七八年级数学教学总结
七八年级数学教学总结本学期我都担任七年级两个班和八年级一个班的数学教学，我深感肩上的压力之大，责任之重。在这一学期的实际教学中，我按照新课程的标准要求，结合学生的实际情况，全面实施素质教育，努力提高自身的业务水平和教学能力。为了克服不足，总结经验，使今后的工作更上一层楼，现对本学期教学工作作出如下总结：一做好课前备课，提高课堂效率课前做好认真备课，对学生可能出现的疑难。困惑进行分析强调。预测在预习时哪些地方会遇到困难，适时适地的进行分析和提示，让学生沿着我们设置的“路标”正确的前进。课堂上对学案的使用。在课堂上我们的重点除了讲授知识还要运用大量的时间注重检查和落实反馈。学生在预习时我强调要把重点的概念和性质法则勾画出来引起注意，做好巩固练习及时反馈，课堂上对学生的检查和督促必须不能放松。二、增强上课技能，充分体现学生的主体性充分进行教学的理论的学习和实践的探究，力求讲解清晰化、条理化、准确化、情感化、生动化，做到线索清晰，层次分明，言简意赅，深入浅出。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生的主体作用，让学生学得容易，学得轻松，学得愉快；注意精讲精练，在课堂上老师讲得尽量少，学生动口动手动脑尽量多；同时在每一堂课上都充分考虑每一个层次的学生学习需求和学习能力，让各个层次的学生都得到提高。三注意分层教学，培养学生的综合能力做到培优辅差，让不同层次的学生尽量都学到一些知识。针对以上这些情况，下阶段准备采取的措施：1、对过多的题，进行适当的筛选。2、还给学生一片思维空间，让学生受到适当的"挫折"教育，以加深对问题的认识。3、学生有不同想法单独与教师交谈，好的想法给予鼓励并加以推广；不对的想法，给予单独的指正。这样，学生既可以大胆放心的说出自己的想法，又可以把一些教学中的漏洞补上。4、精心设置问题的坡度，使学生步步深入，并探究出规律。课堂上注意课堂节奏，尽量让中下游的学生跟上老师的步伐，多给学生自己练习的时间，让学生真正成为学习的主体，做到不仅是老师完成任务，还要学生完成任务。5、弄清例题的指导思想、命题的基本原则、试卷的结构等，以便在以后的教学中有的放矢。6、数学中的折叠、旋转、动态图形问题是近年来的中考热点问题，学生有些陌生感、畏惧感，尤其是折叠问题，应引导学生注意折叠前后的线段、角的相等关系。作为发散学生思维的一个重要手段，应该注重多种方法的运用，培养学生的解题能力；平时训练题目时难易结合，现在出试卷变化莫测，有时很难有时很简单，关键还是要重基础，基础题的分数占得比例比较高。
总之，一学期的教学工作，既有成功的喜悦，也有失败的困惑，如对新课改理念的学习和探讨上、信息基础教育上、自己的教学经验及方法上等方面。本人今后将在教学工作中，汲取别人的长处，弥补自己的不足，力争取得更好的成绩。
扩展阅读：辅导-七八年级数学教案
编写说明
在辅导外孙学习过程中，本人编写了一套初中数学家庭辅导资料。编后觉得这套资料即可作为家长们辅导孩子学习时使用，也可作为孩子或成人自学时使用，因此产生了上传的念头。
本人不是教师，虽然也在中专、职工大学带过课，但毕竟不是专职教师，所以有几点需要说明：
1.资料来源：从三种渠道，其一，201*年华东师大版教材；其二，网络资料；其三，本人知识与经验。由于原来只为自用，所以引用资料都未注明出处，特向原作者和有关网络表示歉意。由于本人没有牟利目的，所以今后新编资料仍取此种模式，望见谅。
2.所有引用的网络资料都经过本人分析研究，对其中的错误(不一定是原作者错误)进行了更正，有些插图和图表进行了重新绘制。
3.本人水平有限，所编资料难免有错误或不当之处，愿接受网友们批评指导。
柯普翁
201*.6.23于长治
家庭辅导
初中数学七年级(上)
第一章走进数学世界
知识结构：数学伴我们成长与数学交朋友人类离不开数学人人都能学会数学走进数学世界跟我学让我们来做数学试试看
应知：
数学和语文一样是知识的基础，人人离不开数学，也能够学会数学，而且数学是有趣的、美丽的，应该对数学产生深厚的兴趣，并主动用数学去解决一些实际问题，还要从中寻找规律，提高运算能力。
应会
1.分析问题，寻找规律。2.整理知识，综合运用。
例题：
1.如何使下列四个数通过四则运算得24？①1，5，5，5；②1，3，4，6
观察与分析：①5？=24，24245454411444，，由5可得到得到由5得到44555555②要得24可能有两条路：⑴46，但1，3，4无法形成4。答案：[5-（15）]5＝246(1－34)＝2413311⑵6，由11可得到得到由得到44444答案：①(5－15)5＝24②6(1－34)＝242.找规律
552588641212144462479631113143
从上3式看出什么规律？已知2525＝625，请计算：2426＝？如果aa＝m那么(a+1)(a-1)=?观察与分析：实际上这就是公式(a+b)(a-b)=a2-b2的实际应用。由此可以推知：已知2525＝625，那么2327＝621，2129＝609，……(a+1)(a-1)=m－13.只允许添两个“一”、一个“十”和一个括号，不改变数字顺序，把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字连成结果为100的算式：
123456789=100观察与分析：结果要得100，第一个数可以大于100或小于100，即为123或12，如果是12，要加的数就必须是345，显然其余的数减两次无法满足题设条件，所以答案是：123－（45＋67－89）＝1004.幻方解法
三阶：中间数填在中间，与它等差的两个数分别填在对角(偶数)或对边(奇数)。南宋数学家杨辉曾用“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的方法完成填充。四阶：先把1～16十六个数字顺序排4行，然后把对角线上的数字对称调换。
第二章有理数
知识结构：有理数比较大小相反意义的量正数相反数绝对值零有理数数轴有理数的运算负数法则运算律加减法乘除法乘方交换律结合律分配律
应知：
一、基本概念
自然数：零和正整数称为自然数。注意
①0不是正整数，也不是负整数，但它是整数。0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．
②自然数又可分为奇数(2n-1)和偶数(2n)；0是偶数。质数(又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。)与合数(比1大但不是素数的整数)。零(0)和1既非质数也非合数。
正数和负数：用来表示具有相反意义的量的一对数。一般说，大于0的数称为正数，小于0的数称为负数。但在表示具有相反意义的量时，负数只是正数加上“-”号，不表示小于0。
整数：正整数(除0外的自然数)、负整数和0统称为整数。
有理数：整数和分数统称有理数（包括有限小数和无限循环小数）。
注意常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。如：0.0100100010001000010000010000001……将来会学到，这叫无理数，属实数范围。
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。划线部分称为数轴三要素。相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
数的绝对值：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离。一个正数
的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
注意
①绝对值的代数定义用数学符号语言表达：如果a＞0，那么a=a；如果a＜0，那么
a=-a；如果a=0，那么
a=0。实数绝对值的形式定义是：aR，
a,a0aa,a＜0
②“||”有两重作用，即绝对值和括号。
③-(-5)读作-5的相反数，-|-5|读作-5绝对值的相反数。
④若表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于0。如：若x3xy702，则x302(即x30),
xy70.
