201*年中考数学基础知识总结与题型

201*年中考数学基础知识总结与题型

课题：201*年中考数学基础知识总结与题型一．代数式幂的运算公式：amanamnmanamnn

abnanb

平方差公式ababa2b2

2完全平方公式：aba2b22ab

ab2a2b22ab

练习：1．下列运算正确的是()

A．aa2a2B．(ab)3ab3C．(a2)3a6D．a10a2a5

2.若x2＋2mx＋４是一个完全平方公式，则m的值为（）Ａ.２Ｂ.２或－２Ｃ.４Ｄ.４或－４3.图①是一个边长为(mn)的正方形，小颖将图①中的阴影部mnm分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）

nA．(mn)2(mn)24mnB．(mn)2(m2n2)2mn←m→←n→C．(mn)22mnm2n2D．(mn)(mn)m2n2

图①

图②

4.a29aa3先化简，(x212)4xx43.

a33a再求值：x2x2，其中

二、方程：

1．解方程组：2xy2x2y3,3x2y102.解方程组

3x8y13;

3.解方程：x24解方程：

x3x2x2414.x11x1x2

4．已知一元二次方程x2+x─1=0，下列判断正确的是（）

A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定5.方程x24x0的解是。

6.阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如

下关系：xxbxc

1+2=－a，x12=a

根据上述材料填空：已知x2+4x+2=0的两个实数根，则11

1、x2是方程xx1+x2

=_________.

三、一次函数y1．如右图所示，一次函数ykxb（k为常数且k0）

02x的图象，则使y0成立的x的取值范围为．

2．一次函数y＝－3x－2的图象不经过（）

－4A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．直线y=2x+6与两坐标轴围成的三角形面积是四、反比例函数反比例函数ykx的图象上任取一点与，原点，坐标轴围成的矩形的面积是；

与坐标轴围成的直角三角形的面积是。1.如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数ykx的

第1题图

图象过点A，则k=

2.如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点

E都在y1x（x0）的图象上，则点E的坐标是（，）.

五、二次函数

1．已知二次函数y＝Ax2＋Bx＋C的图象如图所示，

则下列结论正确的是()

A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞02.将抛物线y12x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，

得到的抛物线的解析式为____________．3．抛物线yx22x1的顶点坐标是（

）。

A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,0)D.(1,0)abc4.抛物线yax2bxc图像如图所示，则一次函数ybx4acb2与反比例函数

yx在同一坐标系内的图像大致为（）

xxxxx六、四边形图形形状性质边角对角线对称性对边平行，两对角线互相垂直菱形四条边都对角相等平分，每一条对角中心对称轴相等线平分一组对角对称矩形对边平行对角相等对角线互相平分且中心对称轴且相等相等对称对边平行，两条对角线互相平正方形四条边都四个角都是分、垂直、相等，中心对称轴相等直角每一条对角线平分对称一组对角两底平行，等腰梯形两腰不平同一底上的对角线相等轴对称行但相等两个角相等1.两组对角相等可判定一个四边形为平行四边形。2.当四边形的对角线互相垂直时，其面积可以用对角线相乘除以2进行计算。

3.S三角形=；S圆=；S平行四边形=；S矩形=；S梯形=；S菱形=；4.n边形的内角和公式：；n边形的外交和为1.正方形具备而菱形不具备的性质是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角2.下列叙述错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分。B.平行四边形的四个内角相等。C.矩形的对角线相等。D.有一个角时90的平行四边形是矩形

3．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（）A、等腰梯形B、矩形C、正方形D、菱形4、下列命题中，不成立的是（）．

A、等腰梯形的两条对角线相等B、菱形的对角线平分一组对角C、顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

5、若菱形的周长为16，一个内角为60°，则菱形的较短的对角线长______cm。6.菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm。则菱形的面积为（）cm2

A.503B.1003C.400D.100

DC

7.如下图，□ABCD的周长是36cm，O是对角线交点，且△AOB周长

O比△BOC的周长多8cm，则AB＝_______cm.A8．若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是()

B

A．9B．8C．6D．4

9、下列哪组条件不能能判别四边形ABCD是平行四边形？（）A、AB∥CD，AB＝CD

B、AB＝CD，AD＝BC

C、AB∥CD，AD∥BCD、AB∥CD，AD＝BC

10.下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形七、圆1.圆的内接四边形对角互补。2.弦切角等于其所夹弧所对的圆周角。

