高一数学必修四第二章 平面向量章末总结

高一数学必修四第二章 平面向量章末总结

高一数学章末总结【人教版】

必修四平面向量

班级：高一（13）班姓名：刘碧林

注：此总结所有内容均为我个人所编，没有任何抄袭现象，如与百度文库中文件有丝毫雷同，纯属意外。

2.1平面向量的实际背景及基本概念

考点1向量的相关概念

※方法：明确向量及其相关概念的联系和区别。①区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关。②明确向量与有向线段的区别：有向线段有三要素：起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个：大小与方向，与表示向量的有向线段的起点无关。③零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的。零向量的方向是任意的。④平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量。

考点2向量的模

※方法：向量的模实质是表示它的有向线段的长度，因此求向量的模时，首先要找到其对应的有向线段的起点与终点，再利用直角坐标系中两点之间的距离，求的有向线段的长。

考点3共线向量与相等向量

※方法：此问题即为向量的计数问题，将向量与几何图像相结合，把满足题意的情形按照统一的标准分类，做到不重复不遗漏。

考点4向量的实际应用

①寻找共线向量与相等向量

※方法：将生活中的实际问题转化为求向量的模的问题，再通过求模的方法进行求解。②证明向量相等

※方法：证明两个非零向量相等，首先证明它们是共线向量，再证明它们的方向相同，且模相等。例题例1：下列四个命题：①若|a|=0，则a为零向量；②若|a|=|b|，则a=b或a=-b；③若a//b，则|a|=|b|；④若a=0，则-a=0.其中正确的有（B）。A、1个B、2个C、3个D、4个

【解析】②中两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；③中两个向量平行，只能说明这两个向量的方向相同或相反，对向量的模没有要求，故只有①④正确。

例2：求证：以A（-4，-1，-9），B（-10，1，-6），C（-2，-4，-3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．

【解析】先利用空间两点的距离公式分别求出AB，AC，BC的长，然后利用勾股定理进行判定是否为直角三角形，以及长度是否有相等，从而判定是否是等腰直角三角形．

例3：【解析】 2.2平面向量的线性运算

考点1向量的线性运算

①向量的加法、减法运算

※方法：向量的基本运算要抓住两条主线，一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和（或差）；二是基于“数”，它是对上述操作的概括（或说“形式化”），要熟练掌握AB+BC+CD=AD.（字母为黑体均表示向量）②向量的数乘运算

※方法：关于实数与向量的积的有关运算，可按照实数积的运算方法进行，不过是将向量符号a，b，c等看作一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量。③利用向量的线性运算将向量线性表示

※方法：（1）充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题。（2）注意几何条件的应用：如△ABC中，DE//BC→△ADE∽△ABC等。（3）此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程求解。

④利用向量的线性运算求参数

※方法：含有参数的向量线性运算问题，只需要把参数当做已知条件，列出向量方程，根据向量的加法、减法及数乘运算化简方程为已知形式，对比系统就可求出参数的值。

考点2共线问题

①证明两向量共线或三点共线

※方法：（1）证明两向量a，b共线可直接利用向量共线的条件，判断是否存在实数λ，使得b=λa（a≠0）。（2）证明三点共线时可分两步，第一步证明两个向量共线，第二步证明两个向量都经过同一点。②利用向量共线求各参数的取值

※方法：根据向量共线及题目中所给条件列出关于参数的方程，再解方程求出参数。

考点3向量的模的问题

①利用加减运算求向量的模

※方法：（1）理解向量的几何意义，能准确运用向量的线性运算。（2）恰当构造相关图形，灵活运用几何性质求解未知量。②求向量的模的取值范围

※方法：灵活运用公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

（1）在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，当a与b的方向相反且|b|≤|a|时，|a|-|b|=|a+b|；当a与b的方向相同时，|a+b|=|a|+|b|.（2）在公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中，当a与b的方向相同且|b|≤|a|时，|a|-|b|=|a-b|；当a与b的方向相反时，|a-b|=|a|+|b|.例题例1：【解析】例2：【解析】

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

考点1平面向量基本定理的概念问题

※方法：解关于平面向量基本定理的概念问题时，关键是深刻理解平面向量基本定理，并注意定理中的一组基底是由两个不共线的向量构成。

考点2用基底表示向量

※方法：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：第一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；第二种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。

