高二数学必修5 第二章 数列知识点归纳及测试201*.10.09

高二数学必修5 第二章 数列知识点归纳及测试201*.10.09

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高二数学必修5第二章数列知识点归纳及测试

基础知识点归纳

1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an1and(常数),则{an}称等差数列；

2°.通项公式：ana1(n1)dak(nk)d;3°.前n项和公式：公式：Sn②等比数列：1°.定义若数列{an}满足n(a1an)n(n1)na1d.22an1q（常数），则{an}称等比数列；an2°.通项公式：ana1qn1akqnk;3°.前n项和公式：

a1anqa1(1qn)Sn(q1),当q=1时Snna1.

1q1q2．简单性质：①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,,an,1°.若{an}是等差数列，则a1ana2an1a3an2;2°.若{an}是等比数列，则a1ana2an1a3an2.②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且Aab;22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且Gab.③设p、q、r、s为正整数，且pqrs,1°.若{an}是等差数列，则apaqaras;

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没有人能让我输，除非我不想赢名成教育辅导中心TEL:15859099020(张老师)QQ:9054912242°.若{an}是等比数列，则apaqaras;④顺次n项和性质：

n

2n3n1°.若{an}是公差为d的等差数列，则ak,k1nkn1a,akk2n12n3nkk组成公差为n2d的等差数列；

2°.若{an}是公差为q的等比数列，则ak,k1kn1a,ak2n1k组成公差为qn的等比数列.

（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）⑤若{an}是等比数列，则顺次n项的乘积：a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n组成公比这qn的等比数列.⑥若{an}是公差为d的等差数列,1°.若n为奇数，则Snna中且S奇S偶a中(注:a中指中项,即a中an1,而S奇、S

2偶

2指所有奇数项、所有偶数项的和）；nd.2°.若n为偶数，则S偶S奇2

提高练习一、选择题1、设{an}是等差数列，若a23,a713,则数列{an}前8项的和为()A.128B.80C.64D.562、记等差数列的前n项和为Sn，若S24,S420，则该数列的公差d（）A、2B、3C、6D、7

S4{a}Saq23、设等比数列n的公比，前n项和为n，则2（）

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A．2B．4

15C．217D．2

4、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）A．63B．45C．36D．271an1anln(1)n，则an（）5、在数列{an}中，a12，A．2lnnB．2(n1)lnnC．2nlnnD．1nlnn二、填空题6．已知an为等差数列，a3a822，a67，则a5____________7．设数列an中，a12,an1ann1，则通项an___________。8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a128,S99,则S16。

xf(x)29．已知函数,等差数列{ax}的公差为2.若f(a2a4a6a8a10)4,则log2[f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)].10、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为三、解答题2a2ana1n1{a}an1，n1,2,3,…．3，11．已知数列n的首项（Ⅰ）1n1}{}证明：数列an是等比数列；（Ⅱ）数列an的前n项和

{Sn．

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12．数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.

（1）求数列的公差；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn＞0时，求n的最大值．

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扩展阅读：高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳及单元检测题

第三章数列单元检测

一、选择题

1.已知等差数列的前n项和为Sn，若A．18B．36C．54D．722.已知

为等差数列，

为等比数列，其公比

B．

等于（），且C．

D．

，若

或，

，则（）A．

3.在等差数列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，则此数列的前13项之和为()A．156B．13C．12D．26

4.已知正项等比数列数列{an}，bn=logaan,则数列{bn}是（）

A、等比数列B、等差数列C、既是等差数列又是等比数列D、以上都不对5.数列是公差不为零的等差数列，并且等于（）

是等比数列

的相邻三项，若

，则

A.B.C.D.

6.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项的值是（）A.42B.45C.48D.51

7.一懂n层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k应取（）Ａ．Ｄ．ｎ为奇数时，ｋ＝

（ｎ１）或ｋ＝

ｎＢ．（ｎ１）Ｃ．（ｎ＋１）

ｎ

（ｎ＋１），ｎ为偶数时ｋ＝

8.设数列是等差数列，，Sn是数列的前n项和，则（）

A.S4＜S5B.S4＝S5C.S6＜S5D.S6＝S59.等比数列

的首项

,前项和为

若

，则公比等于()

C.2D.－2

10.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S6=36，Sn=324，Sn－6=144（n＞6），则n等于（）A．15B．16C．17D．18

11.已知A.

B.

，（），则在数列｛

C.

｝的前50项中最小项和最大项分别是（）

为整数的数n为劣数，则在

D.

12.已知：，若称使乘积

区间（1，201*）内所有的劣数的和为（）A．2026B．2046C．1024D．1022二、填空题13.在等差数列

中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an=108，Sn=420，则n=___________.

，则

（k∈N+，

14.在等差数列中，公差，且k≤60）的值为________________.15.已知16.已知三、解答题

，则

则通项公式=_____________.

=____________．

=_____________;

17.若数列前n项和可表示为，则是否可能成为等比数列？若可能，求出a值；若不可能，说明理由．

18.设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前n项和S10及T10.