3.在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角、弧不一定．．．相等。4.在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角一定．．相等。5.在同圆中，垂直于弦的直径平分弦。6.在同圆中，平分弦的直径不一定．．．垂直于弦。7.在同圆中，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。8.弧长的计算公式：l=

())180扇形的面积公式：S=

(360=

圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=9.直角三角形内切圆半径r=

练习：1.圆锥底面半径为4cm，母线长为24cm，则侧面展开图中扇形的圆心角为__________。2.直径为30cm的⊙O中，有两条平行弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，则弦AB和CD的距离为_______．

3.一个点与定圆上最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则此圆的半径是A.2.5cm或6.5cm

B.2.5cm

C.6.5cm

D.13cm或5cm

4.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x1x20的两根，

且O1O22，则⊙O1和⊙O2的位置关系是．

5.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．A．0.4米

B．0.5米

C．0.8米

D．1米

C6.如图，△ABC内接于⊙O，若OAB28°，则C的大小为（）

OA．

28°

B．56°C．60°D．62°

AB八.三角函数与证明

1.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在

海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

2.某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)

ACDB

3．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8,∠B=60°，BC=12,联结AC．（1）求tanACB的值；

（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN，求线段MN的长．ADB

C

AQD

4.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB5，AC6．

O过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求△BDE的周长；

BPCE

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BPDQ．

九.统计与概率1.方差的计算公式：

2.连续五个整数的方差为，标准差为。

1、有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）

A、10

B、

10C、2D、

2

2、某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（）

A．15，16B．15，15C．15，15.5D．16，153.某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

测试项目测试成绩甲乙丙教学能力857373科研能力707165组织能力647284（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

4.某中学组织全校4000名学生进行了民族团结知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图6的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．

分组频数频率频数

50.5~60.50.0516060.5~70.5140120

70.5~80.5801008080.5~90.50.2660

90.5~100.51480.374020

合计1050.560.570.580.590.5100.5成绩/分请根据以上提供的信息，解答下列问题：图6（1）补全频数分布表；（2）补全频数分布直方图；

（3）上述学生成绩的中位数落在哪一组范围内？

（4）学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励，请估计全校4000名学生中约有多少名获奖？

十.应用题

1、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？年龄（单1415161718位：岁）人数14322.超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折（“七折”即定价的70）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

3.为了迎接201*年大运会，我市某一城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

十一.动点与新知识题型

1.如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M(8,0)，点N(0,6)．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N→O方向运动，点Ｑ从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Ｑ同时出发，当点Ｑ到达点M时，P、Ｑ两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）设四边形．．．MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（2）当t为何值时，PＱ与l平行？yNP

MxOＱl

2.已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数yx1图像的其中一个伴侣正方形。

（1）若某函数是一次函数yx1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数ykx(k0)，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m

扩展阅读：201*年中考数学基础知识归纳及典型例题分析

201*年中考数学总复习资料

代数部分

第一章：实数

基础知识点：一、实数的分类：有理数实数无理数整数分数有限小数或无限循环小正分数负分数正整数零负整数数

正无理数无限不循环小数负无理数1、有理数：任何一个有理数总可以写成的重要特征。

pq的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、sin45°等。3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。二、实数中的几个概念

1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a的相反数是－a；（2）a和b互为相反数a+b=02、倒数：

（1）实数a（a≠0）的倒数是3、绝对值：

（1）一个数a的绝对值有以下三种情况：

1a；（2）a和b互为倒数ab1；（3）注意0没有倒数

－1－

a,a0,a,a0a0a0

（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。4、n次方根

（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（3）立方根：3a叫实数a的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。三、实数与数轴

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。四、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。五、实数的运算1、加法：

（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数。3、乘法：

（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

－2－

（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。4、除法：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。六、有效数字和科学记数法

n1、科学记数法：设N＞0，则N=a×。10（其中1≤a＜10，n为整数）

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。例题：

例1、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且ab。化简：aabba

分析：从数轴上a、b两点的位置可以看到：a＜0，b＞0且ab所以可得：解：原式aabbaa例2、若a(4343)3,33b(),4333c()，比较a、b、c的大小。