考点3向量的夹角问题

※方法：求向量的夹角时，首先做出图形，找到所要求的角，再结合图形的特征以及几何知识求出角度。

考点4求向量的坐标

※方法：求向量的坐标有两种方法：其一是平移法，把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标；其二是用表示向量的有向线段的终点的相应坐标减去起点的相应坐标。例题例1：【解析】例2：【解析】

2.4平面向量的数乘积 2.5平面向量应用举例

考点1向量数量积得计算问题

①利用向量数量积得定义解题

※方法：解此类题应严格按照向量数量积的定义ab=|a||b|cosα，注意家教的范围为α∈[0°，180°]。a与b共线时有α=0°和α=180°两种情况。主要应用化归的思想。②利用向量数量积的坐标运算解题

※方法：若题目中直接给出向量的坐标，则可直接利用公式ab=x1x2+y1y2进行求解；若题目中涉及图形的数量积的运算，要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差表示出向量坐标，再由向量坐标运算求解数量积。

考点2向量夹角计算问题

※方法：先表示出两向量的数量积及其模，再利用数量积的夹角公式计算即可。

考点3结论a⊥b→ab=0的应用

※方法：对于非零向量a，b，a⊥b→ab=0，可用来证明两向量垂直，或由两向量垂直列方程求解向量，以及解决平面几何图形中有关垂直的问题。

考点4利用向量的数量积判断几何图形的形状

※方法：判断三角形或四边形形状时，一般是由边长和角的关系来进行判断，充分利用向量的数量积公式求图形的边长、角度，再根据几何图形的特征判断图形形状。

考点5利用向量解决几何中的垂直问题

※方法：垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为0，而在此过程中，需运用向量的线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算使问题获解。当然基底的选取应以能够方便运算为准，及它们的夹角是明确的，且长度易知。

考点6利用向量解决几何中的长度与角度问题

※方法：根据图形已知向量表示出目标向量，再求出目标向量的模即为长度，再根据公式可求出向量的夹角。例题例1：【解析】

例2：

【解析】

例3：【解析】

例4：

【解析】

扩展阅读：高一数学必修4第2章平面向量章末测试

高一数学必修4第2章平面向量章末测试

一、选择题

1．下列命题中，真命题的个数为(其中a≠0，b≠0)()①|a|＋|b|＝|a＋b|a与b方向相同②|a|＋|b|＝|a－b|a与b方向相反③|a＋b|＝|a－b|a与b有相等的模④|a|－|b|＝|a－b|a与b方向相同

A．0B．1C．2D．3

2．(201*广东文，5)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3

3．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为()A．53NB．5NC．10ND．52N

4．直角坐标系xOy中，i、j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，则k的可能值个数是()

A．1B．2C．3D．4

5．已知|a|＝3|b|≠0，且关于x的方程2x2＋2|a|x＋3ab＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是()πππ2ππ

0，B.，πC.，D.，πA.63336

6．(201*胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直，则λ等于()A．－1B．1C．－2D．2

7．(201*新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()

A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形

8．已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则的最大值为()

A．aB．2aC．3aD．a29．给出下列等式：

bab00②0a0③0ABBA④a①a⑤若a0,b0,则ab0,则a与b中至少有一个为0b0⑥a22⑦a与b是两个单位向量，则ab

以上各式成立的是

A．①②③⑥⑦B．③④⑦C．②③④⑤D．③⑦

10已知a(5,2),b(4,3)c(x,y),若a2b3c0,则c的坐标为8138C.(13,4)134A.(1,)B.(,)D.(,)

333833311.设i,j是平面直角坐标系内分别于x轴，y轴方向相同的两个单位向量，

O为坐标原点，若OA4i3j,OB3i4j，2OAOB的坐标是

A.(1,2)B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)

bc(ab)//c,(bc)//a，则下列结论中12已知.a、、是两两不共线的非零向量，且不正确的是

A．ac与b共线B．abc=0

C．ac与2b共线D．a2bc=0

二、填空题

13．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．

14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a与b的夹角θ＝________.15．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则b在a方向上的投影为________．

16.已知点M是ABC的重心，AB=e1,ACe2用e1,e2表示MC_____

三、解答题

17．如右图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C在AB上，且平分∠BOA，求点C的坐标．

18．在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，求证：AF⊥DE.

19．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ.

