高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5第一章解三角形复习
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
asinAbsinBcsinC2R(R为三角形外接圆的半径).
2.正弦定理的一些变式：
iabcsinAsinBsinC；iisinAa2R,sinBb2R,sinCc2R；2R
iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；（4）
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
abcsinAsinBsinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）4.在ABC中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】
a2b2c22bccosA2221．余弦定理：bac2accosB
222cba2bacosC222bcacosA2bc222acb.cosB2ac222baccosC2ab2.推论：
设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
12222222
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.S1aha1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）
2222.设p12(abc),Sp(pa)(pb)(pc)(海伦公式)
【三角形中的常见结论】
（1）ABC(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,
AB2C2AB2C2sincos,cossin;sin2A2sinAcosA,
（3）若ABCabcsinAsinBsinC若sinAsinBsinCabcABC（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60
(6)锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是B60.
(8)ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
abcA是直角ABC是直角三角形222（2）在ABC中，由余弦定理可知:abcA是钝角ABC是钝角三角形
222abcA是锐角ABC是锐角三角形222（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）
(3)若sin2Asin2B，则A=B或AB2.
例1.在ABC中，c2bcosA，且(abc)(abc)3ab，试判断ABC形状.
题型2【解三角形及求面积】
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例2.在ABC中，a1，b
例3.在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c2，C3，A300，求的值
3．
（Ⅰ）若ABC的面积等于3，求a,b；
（Ⅱ）若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积．
题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.
例4.已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：abcosCccosB.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角俯角方向角方位角视角
例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习
高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习
一、知识点总结
abc2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC.1．正弦定理:
sinAsinBsinC推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜，则α≤βsinsin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：sinA＞sinBA＞Ba＞bcosAcosBAB（ycosx在(0,)上单调递减）
b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA
2a2c2b2222．余弦定理：bac2accosB或cosB.
2acc2b2a22bacosC
b2a2c2
cosC
2ab
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,sin已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCcos,cossin,tancot222222一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。定理应用正弦定理两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解时只有一解。
解三角形[基础训练A组]
一、选择题
1．在△ABC中，若C900,a6,B300，则cb等于（）A．1B．1C．23D．23
2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．tanAD．
1tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（）A．2B．
03C．3D．2325．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）
A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90B．120C．135D．150
000000000000二、填空题
01．在Rt△ABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_______________。
2．在△ABC中，若abbcc,则A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________。
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。5．在△ABC中，AB0022262,C300，则ACBC的最大值是________。
三、解答题
1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？
abcosBcosAc()baba3．在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。
2．在△ABC中，求证：
4．在△ABC中，设ac2b,AC3,求sinB的值。
解三角形[综合训练B组]一、选择题
1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1
2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值（）A大于零B小于零C等于零D不能确定3．在△ABC中，若A2B，则a等于（）A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形
5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A()A．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,cosC0000131111，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．1457．在△ABC中，若tanABa2bab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空题
1．若在△ABC中，A600,b1,SABC3,则
abcsinAsinBsinC=_______。
2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或ab等于（）cABABABABA．2cosB．2cosC．2sinD．2sin
22222．在△ABC中，若C900,则三边的比
3．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（）A．12B．
21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，则下列各式中正确的是（）
00A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB
5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（）A．90B．60C．120D．150
0000tanAa22，则△ABC的形状是（）6．在△ABC中，若
tanBbA．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC中，若sinAsinB,则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,则△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,则x,y,z的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，则cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________。6．在△ABC中，若bac，则cos(AC)cosBcos2B的值是_________。
2三、解答题
1．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，请判断三角形的形状。
2．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,
求△ABC的面积的最大值。
22223．已知△ABC的三边abc且ac2b,AC
2，求a:b:c
4．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB边上的高为43，求角A,B,C的
