（3）若3202且sinsinsin0，coscoscos0，求的值（答：）.
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