倒数：两个数乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。
：乘方的结果叫做。an读作a的n次方，或a的n次。式中a叫做底数，n叫做指数。
近似数：与实际数非常接近的数称为近似数。注意
①近似数的精确度。
②近似数一般是用四舍五入的方法得到的，但实际生活中，有时也用估算法或进一法得到。
精确度：近似数与实际数近似的程度叫做精确度。
有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
科学记数法：把一个数写作叫做科学记数法。二、基本法则
1.有理数大小比较法则(注：学了实数后，实数大小的比较与此相同)：
①正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
②两个正数，绝对值大的则大；两个负数，绝对值大的反而小。③在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。④求差比较：设a、b是有理数，ab＞0a＞b, ab0ab, ab＜0a＜ba10n的形式，其中1a10，n是整数，这种记数法
⑤求商比较法：设a、b是两正有理数，
ab＞1a＞b,ab1ab,ab＜1a＜b
⑥绝对值比较法：设a、b是两负有理数，a⑦平方比较法：设a、b是两负有理数，a2bab2
bab
2.有理数运算法则(注：实数运算法则与此同)
①加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位，和不变。用代数式表示：abba
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用代数式表示：(ab)ca(bc)
③乘法交换律：两个有理数相乘，交换乘数的位，积不变。用代数式表示：abba
④乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用代数式表示：(ab)ca(bc)
⑤乘法对加法的分配律：两个数相加再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数相乘,再把两个积相加,得数不变。
用代数式表示：a(bc)abac
⑥有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。注意
①减去一个数，等于加上这个数的相反数。
②除以一个数等于乘以这个数的倒数。零不能作除数。
③正数的任何次都是正数，负数的奇次是负数，负数的偶次是正数。
应会：
1.有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。
注意①运算顺序。②运用各种运算律各公式，寻求简易算法。③去括号时的变号。
2.用代数式表示运算律。
3.在数轴上表示数、比较数的大小、确定数集。4.科学记数法。(注意：有效数字的位数。)5.取近似数。6.使用计算器。
例题
一、填空题
1.在整数集合里的数是，在分数集合里的数是；2.整数和分数合起来叫做．
3.当a＞1时，|a-1|=________；当a＜1时，|a-1|=________。4.若
，则
，.xy5.已知，|x|=5，y=3，则．
6.在有理数范围内定义运算“☆”，其规则为：☆b=，则方程（4☆3）☆x=13
的解为x=。二、选择题
1.在以下说法中，正确的是[]A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，不是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数
2.在算式4-|-3□5|中的□所在位，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最小（A.+B.-C.D.3.
的相反数是（）
A、B、C、D、
三、判断题：
在下列各题中，正确的在括号中打“√”号，不正确的在括号中打“”号：
(1)两个数相加，和一定大于任一个加数．（(2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数．（(3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号．（(4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和．（(5)两数差一定小于被减数．（(6)零减去一个数，仍得这个数．（(7)两个相反数相减得0．（(8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数．（四、解答题
1.a的绝对值是多少？在数轴上如何表示？
2.绝对值小于3的数有哪些?绝对值小于3的整数有哪几个?3.若|a|+|b-1|=0，求a，b4.计算
ab7mm2）））））））））
5.a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，求－cd的值
参考答案
一、1.正整数，零，负整数；正分数，负分数。2.有理数
3.a－1，1－a4.4，－35.2，－86.6二、1.D2.A3.B三、(1)(5)～(8)(2)～(4)√
四、1.
a,a＞0a0,a0a,a＜0a＜0a=00a＞0aa
2.解：绝对值小于3的数是从-3到3中间的所有的有理数(注：学了实数后，则包括无理数)，有无数多个；但绝对值小于3的整数只有五个：-2，-1，0，1，2。3.
