第十九章 四边形小结与复习
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第十九章四边形小结与复习
考点呈现
考点一求度数
例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）
0000
A.55B.35C.30D.25
解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B.
点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求．考点二平行四边形的性质
例2如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）
A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAE解析：本题要求△ABE的周长，就是求AB+BE+EA的值，而题目所给的条件是□ABCD的AC，BD相交于点O，可得AC、BD互相平分，即O是OBD的中点，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分线，则有BE=DE，
CB1所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+DA=×20=10（cm）.故选D．
D2点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决.
考点三正方形的性质
例3（1）如图3，在正方形ABCD中,点E，F分别在边BC、CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.
(2)如图4，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.
(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图5，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示).图3图4
图5
图6
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解析：（1）要证BE=CF，发现它们分别在△ABE和△BCF中，由已知条件可以证出△ABE≌△BCF；第（2）可以借助（1）的解法，作出辅助线，构造成（1）的形式；而（3）则是在前两问的基础对规律的总结，发现在正方形内互相垂直的两条线段相等.N
(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以∠EAB+∠AEB=90°.
因为∠EOB=∠AOF＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC，
M所以△ABE≌△BCF，所以BE=CF．
R(2)如图7,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点R，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，所以
图7
EF=BN,GH=AM，因为∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN，所以∠NRA=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，所以AM=BN.所以GH=EF=4．
(3)①8．②4n．
点评：这是一道猜想题，由特殊的图形得到结论，进一步推广到在其它情况下也成立，这是今后中考常见的一个题型，需要我们认真观察、计算、猜想、推广应用.
考点四四边形的折叠
CFDD例4将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，
得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）
OA.1B.2C.2D.3
ABAE解析：由对矩形的折叠过程可知，矩形ABCD是一
个特殊的矩形，否则折叠后难以得到菱形，据此，矩形的对角线等于边BC的2倍，于是，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解.由题意知AC=2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
CBAC2=AB2+BC2，即4BC2=AB2+BC2，而AB=3，所以BC=3.故应选D.
点评：有关特殊四边形的折叠问题历来是中考命题的一个热点，求解时只要依据折叠的前后的图形是全等形，再结合特殊四边形的有关知识就可以解决问题.
误区点拨
一、平行四边形的性质用错
12180例1如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式：①③34180；④24180.
0003180；②20；
其中一定正确的是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
错解：选B、C、D.
剖析：平行四边形的两组对边分别平行，对角相等的性质，同时考查了平行线的，因为∠1与∠2互补，所以12180，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC，∠2=∠4，所以34180，23180.
正解：选A.
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例2如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边
DC长AB取值范围为（）
A．1＜AB＜7B．2＜AB＜14
OC．6＜AB＜8D．3＜AB＜14
AB错解：选B.
剖析：本题错误原因在于没有搞清这三条边是否在同一个三角形中就用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判定.在平行四边形ABCD中，两条对角线一半与平行四边形一边组成一个三角形然后再求取值范围.
正解：选A.
二、运用判定方法不准确
例3已知，如图3，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形.错解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B.因为E，F分别是AB、CD的中点，所以DF11CD,BEAB，即22DF=BE.
在△AFD和△CEB中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△AFD≌△CEB.
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，所以∠DFA=∠BEC，所以AF∥CE，即四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
剖析：本例第（1）问是正确的，错在第（2）问选择证平行四边形的方法上，我们利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个方法时，证明出现了错误.
正解：（1）同上.
（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四边形AECF是平行四边形.
例4如图4，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.试说明：O是BD的中点.
错解：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AF=CE，所以O是BD的中点.
剖析：本例主要错在误认为O是平行四边形ABCD对角线的交点上，但我们观察图形可以发现EF与BD为四边形FBED的对角线，只要得到
四边形FBED是平行四边形，就能根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD的中点.
正解：连接FB，DE，因为AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以FD∥BE．
又因为AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四边形FBED是平行四边形．所以BO＝OD，即O是BD的中点．
基础盘点
一、基本概念及性质
1.平行四边形是指.它的性质有.2.平行四边形的判断方法有：（1）；（2）（3）；（4）.
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3.矩形是指.它的性质有、.
4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性质有、.
6.菱形的判定方法是、.7.只有一组对边平行的四边形叫做.两腰相等的梯形叫做，有一个角是直角的梯形叫做.