43分析：a()1；b1且b0；c＞0；所以容易得出：

34a＜b＜c。解：略

例3、若a2与b2互为相反数，求a+b的值。分析：由绝对值非负特性，可知a20,b20，又由题意可知：a2b20

－3－

所以只能是：a2=0，b+2=0，即a=2，b=2，所以a+b=0解：略例4、已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，求解：原式=0110

11eeee（2）2222abmcdm的值。

2例5、计算：（1）819940.1251994解：（1）原式=(80.125)1994119941

1111eeeeeeee=e11（2）原式=e2222代数部分第二章：代数式

基础知识点：一、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。3、代数式的分类：有理式代数式无理式整式分式单项式多项式

二、整式的有关概念及运算

1、概念

（1）单项式：像x、7、2xy，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也

－4－

是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。

升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。2、运算

（1）整式的加减：

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。去括号法则：括号前面是—+‖号，把括号和它前面的—+‖号去掉，括号里各项都不变；括号前面是—‖号，把括号和它前面的—‖号去掉，括号里的各项都变号。

添括号法则：括号前面是—+‖号，括到括号里的各项都不变；括号前面是—‖号，括到括号里的各项都变号。

整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。

（2）整式的乘除：

幂的运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：aaa(a)amnmnnmnmn；同底数幂相除：anmanamn；幂的乘方：

积的乘方：(ab)ab。

n单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得

－5－

的积相加。

单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。乘法公式：

平方差公式：(ab)(ab)a2b2；

完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：mambmcm(abc)（2）运用公式法：

平方差公式：a2b2(ab)(ab)；完全平方公式：a22abb2(ab)2（3）十字相乘法：x2(ab)xab(xa)(xb)

（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。（5）运用求根公式法：若ax2bxc0(a0)的两个根是x1、x2，则有：

ax2bxca(xx1)(xx2)

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法。四、分式

1、分式定义：形如

AB的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义。（2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

－6－

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。（7）有理式：整式和分式统称有理式。2、分式的基本性质：（1）

ABAMBM（2）(M是0的整式)；

ABAMBM(M是0的整式)

（3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算：

（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。五、二次根式

1、二次根式的概念：式子a(a0)叫做二次根式。

（1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。

（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a与a；abcd与abcd）2、二次根式的性质：

－7－

（1）(a)2a(a0)；（2）a2aababaa(a0)(a0)；（3）abab（a≥0，

b≥0）；（4）(a0,b0)

3、运算：

（1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。（2）二次根式的乘法：ab（3）二次根式的除法：

ababab（a≥0，b≥0）。(a0,b0)

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。例题：

一、因式分解：1、提公因式法：

例1、24a2(xy)6b2(yx)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。

2、十字相乘法：

例2、（1）x5x36；（2）(xy)4(xy)12

分析：可看成是x和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。

3、分组分解法：例3、x2xx2

分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。

4、求根公式法：

－8－

3224

例4、x25x5解：略二、式的运算

巧用公式例5、计算：(11ab)(121ab)

2分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略

[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。

2、化简求值：

例6、先化简，再求值：5x2(3x25x2)(4y27xy)，其中x=1y=1[规律总结]一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。3、分式的计算：例7、化简

a52a6(16a3a3)

22

分析：a3可看成a9a3解：略

[规律总结]分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；（2）注意负号

4、根式计算

例8、已知最简二次根式2b1和7b是同类二次根式，求b的值。分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7b。解：略

[规律总结]二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。

代数部分

第三章：方程和方程组

基础知识点：

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的

－9－

方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程1、一元一次方程

（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。（4）一元一次方程有唯一的一个解。2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）

（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。（4）一元二次方程的根的判别式：b24ac当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：

2若x1,x2是一元二次方程axbxc0的两个根，那么：x1x2ba，

x1x2ca

（6）以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

x(x1x2)xx1x20

2三、分式方程

（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（2）分式方程的解法：

－10－

一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：

a1xb1yc1一般形式：（a1,a2,b1,b2,c1,c2不全为0）

axbyc222解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。（2）三元一次方程组：

解法：代入消元法和加减消元法4、二元二次方程组：

（1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。

（2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。考点与命题趋向分析例题：

一、一元二次方程的解法例1、解下列方程：（1）

12(x3)22；（2）2x3x1；（3）

24(x3)25(x2)