解：因为|a|+|b-1|=0，所以a=0，b-1=0，所以a=0，b=1。
4.解：原式=2+1-9+1=-5
5.观察与分析：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，∴a+b=0，cd=1
解：m－cd=0+4－1=3
m观察与分析：若a+b=0，则a，b互为相反数或a，b都是0。因为绝对值是非负数，若|a|+|b-1|=0，则只能|a|=0，|b-1|=0，由绝对值意义得a=0，b-1=0。ab2
第三章整式的加减
知识结构：单项式的次数、系数用字母表示数单项式代数式整式多项式列代数式去(添)括号合并同类项多项式的项、次数求代数式的值升(降)整数的加减排列
应知：
一、基本概念
代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注意等式不是代数式。
代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意
①求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。②求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。③解题格式：例：当a=－3时，求代数式－2a的值。解：当a=－3时，原式=-2－3=6
单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。注意
①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如
413ab2，这种表示就是错误的，应写成133ab2。
②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如5a3b2c是6次单
项式。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。整式：单项式和多项式统称整式。
同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
注意同类项中有两个相同：①字母，②同字母的指数；两个不同：①系数，②系数前面的正负号。
降排列：把多项式按某个字母指数从大到小的顺序排列，叫做多项式按这个字母降幂排列。
升排列：把多项式按某个字母指数从小到大的顺序排列，叫做多项式按这个字母升幂排列。
二、基本法则
1.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2.去(添)括号法则：①括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变正负号。②所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号。
3.整式的加减法：一般步骤是先去括号，再合并同类项。
4.分离系数法：把参加加减运算的各整式按同一字母降排列，然后只把系数取出，每个整式的系数带符号按应有位顺序排成一行，最后进行竖式相加，得出结果后，再把字母和相应的指数补充上去，这种方法叫做分离系数法。
应会
1.列代数式。2.求代数式的值。3.合并同类项。4.升(降)排列。
5.整式的加减(用分离系数法)。
例题
一、选择题
1.按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是()
A．6B．21C．156D．231
2．一批电脑进价为a元，加上20％的利润后优惠8％出售，则售出价为（）A、a(1＋20％)B、a(1＋20％)8％C、a(1＋20％)（1－8％）D、8%a3.一辆汽车在a秒内行驶A．
m3m6米，则它在2分钟内行驶（），请说明理由。
10ma米B．
20ma米C．米D．
120ma米
4.几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（）请说明理由。
A.28B.33C.45D.575.观察下列各式。你会发现什么规律：
3515421；5735621；…11131431221；……
将猜想到的规律用只含一个字母n的代数式表示出来是（）
A.n(nC.n(n2)n21
2B.n(n2)(n1)221
2)(n1)1D.n(n2)(n2)110
6、下列去括号中，正确的是（）
A．a2-（2a-1）=a2-2a-1B．a2+（-2a-3）=a2-2a+3C．3a-[5b-（2c-1）]=3a-5b+2c-1D．-（a+b）+（c-d）=-a-b-c+d7.下列说法正确的是（）
A．字母相同的项是同类项B．只有系数不同的项，才是同类项C．-1与0.1是同类项D．-x2y与xy2是同类项二、填空题
1.下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为___________．
2.当x=2时，多项式ax5
……第n个
第一个
第二个
bx3第三个
cx5的值为
7，则当x=-2时，这个多项式的值为。
3．单项式3x2yn1z是关于x、y、z的五次单项式，则n；
4.观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。观察后，用你所发现的规律写出223的末位数字是。
5.已知│a-1│+(2a-b)2=0,那么3ab15b2-6ab+15a-2b2等于_______．三、解答题
1.在如图所示的201*年１月份日历中，用一个长方形的方框圈出任意33个数．
⑴如果从左下角到右上角的“对角线”上的3个数字的和为48，那么这9个数的和为
，在这9个日期中，最后一天是号；
⑵在这个月的日历中，用方框能否圈出“总和为126”的9个数？如果能，请求出这9个日期分别是几号；如果不能，请推测下个月的日历中，能否用方框圈出，如果能，请推测圈出的9个数中最后一天是星期几？
2.图1是一个半开的铝合金推拉窗示意图，图2是图1的完全关闭状态．
（1）请按图2中所标注的尺寸，用含a、b的代数式表示制作该推拉窗所需铝合金材料的总长度（铝合金材料的宽度都相同，接口用料忽略不计，外框材料另算）；
（2）若a＝32cm，b＝5cm，请求出该窗户的最大透光面积．
星期日6132027星期一星期二18152229星期三29162330星期四310172431adg星期五4111825beh星期六5121926cfi71421285ab图18a图2
3.（1）已知一个多项式与a2－2a+1的和是a2+a－1，求这个多项式。（2）已知A=2x2＋y2+2z,B=x2－y2+z,求2A－B4.（1）已知（a－2）2＋b+1＝0，求5ab2－[2a2b－（4ab2－2a2b）]的值。
（2）有这样一道计算题：“计算（２x3－３x2y－２xy2）－（x3－2xy2＋y3）＋（－x3＋３x2y－y3）的值，其中x=，y=－1”，甲同学把x＝看错成x＝－
221112，但计算结果
仍正确，你说是怎么一回事？
5.化简下列各式并求值:（1）
2312a2-8a-
+6a-
23a2+，其中a=
4112；
14（2）3x2y2+2xy-7x2y2-
32xy+2+4x2y2，其中x=2，y=
．（3）3a2-2（2a2+a）+2（a2-3a），其中a=-2；
6.已知A=4x＋y－2,B=2x－2y＋3，求当x=201*,y=403.2时A－2B的值7．把多项式x5-3x3y2-3y2+3x2-y5写成两个整式的和，使其中一个只含5次项．
参考答案
一、1.D2.C3.B4.B，理由：所圈三个数的和必是3的倍数。
5.B6.C7.C
二、1.3+5n2.-173.44.8
5.-59(提示：从已知条件知：│a-1│=0，(2a-b)2=0.)
三、1.(1)14424
∵a=e-8，b=e-7，c=e-6，d=e-1，f=e+1，g=e+6，h=e+7，i=e+8，∴g+e+c=3e=48e=16a+b+c+d+e+f+g+h+i=9e=169=144，
(2)能，5，7，8，13，14，15，20，21，22；星期二2.(1)36a-6b(2)(8a-3b)(5a-2b)=241150=36150(cm2)3.(1)(a2+a－1)－(a2－2a+1)=3a－2.
