高中数学易错点与应试技巧总结：数列1
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结（数列）
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，，n｝）的
特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如
n1*(nN)，则在数列的最大项为__（答：）；{a}nn215625an（2）数列{an}的通项为an，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为___
bn1（1）已知an（答：anan1）；
（3）已知数列{an}中，ann2n，且{an}是递增数列，求实数的取值范围（3）；（4）一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1)，由关系式an1f(an)得到的数列{an}满足an1an(nN*)，则该函数的图象是
（）（答：A）
二．等差数列的有关概念：
1．等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数）或an1ananan1(n2)。如
设{an}是等差数列，求证：以bn=
a1a2annN*为通项公式的数列{bn}为等差数列。
n2．等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。如
(1)等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an（答：2n10）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（3．等差数列的前n和：Sn8d3）3n(a1an)n(n1)d。如，Snna1221315*（1）数列{an}中，anan1(n2,nN)，an，前n项和Sn，则a1222＝＿，n＝＿（答：a13，n10）；
（2）已知数列{an}的前n项和Sn12nn，求数列{|an|}的前n项和Tn
-1-
2*12nn(n6,nN)（答：Tn2）.*n12n72(n6,nN)4．等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且Aab。2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，
a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,（公差为2d）
三．等差数列的性质：
1．当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.2222．若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列若公差d0，则为常数列。
npq3．当m时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.
如（1）等差数列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____（答：27）；（2）在等差数列an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0
D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0（答：B）
4．若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、
{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列.如
等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（225）5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇nd；项数为奇数2n1时，
；S奇:SS奇S偶a中，S2n1(2n1)a中（这里a中即an）（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；
偶k()1:k。如
（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
Anf(n)，则Bn
an(2n1)anA2n1f(2n1).如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项bn(2n1)bnB2n1和分别为Sn和Tn，若
a6n2Sn3n1，那么n___________（答：）8n7bnTn4n37．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数
an0an0确列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组或an10an10定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如
（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{an}是等差数列，首项a10,a201*a201*0，
*a201*a201*0，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法
an1aa，其中q0,an0或n1nq(q为常数）ananan1(n2)。如
（1）一个等比数列{an}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1为____
（答：
5）；6（2）数列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求证：数列｛bn｝是等比数列。
2．等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm。如设等比数列{an}中，a1an66，
a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.（答：n6，q1或2）2a1(1qn)a1anq3．等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，Sn。如
1q1q（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99（答：44）；（2）
(Cn1k010nkn；)的值为__________（答：2046）
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对
q分q1和q1两种情形讨论求解。
4．等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，aa,,a,aq,aq22qq（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为
aa3,,aq,aq，，因公比不一定为正数，3qq只有公比为正时才可如此设，且公比为q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个
2成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：
（1）当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有
amanap2.如（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则
；a10=___（答：512）
（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10
（答：10）。
(2)若{an}是等比数列，则{|an|}、若{an}、{kan}成等比数列；{bn}{apnq}(p,qN)、成等比数列，则{anbn}、{*an}成等比数列；若{an}是等比数列，且公比q1，则数列bnSn,S2nSn,S3nS2n，也是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS2n，是常数数列0，它不是等比数列.如
1（1）已知a0且a1，设数列{xn}满足logaxn1x1x2x100loxgn(nN*)，且a100，则x101x102x200.（答：100a100）；
（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，则S20的值为______（答：40）
(3)若a10,q1，则{an}为递增数列；若a10,q1,则{an}为递减数列；若
a10,0q1，则{an}为递减数列；若a10,0q1,则{an}为递增数列；若q0，
则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为常数列.
