高中数学题函数经典知识总结

高中数学题函数经典知识总结

职中函数章节知识总结（一）

一．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

下列各组函数表示同一函数的是

A．f(x)C．f(x)x2,g(x)(x)2

3B．f(x)1,2g(x)x0

x2,g(x)(x)3D．

x21f(x)x1,g(x)x1例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．

y1(x3)(x5)x3

y2x5

解：不是同一函数，定义域不同

解：不是同一函数，定义域不同

2。

y1x1x1y2(x1)(x1)

3．4．5．

f(x)x

g(x)x2解：不是同一函数，值域不同解：是同一函数

解：不是同一函数定义域值域都不同

f(x)x

F(x)3x3f1(x)(2x5)2f2(x)2x5

二．求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域求法：

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；

．求下列函数的定义域：

x＋11

（1）y＝（2）y＝＋－x＋x＋4

x＋2x＋2x－110

（3）y＝（4）y＝＋(5x－4)

x－16－5x－x2（指数式的底数大于零且不等于一5x－4>0且5x－41）分段函数按照自己所在的的定义域代入相对应的解析式3.已知f(x)=x5(x6)，则f(3)的值为____

f(x4)(x6)f(x)的定义域为m,n，求yfg(x)的

4复合函数定义域的求法：已知y定义域，可由mg(x)n解出x的范围，即为yfg(x)的定义域

例如：已知函数f(x)的定义域为（1，3），则函数F(x)f(x1)f(2x)的定义域。

x1(1,3)2x(1,3)注意大括号的表示几个条件要同时满足！也就是几个不等式的解集的交集。

设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11

例：已知：f(x)=xx+3求：f()f(x+1)

解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3三求值域

1.直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数解：∵x0

10x∴

y1x2

1x1x1x1x的值域。

显然函数的值域是：(,0)(0,)例2.求函数y3x的值域。解：∵xx0,3x3

故函数的值域是：[,3]2.配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

2yx2x5,x[1,2]的值域。例3.求函数

2解：将函数配方得：y(x1)4∵x[1,2]

4，当x1时，ymiax由二次函数的性质可知：当x=1时，ymn故函数的值域是：[4，8]

3.单调性法就是利用函数单调性在定义域内进行判断这是重点3．函数单调性法

8

如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关可以变形为求

f(x)f(x1)f(x2)的正负号或者1与

f(x2)x1x21的关系

18．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在

R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

解析：f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈(－∞，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)=－x13＋1，f(x2)=－x23＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋

32

x2］．42

2

x22)2＋

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋x2)＋3x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

24四．判断函数奇偶性的方法一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)1偶函数f(-x)f(x)1奇函数f(-x)

你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称联想点（x,y）,(-x,y)f(x)与f(x)的图象关于x轴对称联想点（x,y）,(x,-y)f(x)与f(x)的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)

函数这一章内容主要在于联系和自己认真思考，这也是高中数学的特点，希望各位同学要认真努力的研读课本多多做课后习题，多总结，俗话说得好一日练一日功一日不练一日松！只有你勤加练习勤动脑筋肯定会有大的进步！

扩展阅读：高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

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2.8函数与方程

【考纲说明】

1、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。

【知识梳理】

1、函数零点的定义

（1）对于函数yf(x)，我们把方程f(x)0的实数根叫做函数yf(x)的零点。

（2）方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点（3）变号零点与不变号零点

①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

③若函数f(x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)0是f(x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定

（1）零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间a,b内有零点，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根。（2）函数yf(x)零点个数（或方程f(x)0实数根的个数）确定方法

①代数法：函数yf(x)的零点f(x)0的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定

0yf(x)有2个零点f(x)0有两个不等实根；0yf(x)有1个零点f(x)0有两个相等实根；

0yf(x)无零点f(x)0无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.

3、二分法

（1）二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数yf(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:

①确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0,给定精确度;

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②求区间(a,b)的中点c;③计算f(c);

()若f(c)0,则c就是函数的零点;

()若f(a)f(c)0,则令bc(此时零点x0(a,c));()若f(c)f(b)0,则令ac(此时零点x0(c,b));

④判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.

【经典例题】

【例1】（201*天津）函数f(x)=2+x2在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、3【答案】B

【解析】解法1：因为f(0)=1+02=1，f(1)=2+22=8，即f(0)f(1)中国教育培训领军品牌

合题意；当a1时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.

【例4】（201*辽宁）设函数f(x)(xR)满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当x[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[13,]上的零点个数为（）22A、5B、6C、7D、8【答案】B

【解析】因为当x[0,1]时，f(x)=x3.所以当x[1,2]时，(2x)[0,1]，f(x)f(2x)(2x)，

当x[0,]时，g(x)xcos(x)；当x[,]时，g(x)xcos(x)，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，g()g()0，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间[,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零点，共有6个零点，故选B

【例5】（201*湖北）函数f(x)xcosx在区间[0,4]上的零点个数为（）A、4B、5【答案】C

C、6

D、7

23121322123212121232【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+【例6】（201*陕西）函数f(x)π,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C．2

xcosx在[0,)内（）

A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【答案】B

【解析】解法一：数形结合法，令f(x)xcosx0，则xcosx，设函数yx和ycosx，它们在

[0,)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f(x)xcosx在[0,)内有且

仅有一个零点；

解法二：在x[2,)上，x1，cosx1，所以f(x)xcosx0；

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在x(0,2]，f(x)12xsinx0，所以函数f(x)xcosx是增函数，又因为f(0)1，

f()20，所以f(x)xcosx在x[0,]上有且只有一个零点．22a，a－b≤1，

【例7】（201*天津）对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f(x)＝(x2－2)(x－x2)，x∈R，若

b，a－b>1.