(2)2(2x2＋y2+2z)－(x2－y2+z)=3x2+3y2+3z4.(1)从已知条件知：（a－2）2=0，
∴原式=10－[-8－（8-8）]=34
(2)简化：原式＝２x3－３x2y－２xy2－x3+2xy2－y3－x3＋３x2y－y3=-2y3
∴计算结果与x的值无关。
5.(1)原式=-2a-1414b+1=0.由此得：a=2，b=-1
=-1
(2)原式=-
12xy+2=
122
14+2=2
14.
(3)原式=a2－8a=20
6.原式=4x＋y－2－2(2x－2y＋3)=5y-8=5403.2-8=201*
5325)22
7.原式=(x-3xy-y-(3y－3x)
第四章图形的初步认识
14知识结构：视图图形的初步认识立体图形平面展开图角相交线等角的余角相等，等角的补角相等对顶角相等同位角相等，两直线平行平面图形点和线平行线的判定内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两点之间，线段最短平行线两直线平行，同位角相等平行线的性质两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补
应知
一、基本概念
立体图形：各个部分不都在同一平面内的几何图形，叫做立体图形。平面图形：各个部分都在同一平面内的几何图形，叫做平面图形。注意
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。平角：当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。直角：平角的一半叫做直角。锐角：小于直角的角叫做锐角。
钝角：大于直角且小于平角的角叫做钝角。
余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。
补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。
对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
邻补角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。
同位角：我们把两条直线a、b被另一条直线l所截构成的八个角中，处于直线l同一侧，直线a、b同一方的一对角叫做同位角。
内错角：我们把两条直线a、b被另一条直线l所截构成的八个角中，处于直线a、b之间，直线l异侧的一对角叫做内错角。
同旁内角：我们把两条直线a、b被另一条直线l所截构成的八个角中，处于直线a、b之间，直线l同侧的一对角叫做同旁内角。
视图：当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。三视图：从正面看到的图形称为正视图(常作为主视图)；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为侧视图(分左视图、右视图，常用左视图)。表面展开图：立体图形表面展开的形状称为表面展开图。二、基本法则
1.欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2。它揭示了多面体的顶点数、面数、棱数之间的关系。
2.点与线的表示方法：
一个点可以用一个大写字母表示。如：点A，点P……
一条直线可以用一个小写字母表示，也可用两个大写字母表示，如：直线a，直线l……或直线AB，直线MN……
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。如：射线OC，射线OP……一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。如：线段AB，线段EF……垂线的表示方法：垂直用符号“⊥”，如“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”。平行线的表示方法：平行用符号“∥”，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。注意
（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。（2）直线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。（4）点和直线的位关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
（5）同一平面内，两条直线的位关系只有两种：相交或平行。3.直线的性质：
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
4.线段的性质：
（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。5.垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
6.线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。7.平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。
8.平行线公理及其推论：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。9.平行线的判定：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。
（4）平行于同一条直线的两直线平行。（5）垂直于同一条直线的两直线平行。（6）平行线的定义。10.角平分线性质：
（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。11.角的表示：
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
12.角的度量：角的度量有如下规定：
把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’，1’=60”
13.角的性质：
（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。
应会
1.画正方体、长方体、圆柱体、三棱柱体、三棱锥体的三视图、侧面展开图、表面展开图。
2.比较线段的长短、比较角的大小、角的加减运算。3.证明两线段平行。
例题
一、选择题
1.5点20分时，时钟的时针和分针的夹角为（）A．30°B．40°C．45°D．50°2.平面上有三个点，可以确定直线的条数是（）A、1B．2C．3D．1或3
3.如果线段AB=12cm，PA+PB＝14cm，那么下面说法正确的是（）A．P点在AB上B．P点在直线AB上C．P点在直线AB外D．P点可能在直线AB上，也可能在直线AB外
4.如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的根据是（）A等量代换B平行线定义
C经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D平行于同一条直线的两直线平行
5.在同一平面内，下列说法正确的个数有（），是哪几条()（1）过两点有且只有一条直线
（2）两条不相同的直线有且只有一个公共点（3）过两点有且只有一条线段
（4）过一点有且只有一条直线与另一条直线平行A1个B2个C3个D4个
6.将左边的正方体展开能得到的图形是（）
7.小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是（）
8.小明用如下图所示的胶滚沿从左到有的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是（）
9．用一个平面去截一个正方体，截出的截面不可能是()A．三角形B．四边形C．六边形D．七边形二、判断题(正确的画“√”，不正确的画“”)(1).射线AO与射线OA不是同一条射线．（
））(2).平面上有三个点.经过每两个点画直线，一定可以画出三条直线．（(3).连结两点的线段叫做两点之间的距离．（(4).两条射线组成的图形叫做角．（(5).角的大小与角的两边的长短无关．（(6).不相交的两条直线叫做平行线．（
））
）））
(7).平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直．（(8).两个互补的角中必有一个是钝角()(9).一个角的补角一定比这个角大()
(10).两个互余的角都是锐角()
9.互不重合的三条直线的公共点的个数是（），说明理由。A、只可能是0，1或3B、只可能是0，1或2C、只可能是0，2或3D、0，1，2，3都有可能
三、填空题
1．三棱锥的展开图是由个形组成的。2．圆锥的展开图是由一个和一个形组成的图形。3．请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上.
4.下列图形是一些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称。
5.如图所示CD⊥OB于D，EF⊥OA于F，则C到OB的距离是________，E到OA的距离是__________，O到CD的距离是____________O到EF
的距离是_____________.
6.如图中，共有________个三角形，________个平行四边形，_________个梯形。
7.用棋子摆下面一组正方形图案
aACFODEB
……
○1○2○31)依照规律填写表中空格：图形序列每边棋子颗数棋子总颗数1○242○383○……4○……5○………10○2)照这样的规律摆下去，当每边有n颗棋子时，这个图形所需要棋子总颗数是_____________，第100个图形需要的棋子颗数是_____________。
四、解答题1．下面这些图形经过折叠可以围成一个棱柱吗？如不行，请说明理由。
⑴⑵⑶
2.⑴用5块正方体的木块搭出如图所示的图形，画出它的三视图。⑵在上面的实物图中，再添加一个小正方体，使得它的主视图和左视图不变。操作后，画出可能的俯视图。
3.如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位的小立方块的个数。请你画出它的主视图与左视图。
4.如图所示，在正方体能见到的面上写上数1、2、3，而在展开的图中
也已分别写上了两个和一个指定的数。请你在展开图的其它各面上写上适当的数，使得相
对的面上两数的和等于7。321321
5.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；
（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
参考答案
一、1.B2.D3.C4.D5.B6.B7.D
8.A9.
