二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质
1.二次函数的图像与性质:
解析式a的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点yax22当a0时;开口向上;在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的(0,0)x0(0,0)yaxkya(xh)2(0,c)x0(0,k)右侧y随x的增大而增大。2(0,ah)(h,0)xhya(xh)2k当a0时;开口向下;在对称轴的左侧y随22(0,ahk)(h,k)xhyaxbxcx的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小。b4acb2(,)2a4abx(0,c)2a
2.抛物线的平移法则:
2(1)抛物线yaxk的图像是由抛物线yax的图像平移k个单位而得到
2的。当k0时向上平移;当k0时向下平移。
2(2)抛物线ya(xh)的图像是由抛物线yax的图像平移h个单位而得到
2的。当h0时向左平移;当h0时向右平移。
2(3)抛物线的ya(xh)k图像是由抛物线yax的图像上下平移k个单位,
2左右平移h个单位而得到的。当k0时向上平移;当k0时向下平移;当h0时向左平移;当h0时向右平移。3.二次函数的最值公式:形如
y最小值yaxbxc的二次函数。当a0时,图像有最低点,函数有最小值
0时,图像有最高点,函数有最大值,y最大值4acb24a;
24acb24a;当a24.抛物线
yaxbxc与y轴的交点坐标是(0,c)
5.抛物线的开口大小是由a决定的,a越大开口越小。
2yaxbxc的最值问题:
6.二次函数
(1)自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。(2)自变量的取值范围不是一切实数:
自变量的取值范围不是一切实数时,应当抓住对称轴比较,再进行求最值。
6.二次函数与一元二次方程的关系:
22yaxbxcaxbxc0的两根。(1)抛物线与x轴的交点坐标的横坐标方程
xb2a,把他与取值范围相
(2)抛物线与x轴的交点个数是由b24ac决定的:
当0时抛物线与x轴有两个交点;当0抛物线与x轴有一个交点;当
0时抛物线与x轴没有点。0时抛物线与x轴有交点。(此定理的逆定理也成
立。)
7.二次函数的三种常用形式:
2yaxbxc
(1)一般式:ya(xh)k(2)顶点式:
2(3)两根式:
ya(xx1)(xx2)
8.一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法;(2)配方法;(3)公式法;(4)因式分解法;(5)图像法。
扩展阅读:二次函数图象及性质知识总结
二次函数图象及性质知识总结
二次函数概念b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。一般地,形如yax2bxc(a,定义域是全体实数,图像是抛物线解析式图像的性质a0开口a0开口bc为0时yax2向上.向下y轴b为0时yax2c向上向下y轴bc不为0时yax2bxc向上向下对称轴顶点坐标a0时yxb2a00,c0,b4acb2,2a4a有最小值a0时yX=0.时y最小值等于0X=0,时Y最小值等于c4acb2b当x时。y有最小值.2a4a有最大值a0时开口向上a0时开口向下X=0.时X=0,时4acb2b当x时,y有最大值.y最大值等于0Y最大值等于c2a4ax0时,y随x的增大而增大;x0时,b当x时,y随x的增大而减小;x0时,y随x的增大而减小;y有最小值0.2a当xx0时,y随x的增大而减小;x0时,b时,y随x的增大而增大2ab时,y随x的增大而增大;2ab时,y随x的增大而减小2ay随x的增大而增大;x0时,y有最大值0当x当x图像画法解析式的表示及图像平移利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、顶点、与y轴的交点0,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).与x轴的交点x1,画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.1.一般式:yax2bxc2.顶点式:ya(xh)2k3.两根式:ya(xx1)(xx2)k;在原有函数的2.平移⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,2基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”①yaxbxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yaxbxc变成22yax2bxcm(或yax2bxcm)②yaxbxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yaxbxc变成22ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
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