函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()

3－1，A、(－∞，－2]∪2

3

－1，－B、(－∞，－2]∪411

－1，∪，＋∞C、44

31

－1，－∪，＋∞D、44

【答案】B

x－2，x－2－(x－x)≤1，

【解析】f(x)＝＝2223x－x()x－x，x－2－>1x－x2，x，

2223

x2－2，－1≤x≤，2

2

则f(x)的图象如图

∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，

3

由图象知c≤－2，或－1中国教育培训领军品牌

（2）f(x)x4.x2【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.【解析】（1）由x2xx20,

3x2(x2)(x2)0,(x2)(x1)(x1)0,x2或x1或x1.故函数的零点是2，1，-1.

4x24（2）由x0,得0,

xx(x2)(x2)0,(x2)(x2)0,xx2或x=-2.故函数的零点是2，-2.

【例10】判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【答案】1.3125

【解析】因为f(1)＝－10，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：

区间(1,1.5)(1.25,1.5)(1.25,1.375)(1.3125,1.375)中点值1.251.3751.31251.34375中点函数近似值－0.30.22－0.050.08由于|1.375－1.3125|＝0.0625中国教育培训领军品牌

A．（-2,-1）B、（-1，0）C、（0，1）D、（1，2）

5、（201*浙江）设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（）A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]

6、（201*陕西）函数fx=x-cosx在[0，内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点

7、（201*福建）若函数f(x)的零点与g(x)42x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A、f(x)4x1B、f(x)(x1)C、f(x)e1D、f(x)ln(x)

8、下列函数零点不宜用二分法的是()

A、f(x)x8B、f(x)lnx3C、f(x)x22x2D、f(x)x4x19、（201*泉州）函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间

11A、,

842x2x1232（）

11B、,

42

C、,1

12

D、(1,2)

（）D、(100,)

10、（201*厦门）lgx10有解的区域是x

A、(0,1]B、(1,10]C、(10,100]

11、（201*湖北文）在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为（）

111113A、(,0)B、(0,)C、(,)D、(,)

42244412、（201*合肥）函数f(x)xlog2x的零点所在区间为（）

A、[0,]

x18B、[,]

1184C、[,]

x1142D、[,1]

1213、设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2内近似解的过程中得f10,f1.50,f1.250,则方程的根落在区间（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能确定

14、（201*浙江）设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是（）．A、4,2B、2,0C、0,2D、2,4

x22x3,x015、（201*福建）函数f(x)，零点个数为（）

2lnx,x0A、3B、2C、1D、0

16、（201*惠州）若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

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f(1)=－2f(1.375)=－0.260f(1.5)=0.625f(1.4375)=0.162f(1.25)=－0.984f(1.40625)=－0.054那么方程x3x22x20的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、（201*湖北）方程22xx23的实数解的个数为.218、已知函数f(x)x(a1)xa2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。

19、判断函数f(x)4xx223x3在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。20、求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(精确度0.1)．

【课后作业】

1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(x2

2、设f(x)3x，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是A、[0,1]B、[1,2]C、[－2，－1]D、[－1,0]

3、已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的A、函数f(x)在(1,2)或2,3内有零点B、函数f(x)在(3,5)内无零点C、函数f(x)在(2,5)内有零点D、函数f(x)在(2,4)内不一定有零点4、（201*莆田）若函数f(x)x33xa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是

A、2,2B、2,2

C、,1D、1,

5、（201*沈阳）函数f(x)xlnx的零点所在的区间为

A、（－1，0）

B、（0，1）

C、（1，2）

D、（1，e）

6、求函数f(x)2x33x1零点的个数为A、1B、2C、3D、4

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)()

）（）

（）

（）（中国教育培训领军品牌

7、如果二次函数yxxm3有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A、(211111111,)B、(,)C、(,)D、(,)42428、方程lgxx0根的个数为（）A、无穷多B、3C、1D、0

9、用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0f(1)中国教育培训领军品牌

318、用“二分法”求方程x2x50在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是19、函数f(x)lnxx2的零点个数为.20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．

【参考答案】

【课堂练习】

1-16、CDCBABACCBCCBABC17、2

18、解：设方程x(a1)xa20的两根分别为x1,x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10由韦达定理得a2(a1)10，即aa20，所以2a119、解：因为f1412222272130，f14103333所以fx在区间[1,1]上有零点

91"2又fx42x2x2x

22当1x1时，0f"2x92所以在[1,1]上单调递增函数，所以fx在[1,1]上有且只有一个零点。

20、解由于f(1)60,f(2)40，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

区间(1,2)(1.5,2)(1.5,1.75)(1.625,1.75)(1.6875,1.75)中点1.51.751.6251.68751.71875中点函数值－2.6250.2344－1.3027－0.5618－0.1707由于|1.75－1.6875|＝0.0625中国教育培训领军品牌

1-13、BDCABCCDADAAB14、215、(2,3)16、(0,1)17、{2,3}18、[2,2.5)

19、2

20、证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，

∵f(1)＝－10，

又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)

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