2分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法解：略

[规律总结]如果一元二次方程形如(xm)n(n0)，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程

－11－

化成一般形式。例2、解下列方程：

（1）x2a(3x2ab)0(x为未知数)；（2）x22ax8a20

分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。二、分式方程的解法：例3、解下列方程：（2）

21x21x1（2）1；

x2x26xx225

分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法解：略

[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。三、根的判别式及根与系数的关系

例4、已知关于x的方程：(p1)x22pxp30有两个相等的实数根，求p的值。分析：由题意可得=0，把各系数代入=0中就可求出p，但要先化为一般形式。[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0例5、已知a、b是方程x（1）ab；（2）

2222x10的两个根，求下列各式的值：

1a1b

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。

[规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。

例6、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程xx50的两个根小3分析：先出求原方程的两根之和x1x2和两根之积x1x2再代入求出(x13)(x22)和(x13)(x23)的值，所求的方程也就容易写出来。解：略

2[规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。三、方程组

－12－

例7、解下列方程组：

xy2z12x3y3（1）；（2）2xyz5

x2y5xy3z4分析：（1）用加减消元法消x较简单；（2）应该先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。解：略

[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。

例8、解下列方程组：

22xy73xxy4y3x4y0（1）；（2）

22xy12xy25分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略

[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。

代数部分

第四章：列方程（组）解应用题

知识点：

一、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）；5、检验，作答；

二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；1、工程问题

－13－

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量（3）注意：工程问题常把总工程看作—1‖，水池注水问题属于工程问题2、行程问题

（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间（2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程乙走的路程=原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间=乙的时间时间差；甲的路程=乙的路程3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度水流速度4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100三、列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。例题：

例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？

分析：设工作总量为1，设甲组单独完成工程需要x天，则乙组完成工程需要(x+2)天，

－14－

等量关系是甲组5天的工作量+乙组6天的工作量=工作总量解：略

例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的处追上甲连。

31求乙连的行进速度及追上甲连的时间

分析：设乙连的速度为v千米/小时，追上甲连的时间为t小时，则甲连的速度为（v28）千米/小时，这时乙连行了(t74)小时，其等量关系为：甲走的路程=乙走的路程=30

例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？

分析：设原计划每天生产通讯设备x台，则改进操作技术后每天生产x（1+0.5）台，等量关系为：原计划所用时间改进技术后所用时间=2天解：略

例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？

分析：设三、四月份平均每月增长率为x%，二月份的销售额为60（110%）万元，三月份的销售额为二月份的（1+x）倍，四月份的销售额又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的销售额为二月份的（1+x）倍，等量关系为：四月份销售额为=96万元。解：略

例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：

税后利息=1002.25%1002.25%20%1002.25%(120%)

已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，问该储户存入了多少本金？

分析：设存入x元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2.25%(1－20%)x元，方程容易得出。

例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

－15－

分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的利润为（40－x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，由关系式：

总利润=每件的利润×售出商品的叫量，可列出方程解：略

代数部分

第五章：不等式及不等式组

知识点：

一、不等式与不等式的性质

1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。2、不等式的性质：

（l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞b，c为实数a＋c＞b＋c

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b，c＞0ac＞bc。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜0ac＜bc.

注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a，b的大小关系（三种）：

（1）ab＞0a＞b（2）ab=0a=b（3）ab＜0a＜b4、（1）a＞b＞02a2b

（2）a＞b＞0ab

二、不等式（组）的解、解集、解不等式

1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

－16－

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：

（l）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。2、一元一次不等式组：

（l）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。例题：

方法1：利用不等式的基本性质1、判断正误：

（1）若a＞b，c为实数，则ac2＞bc2；（2）若ac2＞bc2，则a＞b

分析：在（l）中，若c=0，则ac=bc；在（2）中，因为‖＞‖，所以。C≠0，否则应有ac=bc故a＞b解：略

［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。方法2：特殊值法

例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（）A、

1a1b2222B、ab＜0C、

ab1D、

ab1

分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。

解：根据a＜b＜0的条件，可取a=2，b=l，代入检验，易知

－17－

ab1，所以选D

[规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案。方法3：类比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。（1）82（x＋2）＜4x2；（2）1x122x13

