高中数学易错点与应试技巧总结：函数3
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函数
十二．函数的对称性。
1．满足条件fxafbx的函数的图象关于直线x已知二次函数f(x)ax等根，则f(x)＝_____
(答：12xx)
22ab2对称。如
bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有
2．点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为
yfx；
3．点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为
yfx；
4．点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为
yfx；
5．点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)
)关于直线yx的对称点为(y,x)；0；点(x,y曲线f(x,y)0关于直线yx的对
称曲线的方程为f(y,x)0。如
己知函数f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的图像是C1,它关于直线yx对称图
像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________
（答：yx22x1）
6．曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数yxx与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______
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-1-
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（答：x7x6）
7．形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd(由分
cxdc2母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(d,a)。如
ccc已知函数图象C与C:y(xa1)axa1关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______
（答：2）
8．|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如
（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；
（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称
（答：y轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如
（1）已知函数f(x)心对称图形；
（2）设曲线C的方程是yxx,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程
（答：y(xt)(xt)s）；②证明曲线C与C1关于点A十三．函数的周期性
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-2-
32x1aax(aR)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,1)成中
3ts对称。22,高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家
1．类比“三角函数图像”得：
①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；
②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；
③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数
yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；
如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
2．由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；
1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；
③若f(xa)(a0)恒成立，则T2a.
如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____
(答：0.5)
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为________
_(答：f(sin)f(cos))
（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函数，求f(201*)的值
(答：993)
（4）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又
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f222，则f201*=222(答：十四．指数式、对数式：
amn)
nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，
abnaNlogaNb(a0,a1,N0)logambn，alogaNN，
logablogcblogca，
nmlogab。如
（1）log225log34log59的值为________
(答：8)
（2）()21log28的值为________
(答：
164)
十五．指数、对数值的大小比较：
（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题——认真读题，确切理解题意，
明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模——通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模——求解所得的数学问题；④回归——将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立yaxbx型。
十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件
（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：
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①正比例函数型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；
xf(x)f(y)②幂函数型：f(x)x--------------f(xy)f(x)f(y)，f()y2；
③指数函数型：f(x)a------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)xf(x)f(y)；
④对数函数型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；
yx⑤三角函数型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)。
如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
f(T2)____
（答：0）
2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数f(x)(xN)表示x除以3的余数，则对任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)
（答：A）；
（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果
f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)
（答：1）；
（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，证明：直线x1是函数
f(x)图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且当x2时，f(x)单调递增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值的符号是____
（答：负数）
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3．利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如
（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：偶函数）；
（3）已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________
（答：(x2,1)(0,1)(2,3)）；
（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1时，
y1f(x)0，又f()1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)f(5x)2.
2（答：0,14,5）
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扩展阅读：201*届高考数学易错点与应试技巧总结3—函数
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函数
十二．函数的对称性。
1．满足条件fxafbx的函数的图象关于直线xab2对称。如
已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，则f(x)＝_____
(答：12xx)
22．点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；
3．点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；
4．点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；
5．点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)
0；点(x,y曲线f(x,y)0关于直线yx的对)关于直线yx的对称点为(y,x)；
称曲线的方程为f(y,x)0。如
己知函数f(x)x32x3,(x32),若yf(x1)的图像是C1,它关于直线yx对称图
像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________
（答：yx22x1）
6．曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数yxx与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______
（答：x27x6）
7．形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线xd(由分
cxdc母为零确定)和直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(d,a)。如
ccc已知函数图象C与C:y(xa1)axa21关于直线yx对称，且图象C关于点（2，－3）对称，则a的值为______
（答：2）
8．|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如
（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；
（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称
（答：y轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C1上。如
（1）已知函数f(x)心对称图形；
（2）设曲线C的方程是yxx,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程
（答：y(xt)(xt)s）；②证明曲线C与C1关于点A十三．函数的周期性
3x1aax(aR)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,1)成中
3ts对称。22,1．类比“三角函数图像”得：
①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；
②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；
③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数
yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；
如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）
2．由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期
函数”得：
①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；
1f(x)1f(x)②若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；
③若f(xa)(a0)恒成立，则T2a.
如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____
(答：0.5)
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为________
_(答：f(sin)f(cos))
（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x1)是奇函数，求f(201*)的值
(答：993)
（4）设fx是定义域为R的函数，且fx21fx1fx，又f222，则f201*=
222(答：
十四．指数式、对数式：
amn)
nam，amn01m，a1，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，anaNlogaNb(a0,a1,N0)logambnb，alogaNN，
logablogcblogca，
nmlogab。如
（1）log225log34log59的值为________
(答：8)
（2）()21log28的值为________
(答：
164)
十五．指数、对数值的大小比较：
（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；
（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
十六．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题——认真读题，确切理解题意，
明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模——通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模——求解所得的数学问题；④回归——将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立yaxbx型。
十七．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件
（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：①正比例函数型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；xf(x)②幂函数型：f(x)x2--------------f(xy)f(x)f(y)，f()；
yf(y)③指数函数型：f(x)ax------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)；
x④对数函数型：f(x)logax-----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；
yf(x)f(y)1f(x)f(y)⑤三角函数型：f(x)tanx-----f(xy)。
如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
f(T2)____
（答：0）
2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数f(x)(xN)表示x除以3的余数，则对任意的x,yN，都有A、f(x3)f(x)B、f(xy)f(x)f(y)C、f(3x)3f(x)D、f(xy)f(x)f(y)
（答：A）；
（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果
f(1)lg32，f(2)lg15，求f(201*)
（答：1）；
（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，证明：直线x1是函数
f(x)图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且当x2时，f(x)单调递增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值的符号是____
（答：负数）3．利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如
（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：奇函数）；
（2）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______
（答：偶函数）；
（3）已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________
（答：(2,1)(0,1)(2,3)）；
x（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1时，
y1f(x)0，又f()1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)f(5x)2.
2（答：0,14,5）
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