8.等腰梯形的性质有：等腰梯形的两腰；等腰梯形同一底上；等腰梯形的两条对角线.
9.等腰梯形的识别方法：的梯形是等腰梯形；在同一底上的的梯形是等腰梯形；相等的梯形是等腰梯形；成图形的梯形是等腰梯形.
10.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的.三角形的中位线平行于，并且等于第三边的.
课堂检测
1.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是()A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形
2.菱形、矩形、正方形都具有的性质是()
A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角
3.如图1，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（）
A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm
4.在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为15，AB=6，那么对角线AC＋BD=.
5.如图2，O是正方形ABCD内一点，如果△ABO是等边三角形，则∠ODC．
6.如图3，在矩形ABCD中，点E、F在BC边上，且BE=CF，AF，DE交于点M．求证：AM=DM.
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跟踪训练
1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）
A．20B．18C．16D．152.如图2，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
61224A．B．C．D．不确定
5553.如图3，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到201*个小正方形，则需要操作的次数是()
A.669B.670C.671D.672
4.如图4，已知菱形ABCD的一个内角BAD80，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BEBO，则EOA=度．
5.如图5，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
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参考答案
基础盘点：1.两组对边分别平行的四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分
2.（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.有一个角是直角的平行四边形四个内角都是直角、对角线相等4.有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形
5.一组邻边相等的平行四边形菱形是四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
6.四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形7.梯形、等腰梯形、直角梯形
8.相等两个角相等相等9.两腰相等两个角相等对角线轴对称10.中位线、第三边、一半
0课堂检测：1.A2.C3.C4.185.15
6.因为BE=CF，所以BF=CE．又因为矩形ABCD，所以∠B=∠C=90°，AB=CD，所以△ABF≌△DCE.所以∠MFE=∠MEF且AF=DE.所以∠MFE=∠MEF.又因为ME=MF，所以AM=DM.跟踪训练：1.C2.A3.B4.25
5.（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B=∠D=90°．因为AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF．所以BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．证明略.
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扩展阅读：第十九章 四边形小结与复习
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第十九章四边形小结与复习
基础盘点
1.平行四边形是指.它的性质有.2.平行四边形的判断方法有：（1）；（2）（3）；（4）.
3.矩形是指.它的性质有、.
4.矩形的判定方法有、.5.菱形是指.它的性质有、.
6.菱形的判定方法是、.7.只有一组对边平行的四边形叫做.两腰相等的梯形叫做，有一个角是直角的梯形叫做.
8.等腰梯形的性质有：等腰梯形的两腰；等腰梯形同一底上；等腰梯形的两条对角线.
9.等腰梯形的识别方法：的梯形是等腰梯形；在同一底上的的梯形是等腰梯形；相等的梯形是等腰梯形；成图形的梯形是等腰梯形.
10.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的.三角形的中位线平行于，并且等于第三边的.
考点呈现
考点一求度数
例1如图1，在□ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）
0000
A.55B.35C.30D.25
解析：本题只要求出∠B的度数，就可以得到∠BCE的度数，由已知□ABCD中，∠A=125°，知∠A+∠B=180°，得∠B=55°.进而得∠BCE=35°.故选B.
点评：本例也可以利用对边平行、对角相等来求．考点二平行四边形的性质
例2如图2，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）
A.4cmB.6cmC.8cmD.10cmAED解析：本题要求△ABE的周长，就是求AB+BE+EA的值，而题目所给的条件是□ABCD的AC，BD相交于点O，可得AC、BD互相平分，即O是OBD的中点，又OE⊥BD交AD于E，可知OE是BD的垂直平分线，则有BE=DE，
CB1所以AB+BE+EA=AB+DE+EA=AB+DA=×20=10（cm）.故选D．
2点评：本例利用平行四边形及线段垂直平分线的性质把所要求的三角形的周长转化为平行四边形两邻边的和，使问题得到解决.
考点三正方形的性质
例3（1）如图3，在正方形ABCD中,点E，F分别在边BC、CD上，AE，BF交于点O，
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∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.
(2)如图4，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的长.
(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图5，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图6，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示).图3图4
图51）要证BE=CF，发现它们分别在△ABE和△BCF图中，由已知条件可以证出6解析：（
△ABE≌△BCF；第（2）可以借助（1）的解法，作出辅助线，构造成（1）的形式；而（3）则是在前两问的基础对规律的总结，发现在正方形内互相垂直的两条线段相等.N
(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，所以∠EAB+∠AEB=90°.