分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合并同类项，把系数化成1，需要注意的是，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。解：略

[规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识。方法4：数形结合法

2(x8)104(x3)例4、求不等式组：x16x7的非负整数解

132分析：要求一个不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集，再从解集中找出其中的非负整数解。解：略方法5：逆向思考法

例5、已知关于x的不等式(a2)x10a的解集是x＞3，求a的值。

分析：因为关于x的不等式的解集为x＞3，与原不等式的不等号同向，所以有a2>0，即原不等式的解集为x10aa2，

10aa23解此方程求出a的值。解：略

[规律总结]此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思考法来解。

代数部分

第六章：函数及其图像

知识点：

－18－

一、平面直角坐标系

1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了一对应的关系。2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P（x,y）在第一象限x＞0，y＞0；点P（x,y）在第二象限x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限x＞0，y＜0。（2）坐标轴上的点有如下特征：

点P（x,y）在x轴上y为0，x为任意实数。点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数。3．点P（x,y）坐标的几何意义：（1）点P（x,y）到x轴的距离是|y|；（2）点P（x,y）到y袖的距离是|x|；（3）点P（x,y）到原点的距离是

xy22

4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：（1）点P（a,b）关于x轴的对称点是P1(a,b)；（2）点P（a,b）关于x轴的对称点是P2(a,b)；（3）点P（a,b）关于原点的对称点是P3(a,b)；二、函数的概念

1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。

2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。（1）自变量取值范围的确是：

①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。

②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的

－19－

实数。

注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。

（2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。（3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法

（4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线三、几种特殊的函数1、一次函数

直线位置与k，b的关系：

（1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；（2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；

（3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；（4）b＝0直线过原点；

（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；2、二次函数

－20－

抛物线位置与a，b，c的关系：

a0开口向上（1）a决定抛物线的开口方向

a0开口向下

（2）c决定抛物线与y轴交点的位置：

c>0图像与y轴交点在x轴上方；c=0图像过原点；c

例题：

例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4），已知点P到x轴的距离是到

y轴的距离2倍.

⑴求点P的坐标.；

⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。

分析：由点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍可知：2|m|=4，易求出点P的坐标，再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。解：略

例2、已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x的一次函数.

分析：应写出y+b与x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.整理，得y=kx+(ka－b).①

因为k≠0且ka－b是常数，故y=kx+(ka－b)是x的一次函数式.

例3、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线经过第________象限.

分析：先把ax+by+c=0化为abxcb.因为a＜0，b＜0，所以aab0,b0，又bc＜0，

即c＜0，故－c＞0.相当于在一次函数y=kx+l中，k=－abbb＜0，l=－

cb＞0，此直线与y

轴的交点(0，－cb)在x轴上方.且此直线的向上方向与x轴正方向所成角是钝角，所以此直

线过第一、二、四象限.例4、把反比例函数y=

kx与二次函数y=kx2(k≠0)画在同一个坐标系里，正确的是().

－22－

答：选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同(图13－110).

例5、画出二次函数y=x－6x+7的图象，根据图象回答下列问题：（1）当x=－1，1，3时y的值是多少？（2）当y=2时，对应的x值是多少？

（3）当x＞3时，随x值的增大y的值怎样变化？（4）当x的值由3增加1时，对应的y值增加多少？

分析：要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把y=x－6x+7变形为y=（x－3）

222

－2，确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图．解：图象略．

例6、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升．（1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；（2）画出函数的图象．答：（1）Q=45－6t．

（2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t的取值范围0≤t≤7.5决定是一条线段，而不是直线．

代数部分第七章：统计初步

知识点：

一、总体和样本：

在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。二、反映数据集中趋势的特征数1、平均数

－23－

（1）x1,x2,x3,,xn的平均数，x1n(x1x2xn)

（2）加权平均数：如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，……，xk出现fk次（这里f1f2fkn），则x（3）平均数的简化计算：

当一组数据x1,x2,x3,,xn中各数据的数值较大，并且都与常数a接近时，设

x1a,x2a,x3a,,xna的平均数为x"则：xx"a。

1n(x1f1x2f2xkfk)