二、⑴⑵⑷⑹⑺⑽，⑶⑸⑻⑼√
三、1.4三角形2.圆矩形3.俯视图正视图左视图4.三棱锥三棱柱四棱锥长方体5.CDEFODOF6.1315157.(1)6112040(2)4(n-1)400四、1.⑵⑶可以，⑴不行，理由：作两底的小方块在一端。2.(1)(2)
3.4.
主视图俯视图左视图俯视图主视图左视图352313264654
5.(1)9个(2)155°
(3)∵∠COE＝90－∠DOC＝90°－25°＝65°
∠BOE＝180°－∠AOD－∠DOE＝180°－25°－90°＝65°∴OE平分∠BOC。
第五章
数据的收集与表示
24知识结构：整理和描述数据提出问题收集数据分析数据回答问题频数频率统计图表
应知
一、基本概念
频数：表示每个对象出现的次数。
频率：表示每个对象出现的次数与总次数的比值或百分比。二、基本法则1.常用统计图
通常用条形统计图、扇形统计图或折线统计图来直观地反映数据揭示的信息。条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别；扇形统计图反映了各部分在总体中所占的百分比的大小，易于显示每组数据相对于总数的大小。折线统计图能反映各段的变化趋势。
条形统计图：就是用坐标的形式和直条的图形来描述统计数据，如下图：左为单式条形图；右为复式条形图。
某产品一季度生产量统计图某两种产品一季度销售量统计图甲产品台504030201*0一月二月三月433062台504030201*0一月二月三月50303743乙产品6251
扇形统计图：用一个圆代表总体，然后将各部分所占的百分比将圆分成若干个部分，再在各部分中标出相应的百分比和名称。如下左图。
折线统计图：是用折线表示数量变化规律的统计图(下右图)。
某农场作物种植统计图小麦43.30%玉米27.25%谷子16.53%绿豆12.92%某电器前三季度销售情况统计表台60504030201*0123456789月份2.通过调查收集数据的步骤：①明确调查的问题；②确定调查对象；③选择调查方法；④展开调查；⑤记录数据；⑥得出结论。
应会
1.通过调查收集数据。2.制作图表以表示数据。3.读懂图表。
4.用计算机制作图表(学会用Excel软件)。
例题
1、宏达百货商店201*年全年营业额如下：第一季度40万元，第二季度35万元，第三季度45万元，第四季度60万元，根据上面的数据，完成下面的折线统计图，并回答问题．
706050(2)这一年平均每个月营业额是多少万元？4030(3)第四季度比第一季度增加百分之几？201*(4)第三季度的营业额比第四季度少百分之几？0
(1)这一年平均每季度营业额是多少万元？下的统计图：
①你能说出王聪一家这次旅游的费用支出情况吗？哪方面的费用支出最高？
第一季度
第二季度第三第四季度季度
2.王聪一家三口随旅游团去九寨沟旅游，王聪把这次旅游的费用支出情况制成了如
②若他们共花费人民币8600元，则在食宿上用去多少元？往返的路费又是多少元？
3.下表是某次对“我喜欢的电视节目”的调查统计表。
（1）请画出反映喜爱某节目的人数的统计图。
（2）请画出反映喜爱某节目人数比例的统计图。
A新闻B体育C动画D娱乐E戏曲合计青少年成年人老年人合计百分比1147557413201*25114531763250010363185957300239224126309102100023.90%22.40%12.60%30.90%10.20%100%参考答案
1.(1)45万元。(2)15万元。宏达百货商店201*年全年营业额统计图(3)50%(4)25%
7060502.(1)王聪一家费用支出情况：路费45%，4030食宿30%，购物25%。路费支出最高。201*(2)食宿用去2580元，路费是3870元。03.以喜爱娱乐节目的人为例：
(1)人数(2)
1801601401201*07480604020青少年成年人老年人成年人19.09%23.95%第一季度
第二季度
第三第四季度季度
176老年人青少年5956.96%七年级(下)
第六章一元一次方程
知识结构：实际问题分析数量关系抽象设元等量关系一元一次方程方程变形解一元一次方程运算一元一次方程的解
应知
一、基本概念
方程：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程解的过程叫做解方程。注意解方程时，要用到等式的性质：
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。二、基本法则
1.列一元一次方程的步骤：
①弄清题意(设未知数)：求什么？用字母表示适当的未知数；
②分析条件(找等量关系)：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；
③组织方程(列方程)：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程。
注意此三步骤适用于列各种方程。2.解一元一次方程的步骤：①去分母。②去括号。
③移项。(根据等式性质推出：a.方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变)。
④合并同类项。⑤化未知项的系数为1。
⑥检验方程的解(一般不需答出，但要养成检验的习惯)。
应会
1.列一元一次方程。2.解一元一次方程。
3.用一元一次方程解答实际问题。注意
1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像
1x2，2x22x1等都
不是一元一次方程.
2.解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.
例题
1.解下列方程：
（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5（3）x2111314x23x3
2.一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？
3.小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了22的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？
4.有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果送还了一条船，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？
5.丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六分之一。又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？
6.某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用相同数量60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
7.学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米／秒的速度跑完了大部分路程，
最后以8米／秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺以前跑了多少时间？
8.甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是50km，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问：
①他俩几小时可以碰到？
②有一只小狗每小时走5km，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？
③如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？
④如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？
9.某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店可降多少元出售此商品。
10.一年定期的存款，年利率为1.98%，到期取款时须扣除利息的20%，作为利息税上缴国库，假如某人存入一年的定期储蓄1000元，到期扣税后可得利息多少元？
11.某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变，该产品每件的成本应降低多少元？
12.一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？
13.浓度为18％的盐水一桶，加入50千克水后，浓度变为15％，求原有盐水多少千克?