20．（10分）已知矩形ABCD，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，

EA=e1,EF=e2,以1,

ee2为基底，

试表示向量AF，AB，AD及BD.

c421.（10分）已知cmanb(23,2)，a与c垂直,b与c的夹角120，且b求实数m，n的值及a与b的夹角

22.（12分）已知：

,a22，

a、b、c是同一平面内的三个向量，其中

a=（1，2）

（Ⅰ）若|

c|25，且c//a，求

c的坐标；

垂直，求

（Ⅱ）若|b|=

5,且2a2b与aba与b的夹角θ.

答案

[解析]对于③当a与b互相垂直时，构成矩形时才有|a＋b|＝|a－b|因此③错，对于④当a与b方向相同且|b|≤|a|时才有|a|－|b|＝|a－b|因此④错，①②正确，故选C.

2[答案]C

[解析](8a－b)c＝(6,3)(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.故选C.3[答案]B

[解析]|F1|＝|F|cos60°＝5.4[答案]B

[解析]不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)，＝(1，k－1)．当AB⊥BC时，＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.当AB⊥AC时，＝6＋k＝0，∴k＝－6.当AC⊥BC时，＝3＋k2－k＝0，无解．所以满足要求的k的可能值有2个．5[答案]B

[解析]∵关于x的方程2x2＋2|a|x＋3ab＝0有实根，∴Δ＝4|a|2－24ab≥0，即|a|2≥6ab.

∴|a|2≥6|a||b|cos〈a，b〉，又∵|a|＝3|b|≠0.1∴cos〈a，b〉≤，

2π

∵0≤〈a，b〉≤π，∴≤〈a，b〉≤π.

36[答案]C

[解析]λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)(4，－2)＝4(λ

＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.

7[答案]D

[解析]解法一：设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．

解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形．8[答案]D[解析]∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)＝(1－t)＋t＝(a－at，at)∴＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴≤a2.9D10D11D12D1

13[答案]m∈R且m≠

2

[解析]若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，1

∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.21

即实数m≠，满足条件．

214[答案]120°

[解析]ab＝(2e1＋e2)(－3e1＋2e2)7＝－6|e1|2＋e1e2＋2|e2|2＝－，

2|a|＝(2e1＋e2)2＝7，|b|＝(－3e1＋2e2)2＝7，ab1

cosθ＝＝－，∴θ＝120°.

|a||b|215[答案]

13ab13[解析]b在a方向上的投影为＝＝13.

|a|13

1216.e1e2

33

17[解析]设点C坐标为(x，y)，由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且cos∠AOC＝，cos∠BOC＝，∴＝，

(2，0)(x，y)(－3，4)(x，y)∴＝，

25∴y＝2x.①

又∵与共线，＝(x＋3，y－4)，＝(x－2，y)，∴(x＋3)y－(x－2)(y－4)＝0，∴4x＋5y－8＝0.②

由①，②联立解之得8

y＝7.

48∴C点的坐标为7，7.

4

x＝，7

18[证明]设＝a，＝b，则|a|＝|b|，ab＝0，

11

由条件知，＝a，＝b，

221

∴＝－＝a－b，

211

＝＋＝＋＝a＋b，

221a＋1ba－b∴＝22111

＝a2＋ab－ba－b2＝0.242即，∴DE⊥AF.

19[解析]∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4a2－4ab－3b2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴ab＝－6.

ab1∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.

|a||b|2

20.解答AF=e2-e1,AB=e2,AD=2e2-e1,BD=e2-e1

221.解答∵ac∴ac0又∵cmacnbc

cbccos120∴4n124∴n4且b1∴4b4()∴b2

222从而acma4bc∴ab2m又∵bcm(ab)4b

∴42m216∴m26∴m6

ab263当m6时，ab26∴cos∴

6ab222235当m6时，ab26∴cos∴

62因此m

22.解：（Ⅰ）设c(x,y),|c|25,x2y225,x2y220c//a,a(1,2),2xy0,y2x

x2x2y2x由2∴或∴c(2,4),或c(2,4)2y4y4xy206,n4,6；m6,n4,56（Ⅱ）(a2b)(2ab),(a2b)(2ab)2a3ab2b0,2|a|23ab2|b|20……（※）|a|25,|b|2(2255525),代入（※）中,253ab20ab

42245ab,cos2|a||b|552521

|a|5,|b|

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