一次函数单元知识总结例题精讲与同步练习 教案
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教学内容：一次函数单元知识总结
【基本目标要求】
一、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，发展学生的抽象思维能力．
二、初步理解函数的概念，了解函数的列表法、图象法和解析法的表示方法．
三、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．
四、能写出实际问题中的一次函数、正比例函数的解析式，掌握它们的图象及其性质，并利用它们解决简单的实际问题．
【基础知识导引】一、函数
1．函数的概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量，y是因变量．2．函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a，函数都有惟一确定的对应值，这个对应值，叫作当x=a时的函数值．3．函数的表示法
(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．二、一次函数
1．定义若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(1inearfunction)(x为自变量，y为因变量)．
2．图象一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)且平行于直线y=kx的一条直线，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距．
3．性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k0时，它的图象在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k新课程网校[]全力打造一流免费网校！
(2)一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象是过(0，b)、(b，0)两点的一条直k线．
因此依据两个独立条件可确定k，b，即可求出一次函数．
(3)基本量是数学对象的一个本质概念，如正比例函数含有一个基本量k；一次函数含有两个基本量k、b；确定一个平行四边形需3个基本量；长方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．
二、每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数．如2x-1是x的函数．
【发散思维分析】
本章的主要内容有：函数，一次函数，一次函数的图象，确定一次函数的表达式，一次函数图象的应用．
本章从丰富多彩的问题情境中渗透函数的模型思想，从中建立概念，总结规律，促进其应用与拓展，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决实际应用问题．
本章安排了逆向发散、解法发散和其他内容的发散思维题，逆向发散可化异为同，化生为熟，化繁为简，变难为易，从而得到结论．
解法发散要进行一题多解，一题多变，一题多得的训练，使学生思维具有流畅性、灵活性和独创性，从而把复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，直到问题解决．
【知识结构网络】
【学习方法指导】
1．培养数形结合的思想方法，提高数形结合的能力
本章教材注重学生形象思维能力的培养，形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养学生形象思维的一个重要渠道．数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法，它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了．
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2．转化的思想方法
把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题，把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题，从而利用函数的概念及性质解决实际问题．3．函数与方程的思想是本章的特点之一
【典型热点考题】[题型发散]
例1选择题把正确答案的代号填入题中括号内．
如图6-19，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快()
(A)2.5米(B)2米(C)1.5米(D)1米
(201*年重庆市中考试题)
解由图6-19得：将(8，64)分别代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，
v26.5米/秒，故本题应选(C)．
例2填空题
已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数解析式是________．
(201*年温州市中考试题)
解设所求的函数解析式为y=k(x+1)①
将x=5，y=12代入①，得12=k(5+1)，所以k=2．故本题应填“y=2x+2”．
[综合发散]
例3旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票．设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，如图6-20所示，求
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(1)y与x之间的函数关系式；
(2)旅客最多可免费携带行李的重量．
(201*年甘肃省中考试题)
分析本题是以行李的重量为x轴，行李票价为y轴，由题意y是x的一次函数，通过对图形的观察知点(60，5)、(90，10)在此图象上，并且此图象与x轴的正半轴交于一点，故应用待定系数法求解.
解(1)设一次函数的关系式为y=kx+b.因为点(60，5)和(90，10)在此函数的图象上，因此，得60k+b=5,90k+b=10.分别整理得：
b=5-60k.(1)b=10-90k.(2)比较(1)、(2)，得5-60k=10-90k，即30k=5，k得b=-5.所以y1.61x561x50.所以x≥30.6因为x>0，y≥0，所以
1x5故此函数的解析式为y60(x30)(0x30)
(2)由(1)知0新课程网校[]全力打造一流免费网校！
(2)当y1y2时，0.265x201*0；(3)当y1y2时，0.265x>0.3x-700，x新课程网校[]全力打造一流免费网校！
要求写出一个关系式.
2.(1)y=50+0.4x；(2)110.8元；(3)375分.3.(1)y=0.6x；(2)91.2元；(3)约333分.试一试
1.(1)选择A类收费方式；(2)每月通话250分时，两类收费方式所缴话费相等.习题6.3略习题6.4
1.略.2.增大.3.略.4.y=3x.习题6.5
3x.242.k，b1.
31.y
3.(1)y=7.5x+0.5；(2)75.5cm.习题6.6
1.约2.5千克.
2.(1)201*，3000；(2)6000，5000；(3)4吨；(4)大于4吨，小于4吨；(5)y=1000x，y=500x+201*.习题6.7
1.3000元，3500元，-500元.