19.已知数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列（1）求证：a2,a8,a5也成等差数列

（2）判断以a2,a8,a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{an}中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由.20.等比数列的首项为

项的和.

，公比为

，用

表示这个数列的第n项到第m项共

（Ⅰ）计算，，，并证明它们仍成等比数列；

（Ⅱ）受上面（Ⅰ）的启发，你能发现更一般的规律吗？写出你发现的一般规律，并证明.21.某城市201*年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

第三章数列单元检测参考答案

1.D;2.B;3.D;4.A;5.B;6.B;7.D;8.B;9.B;10.D;11.C;12.A;13.20;14.7;15.16.

17.【解】因

的前n项和

)．要使

.，故适合

=,

时通项公式，则必有

，，;

an=2n+a－2n－1－a=2n－1(

此时，，

故当a=－1时，数列成等比数列，首项为1，公比为2，时，不是等比数列．18.【解】∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2b4=b32,已知a2+a4=b3,b2b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=由a1=1,a3=由b1=1,b3=

，知{an}的公差d=－,知{bn}的公比q=

,∴S10=10a1+或q=－

,

d=－

.

,a3=

.

19.【解】（1）S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,而a1≠0，所以S3，S9，S6不可能成等差数列……2分所以q≠1，则由公式

即2q6=1+q3∴2q6a1q=a1q+q3a1q,∴2a8=a2+a5所以a2,a8,a5成等差数列（2）由2q6=1+q3=－

要以a2,a8,a5为前三项的等差数列的第四项是数列{an}中的第k项，必有ak－a5=a8－a2,所以由k是整数，所以数列{an}中的一项.20.【解】（Ⅰ）因为（Ⅱ）一般地

，，

所以

成等比数列.

万辆，以后各年末汽车保有量依次为

，两式相减得：，则

（2）若

项，以（i）若（ii）当由

为公比的等比数列，所以，

，则对于任意正整数

时，

，得

，

，均有，则数列

为以.，所以，

，所以，

，此时，

，

，即

，此时

为首

万辆，万辆，……，

,所以

、所以

不可能成立，所以a2,a8,a5为前三项的等差数列的第四项不可能也是

,

,成等比数列.

且m、n、p、r均为正整数）也成等比数列，

，

21.【解】设201*年末汽车保有量为每年新增汽车万辆，则所以，当

时，

，

（1）显然，若

，则对于任意正整数，均有

要使对于任意正整数

即

，均有恒成立，

对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式,得上式恒成立的条件为：

所以，.

，由于关于的函数

,

单调递减，数列知识点总结

一、数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数

(2)数列可以看作是项数n的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。

二、数列的分类：

1、按项数分类：有穷数列

无穷数列

+

2、按增减性分类：递增数列对于任何nN，具有an1>an递减数列对于任何nN，具有an1k>0）nSn=（a1+an）

2n(n1)dSn=na1+

2an=a1qn1(q0)an=an1qan=amqnm

G2ab。推广：G=ankank（n,k

。任意两数a、c不一定N+;n>k>0）

有等比中项，除非有ac＞0，则等比中

项一定有两个

前n项和

性质

a1(1qn)Sn=

1qaanqSn=11q（1）若mnpq，则amanapaq；（1）若mnpq，则

anapaq（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数am列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍

n2为等比数列,公比为q列，公差为nd；

（3）若三个成等差数列，可设为

ad，a，ad

（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m1bmT2m（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）（6）d=

aman(mn)

mn(7)d>0递增数列d例6、在数列{an}中，a1=3,an+1=an2,求通项an.（4）倒数法。

若题目特征符合递推关系式a1=A,Ban+Can+1+Danan+1=0(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。例7、在数列{an}中，已知a1=1,an+1=

,求数列的通项an.

n

（5）归纳法。

这是一种通过计算、观察、归纳规律，进而猜想、验证（证明）的思维方法，是一种普遍适用的方法。在前面所有的问题中，只要转化为递推公式，就可以由初始条件逐次代入递推关系，观察计算结果，直到看出规律为止。

2

例9、在数列{an}中，a1=3,an+1=an,求数列的通项公式an.

十、求数列的前n项和的方法1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d22(q1)na1n等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq

(q1)1q1q[例1]已知log3x123n，求xxxx的前n项和.log23Sn的最大值.

(n32)Sn1[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①[例4]求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和.22223、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).[例5]求sin1sin2sin3sin88sin89的值

4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n项和：11,222221114,27,,n13n2，…aaa[例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

sin1（1）anf(n1)f(n)（2）tan(n1)tanncosncos(n1)111(2n)2111（3）an（4）an1()

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(6)ann212(n1)n1111nn,则S1nn1nnn(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)2112,123,,1nn1,的前n项和.

[例9]求数列

[例10]在数列{an}中，an12n2，又bn，求数列{bn}的前n项的和.n1n1n1anan1111cos1[例11]求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin216、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12]求cos1°+cos2°+cos3°++cos178°+cos179°的值.[例13]数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S201*.

[例14]在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.7、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求1111111111之和.n个18[例16]已知数列{an}：an,求(n1)(anan1)的值.

(n1)(n3)n1十一、在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d

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