因为∠EOB=∠AOF＝90°，所以∠FBC+∠AEB=90°，所以∠EAB=∠FBC，
M所以△ABE≌△BCF，所以BE=CF．
R(2)如图7,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点R，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，所以
图7
EF=BN,GH=AM，因为∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN，所以∠NRA=90°,故由(1)得,△ABM≌△BCN，所以AM=BN.所以GH=EF=4．
(3)①8．②4n．
点评：这是一道猜想题，由特殊的图形得到结论，进一步推广到在其它情况下也成立，这是今后中考常见的一个题型，需要我们认真观察、计算、猜想、推广应用.
考点四四边形的折叠
CFDD例4将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，
得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）
OA.1B.2C.2D.3
ABAE解析：由对矩形的折叠过程可知，矩形ABCD是一
个特殊的矩形，否则折叠后难以得到菱形，据此，矩形的对角线等于边BC的2倍，于是，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求解.由题意知AC=2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
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AC2=AB2+BC2，即4BC2=AB2+BC2，而AB=3，所以BC=3.故应选D.
点评：有关特殊四边形的折叠问题历来是中考命题的一个热点，求解时只要依据折叠的前后的图形是全等形，再结合特殊四边形的有关知识就可以解决问题.
误区点拨
一、平行四边形的性质用错
12180例1如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式：①③34180；④24180.
0003180；②20；
其中一定正确的是（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
错解：选B、C、D.
剖析：平行四边形的两组对边分别平行，对角相等的性质，同时考查了平行线的，因为∠1与∠2互补，所以12180，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC，∠2=∠4，所以34180，23180.
正解：选A.
例2如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边
DC长AB取值范围为（）
A．1＜AB＜7B．2＜AB＜14
OC．6＜AB＜8D．3＜AB＜14
AB错解：选B.
剖析：本题错误原因在于没有搞清这三条边是否在同一个三角形中就用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判定.在平行四边形ABCD中，两条对角线一半与平行四边形一边组成一个三角形然后再求取值范围.
正解：选A.
二、运用判定方法不准确
例3已知，如图3，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形AECF是平行四边形.错解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B.因为E，F分别是AB、CD的中点，所以DF00011CD,BEAB，即22DF=BE.
在△AFD和△CEB中，AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，所以△AFD≌△CEB.
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，所以∠DFA=∠BEC，所以AF∥CE，即四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
剖析：本例第（1）问是正确的，错在第（2）问选择证平行四边形的方法上，我们利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个方法时，证明出现了错误.
正解：（1）同上.
（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD，由（1）得BE=DF，所以AE=CF.所以，四边形AECF
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是平行四边形.
例4如图4，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O.试说明：O是BD的中点.
错解：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AF=CE，所以O是BD的中点.
剖析：本例主要错在误认为O是平行四边形ABCD对角线的交点上，但我们观察图形可以发现EF与BD为四边形FBED的对角线，只要得到
四边形FBED是平行四边形，就能根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到O是BD的中点.
正解：连接FB，DE，因为AB=DC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形．所以FD∥BE．
又因为AD=BC，AF=CE，所以FD=BE．所以四边形FBED是平行四边形．所以BO＝OD，即O是BD的中点．
跟踪训练
1.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为（）
A．20B．18C．16D．152.如图2，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）
12624A．B．C．D．不确定
5553.如图3，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到201*个小正方形，则需要操作的次数是()
A.669B.670C.671D.672
4.如图4，已知菱形ABCD的一个内角BAD80，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BEBO，则EOA=度．
5.如图5，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
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（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
参考答案
基础盘点：1.两组对边分别平行的四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分
2.（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.有一个角是直角的平行四边形四个内角都是直角、对角线相等4.有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形
5.一组邻边相等的平行四边形菱形是四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
6.四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形7.梯形、等腰梯形、直角梯形
8.相等两个角相等相等9.两腰相等两个角相等对角线轴对称10.中位线、第三边、一半
跟踪训练：1.C2.A3.B4.25
5.（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD,∠B=∠D=90°．因为AE=AF，所以Rt△ABE≌Rt△ADF．所以BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．证明略.
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