2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。

三、反映数据波动大小的特征数：1、方差：

（l）x1,x2,x3,,xn的方差，S2222(x1x)(x2x)(xnx)n22222

（2）简化计算公式：Sx1x2xnnx（x1,x2,x3,,xn为较小的整数

时用这个公式要比较方便）

2（3）记x1,x2,x3,,xn的方差为S，设a为常数，x1a,x2a,x3a,,xna的

方差为S`，则S=S`。

注：当x1,x2,x3,,xn各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便。2、标准差：方差（S）的算术平方根叫做标准差（S）。注：通常由方差求标准差。四、频率分布1、有关概念

（1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5－12组。

（2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据

－24－

2

2

总数n。

（3）频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l。

（4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。

（5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。每个小长方形的面积等于该组的频率。

所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。

样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。

2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是：

（1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列领率分布表；（5）绘频率分布直方图。例题：

例1、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳝鱼苗201*0尾，其成活率为70％，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）0．8、0．9、1．2、1．3、0．8、1．l、1．0、1．2、0．8、0．9

根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？

分析：先算出样本的平均数，以样本平均数乘以201*0，再乘以70%。解：略［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较大且都在某一数a上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。

例2、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下

－25－

已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个组成绩谁优谁次，并说明理由

解：（l）甲组成绩的众数90分，乙组成绩的众数为70分，从众数比较看，甲组成绩好些。（2）算得S甲=172，S乙256所以甲组成绩较乙组波动要小。

（3）甲、乙两组成绩的中位数都是80分，甲组成绩在中位数以上的有33人，乙组成绩在中位数以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体要好。

（4）从成绩统计表看，甲组成绩高于80分的人数为20人，乙组成绩高于80分的人数为24人，所以，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。

[规律总结］明确方差或标准差是衡量一组数据的波动的大小的，恰当选用方差的三个计算公式，应抓住三个公式的特征，根据题中数据的特点选用计算公式。

例3、到从某学校3600人中抽出50名男生，取得他们的身高（单位cm），数据如下：181181179177177177176175175175175174174174174173173173173172172172172172171171171170170169l69168167167167166l66l66166166165165165163163162161160158157

1、计算频率，并画出频率分布直方图

2、上指出身高在哪一组内的男学生人数所占的比最大

3．请估计这些初三男学生身高在166．5cm以下的约有多少人？

22－26－

解：1、各组频率依次是：0.08，0.22，0.22，0.36，0.12

2、从频率分布表（或图）中，可见身高在171.5176.5组内男学生人数所占的比最大。3、这个地方男学生身高166.5侧以下的约为3000(0.080.22)900（人）[规律总结］要掌握获得一组数据的频率分布的五大步骤，掌握整理数据的步骤和方法。会对数据进行合理的分组。

几何部分

第一章：线段、角、相交线、平行线

知识点：

一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是—直‖和—向两方无限延伸‖。

二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。三、射线：

－27－

1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。2．射线的特征：—向一方无限延伸，它有一个端点。‖四、线段：

1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。五、线段的中点：

1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。2、表示法：

∵AB＝BC

∴点B为AC的中点或∵AB＝

12MAC

∴点B为AC的中点，或∵AC＝2AB，∴点B为AC的中点反之也成立

∵点B为AC的中点，∴AB＝BC或∵点B为AC的中点，∴AB=

12AC

或∵点B为AC的中点，∴AC=2BC

六、角

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图12（1）∠AOC＝∠BOC

（2）∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB（3）∠AOC＝∠COB=

12∠AOB

－28－

七、角的度量：度量角的大小，可用—度‖作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。八、角的分类：

（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角

（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。

（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。

（6）周角、平角、直角的关系是：l周角=2平角=4直角=360°九、相关的角：

1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。

4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。十、角的性质1、对顶角相等。

2、同角或等角的余角相等。3、同角或等角的补角相等。十一、相交线

1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。

2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。4、垂线的性质

－29－

（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。十二、距离

1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。

2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。

3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。

说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。十三、平行线

1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。4、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。例题：