参考答案
1.(1)去括号：10x－12+4x－10－35x=15x-9x+18合并同类项：-27x=40x=-11327
(2)去括号：6－9x－18x＋27－9=5合并同类项：-27x=-19x=(3)去括号：
12x1213121927
14x3413x233
合并同类项：
x1312x=-1
2.解：设黑色皮块x个，则白色皮块为5x个。x＋
5x=32，
8x=32
333解得：x=12
答：黑色皮块12个。
3.解：设小明圈出的日子是a，b，c，d，根据日历上日子的排列规律，有：b=a+1，c=a+7，d=a+8
∴a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=4a+16=76解得:a=15，b=16，c=22，d=23答：小明圈出的日子是15，16，22，23。4.解：设该班有x个人，则：xx691
x182解得：x=36
答：该班有36人。
5.解：设丢番图去世时的年龄为x岁，则：111x612172x54
328x9x=84
答：丢番图去世时的年龄为84岁。
6.解：设租用45座客车x辆，则：租用60座客车x-1辆。由题意：45x+15=60(x-1)15x=75x=5如果租用45座客车，需租金2505=1250元。如果租用60座客车，需租金3004=1200元。
答：租用60座客车更合算，租4辆。
7.解：设小刚在冲刺以前跑了x秒，则冲刺用了(65-x)秒
由题意：6x+8(65-x)=400，解得：x=60(秒)答：小刚在冲刺以前跑了1分钟(60秒)。
8.(1)设t小时可以碰到，由题意：3t+2t=50,解得：t=10(小时)答：他们10小时可以碰到。
(2)根据题意，小狗在他们碰到前没有停止行走，∴5t=50(千米)答：小狗走了50千米。
(3)设x小时甲追上乙，则小狗跑了5(x+3)千米。由题意：3x=2(x+3)解得：x=6(小时)，5(x+3)=45(千米)答：小狗跑了45千米。
(4)设小狗x小时后追上甲，则甲走了3(x+5)千米。由题意：5x=3(x+5)解得：x=7.5(小时)，3(x+5)=37.5(千米)
答：小狗追上甲时，甲走了37.5千米。乙追不上甲，因为乙比甲速度慢，甲又先
走5小时。
9.解：设可降x元，由题意：1500-x=1000(1+5%)，解得：x=450
答：可降450元。
10.解：设可得利息为x元，由题意：x(1-20%)=10001.98%1.25x=19.8得：x=15.84
答：可得利息为15.84元。
11.解：设该产品每件的成本应降低x元，由题意：
［510(1-4%)-(400-x)］〃(1+10%）=510-400，解得：x=10.4
答：该产品每件的成本应降低10.4元。12.解问题一：设答对了x道题，由题意：4x-(25-x)=90解得：x=23答：答对了23道题。
解问题二：由题意：4x-(25-x)=83解得：x=21.6答：没有人得83分，因为题数只能是整数。13.解：设原有盐水x千克，由题意：
x〃18%=(x+50)〃15%3x=750解得：x=250答：原有盐水250千克。
第七章二元一次方程组
知识结构：
实际问题二元一次方程二元一次方程组二元一次方程组的解法
应知
一、基本概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
二元一次方程组：两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数
的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、基本法则
二元一次方程组的解法主要运用“消元”思想。主要方法有两种：
代入消元法：将一个未知数用另一个未知数来表示，然后代入方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
注意更多时候同一未知数的系数需经简单变形后，才成为相反数或相等。
应会
1.列二元一次方程式(组)。2.解二元一次方程组。
3.用二元一次方程组解实际问题。
例题
1.下列方程组是不是二元一次方程组。不是的请说明理由。
x3y4(1)2x5y7xy4(2)2x5y72
x3y4(3)2xz7
x3y4(4)2x5y7
2.（1）方程（a＋2）x+(b-1)y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.（2）方程xa1+(a-2)y=2是二元一次方程，试求a的值.3.已知下列三对值：
x＝－6x＝10x＝10y＝－9y＝－6y＝－1（1）
哪几对数值使方程
12x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2）4.若1xy6哪几对数值是方程组22x31y11的解？
xayb是方程2x+y=2的解，求8a+4b-3的值。
5.解下列方程组：
y2x（1）xy12
n2m（2）22m3n12
3x2y21（3）3x4y3
6.已知方程组3xy54x7y1的解也是方程组ax2y43x-by5的解，则
a=_______，b=________,3a+2b=___________。7.当k=______时，方程组2xy78.已知x2y84x3y1（k1）y3kx的解中x与y的值相等。
，则
xyxy=_________.
9.小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站，便随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车
的平均速度是40千米／时，问小张家到火车站有多远？
10.王大伯承包了25亩土地,今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜,用去了44000元,其中种茄子每亩用了1700元,获纯利2400元,种西红柿每亩用了1800元,获纯利2600元,问王大伯一共获纯利多少元?
11.一旅游者从下午2时步行到晚上7时,他先走平路,然后登山,到山顶后又沿原路下山回到出发点,已知他走平路时每小时走4千米,爬山时每小时走3千米,下坡时每小时走6千米,问旅游者一共走了多少路?
12.运输360吨化肥，装载了6节火车皮与15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车皮与10辆汽车，每节火车皮与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
13.“家电下乡”农民得实惠．村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1726.13元钱，那么他购买这台冰箱节省了多少元钱？
参考答案
1.②不是，因为xy是二次项。③不是，因为有三个未知数(三元)。④不是，因为x2是二次项。
1，且a≠2，∴a=-12.(1)∵x和y的系数不能为0，∴a≠-2b≠1。(2)∵a1
3.(1)A、C(2)C4.55.(1)
6.解法：解方程组
3xy5代入方程组解x7y14x2得：y1x4y8(2)
m3n2(3)
x5y3
答案：3，1，11
a3得：
b1ax2y43x-by5177.解法：∵x=y，由①得：x=y=
4x3y1①1k1k：33②解得：k=11kx（k1）y77代入②式8.