大小与边a,b,c的长
[基础训练A组]
一、选择题
b001.Ctan30,batan3023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出图形
5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是锐角，则
2AB,AB2,C2
1,A300或150025282721,600,18006001200为所求6.B设中间角为，则cos2582二、填空题
1111.sinAsinBsinAcosAsin2A222b2c2a21AA,10202.120cos2bc203.62A15,0abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB404.120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，
a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2ACBCABACBCAB,,ACBCsinBsinAsinCsinBsinAsinCABAB2(62)(sinAsinB)4(62)sincos
22AB4cos4,(ACBC)max4
2三、解答题
5.4
1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC
sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0，得A所以△ABC是直角三角形。
2或B2
a2c2b2b2c2a22.证明：将cosB，cosA代入右边
2ac2bc
a2c2b2b2c2a22a22b2)得右边c(
2abc2abc2aba2b2ab左边，
abba∴
abcosBcosAc()baba3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即
2A2B0
B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA
2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC
ACACBBcos4sincos，4.解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sin2222∴sinBB1AC3B13，而0,∴cos，cos22222424∴sinB2sinBB31339cos222448[综合训练B组]
一、选择题
1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132::1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是锐角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinC
cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形
5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,
22b2c2a21sA,bca3bc,coA2bc22220606.Ccab2abcosC9,c3，B为最大角，cosB22217ABABsinABabsinAsinB22，7.Dtan2absinAsinB2sinABcosAB222cos
ABAB2,tanAB0，或tanAB1tanAB222tan2所以AB或AB
2tan二、填空题
1.113239SABCbcsinAc22233c,a42,a13,13
abca13239sinAsinBsinCsinA332sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)
222cos(B)2cosB11,tanAtanB1，tanAsinBtanBtanBsinBsiCnBtaCn3.2tan
cosBcoCssinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.锐角三角形C为最大角，cosC0,C为锐角
8433bca311045.60cosA2bc6222(31)22222222a2b2c6．(5,13)a2c2bc2b2a13c2222,4c9,5c13,5c1322c942三、解答题
1.解：SABC21bcsinA3,bc4,22abc2bcosA,b所以b1,c4
2c，而5cb
2.证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴sinAsin(
2,即
2A2B0
2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA
∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1
3.证明：∵sinAsinBsinC2sin
sinAsinBsinC1
cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos
2222ABABAB2sin(coscos)
222CAB2cos2coscos
222ABC4coscoscos
222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos
222aba2acb2bc1，只要证1，4．证明：要证2bcacabbcacc即abcab
而∵AB120,∴C60
00222a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab
2ab∴原式成立。
CA3bccos22221cosC1cosA3sinBsinC∴sinA222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB
5．证明：∵acos2∴sinAsinCsin(AC)3sinB
即sinAsinC2sinB，∴ac2b
[提高训练C组]
一、选择题
1.CsinAcosA2sin(A),
4而0A,2.B
4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABABcos2cos2sin2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA6322
4.DAB90则sinAcosB,sinBcosA，00A450,sinAcosA，450B900,sinBcosB5.Cacbbc,bcabc,cosA22222201,A1201*sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB6.B
cosAsinBsin2BcosAsinBsinA2sinB2A,2或B2A2B2
二、填空题
1.对sinAsinB,则2.直角三角形
ababAB2R2R)1,1(1cosA21coBs2)2cAosB(21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0
cosAcosBcosC0
3.xyzAB2,A2B,siAncBosB,sinAycosz,cab,sinCsinAsinB,xy,xyz
ACACACAC,2sincos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin
2222221C2Asin2则sinAsinC4sin3221cosAcosCcosAcosCsinAsinC
3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2
22ACAC2sin22sin24sin2sin211
2222tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)
32tanAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)2tanB1AsiCn4．1sin2sBintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB
tan3B3tanB,tanB0tanB3B3
22(C)cosBco2sB6．1bac,sinBsinAsinC,cosAcosAcosCsinAsinCcosB12sin2B
cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1
cos(AC)cosB11
三、解答题
a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A1.解：2,222absin(AB)bcosAsinBsinB
cosBsiAn,sinA2cosAsiBn∴等腰或直角三角形
siBn2A,2B或22AB2
2.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,
asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,
a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222
c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2[cos(AB)cos(AB)]
2122R2[cos(AB)]222R22(1)22Smax212R此时AB取得等号2ACACACACcos4sincos22223.解：sinAsinC2sinB,2sinsinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)
4.解：(abc)(abc)3ac,acbac,cosB2221,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,
1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，联合tanAtanC33
00tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1C45C75tanC23当A750,C450时，b434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA当A450,C750时，b000∴当A75,B60,C45时，a8,b4(326),c8(31),当A45,B60,C75时，a8,b46,c4(31)。
000
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