方法1：利用特殊—点‖和线段的长

例1、已知：如图1－3，C是线段AB的中点，D是线段CB

－30－

的中点，BD＝1.2cm。求：AD的长。

[思路分析]由D是CB中点，DB已知可求出CB，再由C点是AB中点可求出AB长，用AB减减去DB可求AD。解：略

[规律总结]利用线段的特殊点如—中点‖—比例点‖求线段的长的方法是较为简便的解法。方法2：如何辨别角的个数与线段条数。

例2、如图1－4在线段AE上共有5个点A、B、C、D、E怎样才数出所有线段，

[思路分析]本问题如不认真审题会误以为有4点恰有4

个空就是4条线段即AB、BC、CD、ED；而如果从一个端点出发、再找出另一个端点确定线段，就会发现有10条线段：

即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条。[规律总结]此类型题如果做到不重不漏，最好方法是先从一个端点出发，再找出另一个端点确定线段。

例3、如图1一5指出图形中直线AB上方角的个数（不含平角）

[思路分析]此题有些同学不认真分析误认为就4个角，其实共有9个角。即：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个角。

[规律总结]从一个顶点引出多条射线时．为了确定角的个数，一般按边顺序分类统计，避免既不重复又不遗漏。方法3：用代数法求角度

例4、已知一个锐角的余角，是这个锐角的补角的

16，求这个角。

[思路分析]本题涉及到的角是锐角同它的余角及补角。根据互为余角，互为补角的概念，考虑它们在数量上有什么关系？设锐角为x，则它的余角为90x。，它的补角为180x，这就可以列方程了。解：略

[规律总结］有关余角、补角的问题，一般都用代数方法先设未知数，再依题意列出方程，求出结果。

方法4：添加辅助线平移角例5、已知：如图l6，AB∥ED求证：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°

－31－

[思路分析]我们知道只有周角是等于360°，而图中又出现了与∠BCD相关的以C为顶点的周角，若能把∠B、∠D移到与∠BCD相邻且以C为顶点的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三个角组成一分周角，则可推出结论。证时：略

规律总结]此题虽是三种证法但思想是一样的，都是通过加辅助线，平移角达到目的，这种处理方法在几何中常常用到。

几何部分第二章：三角形

知识点：

一、关于三角形的一些概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）2、三角形的中线

三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）3．三角形的高

三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

如图2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内

而图2－3，说明高线不一定在△ABC内，

－32－

图2－3（1），中三条高线都在△ABC内，

图2－3－（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。三、三角形三条边的关系

图23（1）图23（2）图2－3一（3）

三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。

三角形接边相等关系来分类：

不等边三角形三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形等边三角形三角形

用集合表示，见图2－4

推论三角形两边的差小于第三边。

不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。

三、三角形的内角和

－33－

定理三角形三个内角的和等于180°

由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知△ABC的两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°90°40°＝50°由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。推论1：直角三角形的两个锐角互余。三角形按角分类：

直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形

用集合表示，见图

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例如图26中

∠1＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。四、全等三角形

能够完全重合的两个图形叫全等形。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。全等用符号—≌‖表示

△ABC≌△A`B`C`表示A和A`，B和B`，C和C`是对应点。全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

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边是A`B`、B`C`、C`A`。

∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。

如图27，△ABC≌△A`B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠B＝∠B`，∠C＝∠C`五、全等三角形的判定

1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成—边角边‖或—SAS‖）

注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。

2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成—角边角—或—ASA‖）

3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成—角角边’域—AAS‖）

4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成—边边边‖或—SSS‖）由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。

除了上面的判定定理外，—边边角‖或—角角角‖都不能保证两个三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成—斜边，直角边‖或—HL‖）六、角的平分线

定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那

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么另一个叫它的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。

例如：—两直线平行，同位角相等‖和—同位角相等，两直线平行‖是互逆定理。一个定理不一定有逆定理，例如定理：—对顶角相等‖就没逆定理，因为—相等的角是对顶角‖这是一个假命颗。

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线：线段的垂直平分线也叫中垂线。做法的实质仍是全等三角形（SSS）。也可以用这个方法作线段的中点。八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

1、已知两边一夹角，求作三角形2、已知底边上的高，求作等腰三角形九、等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成—等边对等角‖）推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

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十、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成—等角对等动‖）。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。十一、线段的垂直平分线

定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。十二、轴对称和轴对称图形

把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。

逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。十三、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：abc勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：abc那么这个三角形是直角三角形

22222－37－

例题：

例1、已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF

分析：要证CE=DF，可证△ACE≌△BDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出

△AOC≌△BOD，得出AC=BD，从而证出△ACE≌△BDF.