159.解：设小张家到火车站路程为s千米，出发时离火车开车时间还有t小时，由题意：
st0.540st0.2580t1解方程组得：s60
答：小张家到火车站路程为60千米。
10.解：设王大伯种茄子x亩，种西红柿y亩，则：一共获纯利(2400x+2600y)元，
x10xy25由题意：解此方程组得：
y151700x1800y44000
2400x+2600y=63000
答：一共获纯利63000元。
11.解：设旅游者下山用时t小时，则上山用时为2t小时，单程平路用时为1.5小时。并设他一共走了s千米。
t2t21.5t7-2由题意：
2(6t41.5t)s
6t5化简：
24ts
5t解得：6s20答：旅游者共走了15千米。
12.解：设每节火车皮平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥。由题意：
6x15y3608x10y440
x50解方程组得：
y4答：每节火车皮平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥。13.解：设冰箱原价为x元，小郑节省了y元。由题意：
x2099解方程组得：
y372.87x-y1726.13y-0.13x100答：小郑节省了372.87元。
第八章一元一次不等式
知识结构：分析，抽象实际问题(不等关系)不等式(组)不等式的性质二元一次不等式(组)人人都能学会数学解释
检验
应知
一、基本概念
不等式：用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。
注意“不大于”和“不小于”的说法，“不大于”相当于“≤”；“不小于”相当于“≥”。
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。不等式的解集：一个不等式的所有解的集合。
一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。一元一次不等式组的解：不等式组中几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。
注意当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
二、基本法则1.不等式的性质：
（1）若ab，则ba，称为反身性。（2）若ab，bc，则ac，称为传递性。
（3）若ab0，则ab，反之亦然。
（4）若ab0，则ab，反之亦然。（5）若ab0，则ab，反之亦然。
（6）若ab，那么对任意实数c，都有a。即教材性质1：不等式两边都加cbc上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
（7）若ab，c0，则acbc。即教材性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（8）若ab，c0，则acbc。即教材性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（9）若ab0，则anbn（n为正整数）。
（10）若a，则ab0，cd0cbd。2.解一元一次不等式(组)的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1.（6）解不等式组：求不等式组中各不等式的解的公共部分。注意
①不等式的变形与方程的变形类似，但不同。根据其性质3，当不等式两边都乘以（或同除）同一个负数时，不等号要改变方向。另外，还要关注不等式中未知数的取值范围。
②不等式中所含非未知数的字母称为参数，解含字母系数的一次不等式要对参数进行讨论；含有参数的任何一个一元一次不等式总可以化为标准式axb（或axb），对形如axb（或axb）的不等式：
当a0时，解为x当a0时，解为xbabababa（或x（或x））
当a0，b0时，不等式的解为全体实数（或无解）当a0，b0时，不等式无解（或解为全体实数）
③若不等式axb（或axb）的解为xt（或xt），则xt是其对应方程axb的根（且a0）。
④含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。
3.在数轴上表示不等式的解集：步骤是画数轴,定界点,走方向。注意
①实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点
②大于向右走,小于向左走.
4.不等式组的解集：有四种情况(数轴上表示如右图)，若a＞b①当
xa②当xbxaxbxaxbxaxb时,则不等式的公共解集为x>a;①b0a时,不等式的公共解集为b
xy2mxy66.已知方程组，若方程组有非负整数解，求正整数m的值。
7.x3(x2)≥4，不等式组12x的解集是
x1.3
8.解不等式组9.如果
0≤x13x14,2xx2.，并把它的解集表示在数轴上．
不等式组
bxxa≥222xb3的解集是
，那么a的值为．的不等式组xa≥0，52x110.已知关于是．
只有四个整数解，则实数a的取值范围
11.若不等式组xmx2有解，则m的取值范围是.若无解，则m的
取值范围是.
参考答案
从数轴上可以看出，A对应的数a=1.观察与分析
9992.观察与分析999911999999056，B对应的数b=16，C对应的数c=1。∴1ab536，1ba32，1c1。答案：
1ba＞1c＞1ab
119990
答案：A=B3.
观察与分析原不等式的解为x40
m3，其正整数解为1，2，3，
答案：3≤m≤9
24904.解：∵x＜0，∴原式就变为：xx1
8axa1992即
88a1992＞0解得：a＞1992
4b3a44b3a＜42ab＜9a＜8b＞75.解：由题意：2ab＜∴9
解得：
不等式的解为：x=a4bx2a3b08x1m解原方程组：6-2m
y1m2a3ba4b
2a3b＜5∴a4b＜20解得：x＞
416.
801m由题意：62m
01m解得：3
m12其正整数解为m=1.7.x≤18.解：9.
答案：a+b=110.