2.(1)B；(2)90千米/时；(3)30千米；(4)132分.复习题
A组
1.A，F，G；B，E，I；C，D，H.2.(2).
3.y=0.6x+15.
4.y=-2x，3个空依次为2，0，-2.
5.(1)减小；(2)(,0)，(0,3)；(3)x323.26.(1)约5.1cm；(2)约11.4cm；(3)10天.
B组
1.略.
2.(1)v=5t+10；(2)60米.
3.(1)l2；(2)10米；(3)小明将赢得这场比赛.
C组
1.(1)略；(2)这些点近似地在一条直线上；(3)t=25-6.5；(4)约2.2℃.(本题各问答案不惟一.)
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一次函数单元知识总结
【基本目标要求】
一、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，发展学生的抽象思维能力．
二、初步理解函数的概念，了解函数的列表法、图象法和解析法的表示方法．
三、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．
四、能写出实际问题中的一次函数、正比例函数的解析式，掌握它们的图象及其性质，并利用它们解决简单的实际问题．
【基础知识导引】一、函数
1．函数的概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量，y是因变量．2．函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a，函数都有惟一确定的对应值，这个对应值，叫作当x=a时的函数值．
3．函数的表示法
(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
二、一次函数
1．定义若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(1inearfunction)(x为自变量，y为因变量)．
2．图象一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)且平行于直线y=kx的一条直线，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距．
3．性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k0时，它的图象在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k
(2)一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象是过(0，b)、(bk，0)两点的一条直
线．
因此依据两个独立条件可确定k，b，即可求出一次函数．
(3)基本量是数学对象的一个本质概念，如正比例函数含有一个基本量k；一次函数含有两个基本量k、b；确定一个平行四边形需3个基本量；长方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．
二、每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数．如2x-1是x的函数．
【发散思维分析】
本章的主要内容有：函数，一次函数，一次函数的图象，确定一次函数的表达式，一次函数图象的应用．
本章从丰富多彩的问题情境中渗透函数的模型思想，从中建立概念，总结规律，促进其应用与拓展，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决实际应用问题．
本章安排了逆向发散、解法发散和其他内容的发散思维题，逆向发散可化异为同，化生为熟，化繁为简，变难为易，从而得到结论．
解法发散要进行一题多解，一题多变，一题多得的训练，使学生思维具有流畅性、灵活性和独创性，从而把复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，直到问题解决．
【知识结构网络】
【典型热点考题】
[题型发散]
例1选择题把正确答案的代号填入题中括号内．
如图6-19，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快()
(A)2.5米(B)2米(C)1.5米(D)1米
(201*年重庆市中考试题)
解由图6-19得：将(8，64)分别代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，v26.5米/秒，故本题应选(C)．
例2填空题
已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数解析式是________．
(201*年温州市中考试题)解设所求的函数解析式为y=k(x+1)①
将x=5，y=12代入①，得12=k(5+1)，所以k=2．故本题应填“y=2x+2”．
[综合发散]
例3旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票．设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，如图6-20所示，求
(1)y与x之间的函数关系式；
(2)旅客最多可免费携带行李的重量．
(201*年甘肃省中考试题)
分析本题是以行李的重量为x轴，行李票价为y轴，由题意y是x的一次函数，通过对图形的观察知点(60，5)、(90，10)在此图象上，并且此图象与x轴的正半轴交于一点，故应用待定系数法求解.
解(1)设一次函数的关系式为y=kx+b.因为点(60，5)和(90，10)在此函数的图象上，因此，得60k+b=5,90k+b=10.分别整理得：
b=5-60k.(1)b=10-90k.(2)比较(1)、(2)，得5-60k=10-90k，即30k=5，k得b=-5.所以y16x5
16x50.所以x≥30.
16.
因为x>0，y≥0，所以
1x5故此函数的解析式为y60(x30)(0x30)
(2)由(1)知00.3x-700，x
例5为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm，椅子的高度(不含靠背)为xcm，则y应是x的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度；
(1)请确定y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由.
(201*年吉林省中考试题)
解(1)设y=kx+b，则有
75.0=40.0k+b.(1)70.2=37.0k+b.(2)由(1)，得b=75.0-40.0k(3)由(2)，得b=70.2-37.0k(4)比较(3)、(4)，得
75.0-40.0k=70.2-37.0k，
即k=1.6，
将k=1.6代入(3)，得b=11.所以y=1.6x+11.
(2)当x=42.0时，y=1.6×42.0+11=78.2.
所以这套桌椅是配套的.
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