证明：略

例2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。求证：BF=DE分析：观察图形，BF和DE分别在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。这时可由已知条件先证明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，从而证出△CFB≌△AED。

证明：略

例3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角,∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC证明：略

例4、已知：如图3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用—等角的余角相等‖可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．证明：略

几何部分

第三章：四边形

知识点：

一、多边形

1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

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4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。9、n边形的对角线共有

12n(n3)条。

说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。

说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。二、平行四边形

1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。

4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是

－39－

证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。

（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。三、矩形

矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。

说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。

5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。说明：要判定四边形是矩形的方法是：

法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）

法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）四、菱形

菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。

1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。

3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。

5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。说明：要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）（五）正方形

正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内

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角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。

1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。注意：要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）

方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）六、梯形

1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。

研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。七、中位线

1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。

2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

－41－

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

八、多边形的面积

说明：多边形的面积常用的求法有：

（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3－l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。例题：

例1、如图41－2，求∠B+∠C+∠D的度数和。

－42－

例2、一个多边形的每一个外角都等于45°，那么这个多边形的内角和是多少度。分析：用多边形外角和公式就可以求解。

例3、已知：如图43－1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。求□ABCD内角的度数与边长。

例4、如图45－4，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，EF过O分别交BC、AD于点E、F，且AE⊥BC，求证：四边形AECF是矩形。

例5、如图48－3，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且

MN⊥AB。

求证：梯形ABCD是等腰梯形。

图48－3

例6、已知：如图49－2，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求证：AE=EB。

－43－

几何部分第四章：相似形

知识点：

一、比例线段

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或

abmn）

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如

ababcdcdabcd

4、比例外项：在比例5、比例内项：在比例

（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ab（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

cd6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

abba7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为把b叫做a和d的比例中项。

（或a:b=b:c时，我们

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d

10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。11、合比性质：如果

abcd，那么

abbcdd

－44－

12．等比性质：如果

abcdmn，（bdm0），那么

acmbdnab

说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的

512倍得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。

二、平行线分线段成比例

1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

格式：如果直线L1∥L2∥L3，AB＝BC，那么：A1B1＝B1C1，如图4－l

说明：由此定理可知推论1和推论2

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

格式，如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图432、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。

－45－

3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。

说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图44说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。

4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。

7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。

三、相似三角形

1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

－46－

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。4、三角形相似的判定定理：

（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。5、相似三角形的性质：

（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。

说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。

－47－

6、介绍有特点的两个三角形

（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。

（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6

（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图47若△ACD∽△ABC，则AC2＝ADAB例题：

例1、已知：

a2bbcab的值.,.求:354bc分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1)设比值为k;(2)比例的基本性质；

(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.解：由

a2b3及b5c4，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k,则

(a+b):(b－c)=25:3.

例2已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)求证AF∥MC.

1AD1BC2EF;(3)若MN为梯形中位线，

－48－

分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法.①若

adcdbac"",a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)；,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)；

②若

ada③若,ac,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.

"ddd"d(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.(3)证明

ca1ADcb1BC2EF时，可将其转化为—

1a1b1c‖类型后：

①化为

1直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.

(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长BA，CD交于S，AF∥MC

∴AF∥MC成立.

(5)用运动的观点将问题进行推广.

若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F

与O2F是否相等?为什么?

(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等

－49－

例3已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE.分析：

(1)分解基本图形探求解题思路.

(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到

ADBCDFCEADDCDECF

结合中点定义得到得到AF⊥BE.

,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.进一步可

(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面积关系.

例4已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.

求证：(1)CD3=AAEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

掌握基本图形—RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D‖中的常用结论.①勾股定理：AC2+BC2=AB2.②面积公式：ACBC=ABCD.

③三个比例中项：AC2=ADAB,BC2=BDBA,CD2=DADB.

22⑤ACBCAD

BD证明：第(1)题：∵CD2=ADBD,

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