数学必修二第一章知识点总结+习题

数学必修二第一章知识点总结+习题

第一章空间几何体

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；

常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。(2)简单组合体的构成形式：

一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

练习1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）

ABCD

2、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥P"""""简单组合体

"A"B"C"D"E"

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似。

(3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点练习2．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。3.空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

"""""

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”练习3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个()

A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对

主视图左视图俯视图练习4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．

练习5．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;

图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

练习6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位

，则该几何体的表面积及体积为：cm）

图（1）图（2）

56222222

A.24cm，12cmB.15cm，12cmC.24cm，36cm4、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）

00②建立斜坐标系xOy，使xOy=45（或135），注意它们确定的平面表示水平平面；

""""""③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

‘

‘

练习7．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．．．A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆

练习8．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

0A．22B．

122C．

22D．122r5、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；S侧面⑵圆锥侧面积：S侧面lrlAS侧＝2πrlB2rlrl

AB=2πr

AlVθlr12hlB图中：扇形的半径长为l，圆心角为θ，弧AB的长Lθl(注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角π为弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)42

O1r圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积S扇形弧长半径

⑶圆台侧面积：S侧面hO2RlrlRl练习9．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3B.23C.33D.43说明：正三棱锥是锥体中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。正三棱

锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。

正三棱锥的性质：1．底面是等边三角形。2．侧面是三个全等的等腰三角形。3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。6体积公式：

V柱体ShV锥体1Sh31V台体hS上S上S下S下

练习10．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:V2A.1:3B.1:1C.2:1D.3:1练习11．在△ABC中，AB何体的体积是（）

2,BC1.5,ABC1200,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几

A.

92B.

72C.

52D.

32

练习12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

A．3355R3B．R3C．R3D．R3248248练习13．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面边长为

ABCD是

与平面

3的正方形，EF//AB,EF32,且

EFEDAFCBABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）

915A．Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．

22练习14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，

圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．3

7.球的表面积和体积S球44R2，V球R3.

3练习15．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

练习16．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）

A．25B．50C．125D．都不对练习17．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）

A．3:1B．3:2C．2:3D．3:3

3的圆柱，求圆柱的表面积

练习18（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为

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第一章空间几何体

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。(2)简单组合体的构成形式：

一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。

简单组合体

练习1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（）ABCD

2、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱

"""""AD"

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似。

(3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

练习2．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。

3.空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

练习3．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个()

A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对

主视图左视图俯视图

练习4．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是()．

""""""""""

练习5．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;

图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

图（1）图（2）

练习6．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：

56

22A.24cm，12cmB.15cm，12cmC.24cm，36cm4、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）②建立斜坐标系x"O"y"，使x"O"y"=45（或135），注意它们确定的平面表示水平平面；

00

2222③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持

‘

不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

练习7．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是()．．．A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆

练习8．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．20‘

2B．

1222C．D．12225、空间几何体的表面积与体积r

lrlAS侧＝2πrlB⑴圆柱侧面积；S侧面2rl⑵圆锥侧面积：S侧面rl

AlVθlr12hlB图中：扇形的半径长为l，圆心角为θ，弧AB的长AB=2πr

圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积S扇形弧长半径Lθl(注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角π为弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)42

O1r

hO2Rl⑶圆台侧面积：S侧面rlRl练习9．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A.3B.23C.33D.43说明：正三棱锥是锥体中底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。正三棱锥的性质：1．底面是等边三角形。2．侧面是三个全等的等腰三角形。3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。6体积公式：

V柱体Sh1V锥体Sh31V台体hS上S上S下S下3

练习10．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:VA.1:3B.1:1C.2:1D.3:1

练习11．在△ABC中，AB2,BC1.5,ABC1200,若使绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

A.

9753B.C.D.2222

练习12．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

A．

3355R3B．R3C．R3D．R3248248练习13．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，

EF//AB,EF3,且EF与平面ABCD的距离为2，2EDAFCB则该多面体的体积为（）

A．

915Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．22练习14．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，

圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．37.球的表面积和体积S球4R，V球243R.3练习15．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。练习16．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）

A．25B．50C．125D．都不对练习17．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）

A．3:1B．3:2C．2:3D．3:3

练习18（如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积

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