高考复习经典方法技巧总结系列

高考复习经典方法技巧总结系列

高三一轮复习讲座一----集合与简易逻辑

一、复习要求

1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。

5、充分条件与必要条件

（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；

（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。

7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

二、学习指导

1、集合的概念：

（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

（3）集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，}；②描述法。

2、两类关系：

（1）元素与集合的关系，用或表示；

（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称

三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。

解题思路分析：

在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}

∴M∩N=M={y|y≥1}

说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}当B=φ时，△=m-8当B={1}或{2}时，当B={1，2}时，∴m=3

01m20或42m20，m无解

充分性：设a，b满足17a+4b=11∴b1117a4

1117a4012m122

代入方程：axy整理得：(y114

综上所述，m=3或22m22

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：

假设xA、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A

9、方程mx+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0

扩展阅读：高考复习经典方法技巧总结系列

高三一轮复习讲座二----函数

一、复习要求

1、函数的定义及通性；2、函数性质的运用。

（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。

判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。

函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。

函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。

（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。

求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。

（4）反函数：函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x)的反函数f(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。

设函数f(x)定义域为A，值域为C，则f[f(x)]=x，x∈Af[f(x)]=x，x∈C2、函数的图象

函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。

图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。

4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。

对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。

应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。

5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。

-1-1

-1-1

二、学习指导

1、函数的概念：

（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称映射为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射。

（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。

求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。

函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。

求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。

在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。

2、函数的通性

（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，f(x)1（f(x)应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(x)f(x)0，

f(x)三、典型例题

例1、已知f(x)的值。

分析：

1

≠0）。

奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。

函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。

2x3-1

，函数y=g(x)图象与y=f(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(11)x利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。∵y=f(x+1)∴x+1=f(y)∴x=f(y)-1

∴y=f(x+1)的反函数为y=f(x)-1即g(x)=f(x)-1∴g(11)=f(11)-1=

-1-1

-1

则f(x)+g(x)=(a-1)x+bx+c-3a10由已知f(x)+g(x)为奇函数

c30a1∴

c32

32∴f(x)=x+bx+3

下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b，分类讨论。

2

评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f(b)。

例2、设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；

（4）若f(x)f(2x-x)>1，求x的取值范围。分析：

（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴f(x)1f(x)2

2

例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log分析：

2x的值。y在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件

x0,y0由已知得x2y0

2xy(x2y)∴x=4y，∴logx4y22xlogy44

例6、某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用y=ab+c（其中a，b，c为常数）或二次函数，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。

分析：

设f(x)=px+qx+r（p≠0）f(1)pqr1则f(2)4p2qr1

f(3)9p3qr1.3p0.05∴q0.35

r0.72

x

由已知x>0时，f(x)>1>0当x0，f(-x)>010∴f(x)f(x)又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0

（3）任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴

f(x2)f(x2)f(x1)f(x2x1)1f(x1)∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数

（4）f(x)f(2x-x)=f[x+(2x-x)]=f(-x+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x)>f(0)得：3x-x>0∴0∴g(4)=-0.8×0.54

+1.4=1.35∵|1.35-1.37|b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a2、方程loga(x2)x（a>0且a≠1）的实数解的个数是A、0B、1C、2D、3

3、y(1)|1x|3的单调减区间是

A、（-∞，1）B、（1，+∞）C、（-∞，-1）∪（1，+∞）D、（-∞，+∞）3、函数ylog1(x24x12)的值域为

2A、（-∞，3]B、（-∞，-3]C、（-3，+∞）D、（3，+∞）4、函数y=log2|ax-1|（a≠b）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于

A、112B、2C、2D、-2

6、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为

A、3B、4C、6D、12（二）填空题

7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，则

f(152)=__________。8、已知y=loga(2-x)是x的增函数，则a的取值范围是__________。9、函数f(x)定义域为[1，3]，则f(x2

+1)的定义域是__________。

10、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx

)的大小关系是

__________。

11、已知f(x)=log2

2

3x+3，x∈[1，9]，则y=[f(x)]+f(x)的最大值是__________。

12、已知A={y|y=x2

-4x+6，y∈N}，B={y|y=-x2

-2x+18，y∈N}，则A∩B中所有元素的和是__________。

13、若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）上最小值为__________。

14、函数y=log22(x+1)（x>0）的反函数是__________。

15、求值：

11xabxac11xbcxba11xcaxcb=__________。

（三）解答题16、若函数f(x)ax1x2c的值域为[-1，5]，求a，c。

17、设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)

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