(4)当q1时，Sna1naq1aqnb，这里ab0，但a0,b0，这1q1q是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。如若{an}是等比数列，且Sn3nr，则r＝（答：－1）
(5)SmnSmqmSnSnqnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若
Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的值为_____（答：－2）
(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，.S奇a1qS偶(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如
数列an的前n项和为Sn（nN），关于数列an有下列三个命题：①若
anan1(nN)，则an既是等差数列又是等比数列；②若Snan2bna、bR，则
an是等差数列；③若Sn11n，则an是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）
扩展阅读：201*高考数学易错点与应试技巧总结数列
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
数列
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，，n｝）的
特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知ann(nN*)，则在数列{an}的最大项为__2n156（答：
1）；25（2）数列{an}的通项为anan，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为___bn1（答：anan1）；
（3）已知数列{an}中，ann2n，且{an}是递增数列，求实数的取值范围
（答：3）；
（4）一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a1(0,1)，由关系式（）an1f(an)得到的数列{an}满足an1an(nN*)，则该函数的图象是
（答：A）
二．等差数列的有关概念：
1．等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数）或an1ananan1(n2)。如
设{an}是等差数列，求证：以bn=差数列。
a1a2annN*为通项公式的数列{bn}为等
n2．等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。如
(1)等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an（答：2n10）；
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（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______
（答：
3．等差数列的前n和：Sn8d3）3n(a1an)n(n1)d。如，Snna1221315*（1）数列{an}中，anan1(n2,nN)，an，前n项和Sn，则a1222＝＿，n＝＿
（答：a13，n10）；
（2）已知数列{an}的前n项和Sn12nn2，求数列{|an|}的前n项和Tn
2*12nn(n6,nN)（答：Tn2）.*n12n72(n6,nN)4．等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A提醒：
ab。2（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，
a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,（公差为2d）
三．等差数列的性质：
1．当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1常数项为0.
2．若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。
n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且222npq3．当m如
时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.
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（1）等差数列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____
（答：27）；
（2）在等差数列an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0
（答：B）
4．若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、
{apnq}(p,qN*)、Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列.如
等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。
（答：225）
5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇nd；项数为奇数2n1时，
，S2n1(2n1)a中（这里a中即an）；S奇:SS奇S偶a中（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______
（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数
（答：5；31）.
6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
偶k()1:k。如
Anf(n)，则Bn
an(2n1)anA2n1f(2n1).如bn(2n1)bnB2n1京翰教育1对1家教高中数学辅导网
设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若
Sn3n1，那Tn4n3么
an___________bn（答：
6n2）
8n77．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数
an0an0确列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组或an10an10定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如
（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
（答：前13项和最大，最大值为169）；
（2）若{an}是等差数列，首项a10,a201*a201*0，
*a201*a201*0，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法
an1aa，其中q0,an0或n1nq(q为常数）ananan1(n2)。如
（1）一个等比数列{an}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1为____
（答：
5）；6（2）数列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求证：数列｛bn｝
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是等比数列。
2．等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm。如
设等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.
（答：n6，q1或2）2a1(1qn)a1anq3．等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，Sn。如
1q1q（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99
（答：44）；
（2）
(Cn1k010nkn)的值为__________
（答：2046）；
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对
q分q1和q1两种情形讨论求解。
4．等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数a,b(ab)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，aa,,a,aq,aq22qq（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为
aa3,,aq,aq，，因公比不一定为正数，3qq只有公比为正时才可如此设，且公比为q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。
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（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：
（1）当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有
amanap2.如
（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___
（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10
（答：10）。
(2)若{an}是等比数列，则{|an|}、若{an}、{kan}成等比数列；{bn}{apnq}(p,qN)、成等比数列，则{anbn}、{*an}成等比数列；若{an}是等比数列，且公比q1，则数列bnSn,S2nSn,S3nS2n，也是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS2n，是常数数列0，它不是等比数列.如
1（1）已知a0且a1，设数列{xn}满足logaxn1x1x2x100loxgn(nN*)，且a100，则x101x102x200.
（答：100a100）；
（2）在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，则S20的值为______
（答：40）
(3)若a10,q1，则{an}为递增数列；若a10,q1,则{an}为递减数列；若
a10,0q1，则{an}为递减数列；若a10,0q1,则{an}为递增数列；若q0，
则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为常数列.
(4)当q1时，Sna1naq1aqnb，这里ab0，但a0,b0，这1q1q是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。
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如若{an}是等比数列，且Sn3nr，则r＝（答：－1）
(5)SmnSmqmSnSnqnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若
Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的值为_____
（答：－2）
(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，.S奇a1qS偶(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设
数列an的前n项和为Sn（nN），关于数列an有下列三个命题：①若
anan1(nN)，则an既是等差数列又是等比数列；②若Snan2bna、bR，则
an是等差数列；③若Sn11n，则an是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）
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