xaxa观察与分析由题意：x＜2x＜2x42a由题意：观察与分析1x＜(3b)242a01(3b)122x＞13x＜2123＜x＜2
-3-2-10113232a2b14个整数解为：-2，-1，0，1，∴2＞a≥-2答案：2＞a≥-2
11.m＜2m≥2
第九章多边形
知识结构：瓷砖的铺设三角形多边形三角形的三边关系三角形的内角和三角形的外角性质三角形的外角和多边形的内角和多边形的外角和用正多边形铺满地面
应知
一、基本概念
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫三角形的内角。
三角形外角：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角。三角形的高：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高，简称三角形的高。
〖定理：三角形的三条高所在直线交于一点(称为三角形的垂心)。〗
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。〖定理：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部(称为三角形的重心)。〗三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
〖定理：三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部(称为三角形的内心)。〗
注意三角形的高、中线、角平分线都是线段。不是一般的从顶点向对边所在直线作的垂线(直线)、连接顶点和对边中点的直线或一个角的平分线(射线)。
三角形的稳定性：如果三角形的三条边固定，则三角形的形状和大小完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
多边形：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
正多边形：各边都相等，且各种角都相等的多边形叫正多边形。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。二、基本法则1.三角形的分类：
直角三角形①按角分：锐角三角形钝角三角形三角形有一个内角等于三角形的三个内角都小三角形有一个内角大于90于9090
不等边三角形三角形的三条边都不相等底边与腰不相等②按边分：等腰三角形三角形的两条腰相等，等边三角形三角形的三条边都相等2.三角形的三边关系定理及推论：定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。注意三角形三边关系定理与推论的用途：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。3.三角形的内角和定理及推论：定理：三角形三个内角和等于180°。推论：(②③是外角的性质)①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注意在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。4.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°。5.三角形的三条高的特性：
锐角三角形43直角三角形钝角三角形
高在三角形内部的数量高之间是否相交高所在的直线是否相交三条高所在直线的交点的位6
6.三角形的面积
三角形的面积=底高
213相交相交三角形内部1相交相交直角顶点1不相交相交三角形外部7.多边形的内角和公式及外角和
①多边形的内角和等于（n-2）180°(n≥3)。②多边形的外角和等于360°。三、其它应知
1.三角形的稳定性在实际生活中的应用：
(1)窗框在未安装好之前斜钉一根木条,分成两个三角形.(2)钢架桥的钢架做成三角形(3)起重机的力臂做成三角形(4)房顶钢架做成三角形
2.四边形不稳定性在实际生活中的应用：
(1)活动挂架(2)缩放尺
3.平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
(1)平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
(2)平面镶嵌的条件：边长要相等；有公共顶点；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
注意
①用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360°，这种正多边形就能作平面镶嵌。只有正三角形(等边三角形)、正方形和正六边形三种可以。
②用两种或三种正多边形镶嵌，必备条件是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°。
③用一种任意的凸多边形镶嵌，只有三角形和四边形两种可以。
应会
1.判断三条线段能否组成三角形(看较短的两条之和是否大于最长的一条，或看最长的
一条与最短的一条之差是否小于另一条)。
2.计算多边形(包括三角形)的内角和与外角和。3.用多边形铺地面。
例题
1.一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少?2.三角形的最长边为10,另两边的长分别为x和4,周长为c,求x和c的取值范围.3.如图,
三角形.
5.如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后,得到一个四边形，则
1+2=______度。
BCDABC中,AB=AC.周长为16cm.AC边上的中线BD将ABC分成周长之差为
A2cm的两个三角形.求ABC的各边长.
4.已知三角形的三个内角比为1:2:6,则这个三角形的最大角是度,这个三角形是
6.如图：四边形ABCD中，、分别是B、D的外角，且，那么。AC205
7.某多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形是（）
A、五边形B、六边形C、七边形
D、八边形
αBA12DβC
8.边长相等的正方形、正五边形、正十边形三种地板砖能否铺满室内地板？说明理由。9.小张买了正方形和正六边形两种地板砖，但无法铺满卫生间地板，请你告诉他该怎样解决这个问题。
参考答案
1.解：设第三边长为
x＜29x，则x＞927＜x＜11∴x=9三角形的周长为：20
2.解:已知三角形的两边长为10和4.那么第三边长的范围应满足：
104＜x＜104,即6＜x＜14∵10是最长边∴6＜x≤10
∴周长c的范围应满足10+4+6＜c≤10+10+4，即：20＜c≤243.
2ABBC16由题意：11
(ABACBD)-(BCACBD)222
当AB＞BC
2ABBC16时，
ABBC2解得：AB=6BC=4AC=6
2ABBC16当AB＜BC时，
BCAB221解得：AB=4BC=6AC=5与
33AB=AC的条件不符。
∴三角形的三边为AB=AC=6，BC=44.120°钝角三角形5.220°6.205°7.B(六边形)
8.不能。因为正方形内角为90°，正五边形内角=角=
10210180052518001080，正十边形的内
1440，三种地板砖无法满足内角和360°的条件。
62618009.∵正方形内角为90°，正六边形内角=
1200，用两块正方形、一块正
六边形，其内角和=90°2＋120°＝300°,360°－300°＝60°，∴再买一种正三角形地板砖即可解决这一问题。
第十章轴对称
知识结构：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等角平分线上的点到角的两边距离相等生活中的轴对称轴对称图形等腰三角形等边三角形等边对等角等角对等边两个图形关于直线对称轴对称的有关性质
应知
一、基本概念
轴对称：把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。两个图形中的对应点叫对称点。(对应点就是两个图形重合时，互相重合的两个点。)
轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。注意如果一个图形是轴对称图形，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称三线合一。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。二、基本法则
1.轴对称图形的特点：
①它的对应线段相等，对应角相等。
②连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
2.垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。3.角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。4.等腰三角形的性质：
①两底角相等(等边对等角)。
②顶角的平分线、底边的中线、底边的高重合(三线合一)。③它是轴对称图形，三线所在的直线是它的对称轴。④两腰上的高、中线相等。两底角的平分线相等。⑤等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。⑥等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边。(⑤⑥两条随后在第章中学到)
5.等腰三角形的判定：三角形有两个角相等即是等腰三角形(等角对等边)。6.等边三角形的性质：
①三个内角都相等，且都等于60°。②每条边上的高、中线和对角的平分线重合。
③它是轴对称图形，各边上高所在的直线是其对称轴，共有三条。
应会
1.会画轴对称图形或它们的对称轴。2.会判定等腰三角形。3.会用对称的观点解题。
4.会用等腰三角形和等边三角形的性质解题。
例题
1.将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是()
ABC48
D
2.试证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3.如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数.
4.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形。
BCA
5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AE=AF，AD是高，试判断EF与BC的位关系，并说明理由。
6.已知等腰三角形的两边a，b，满足
2a3b5+(2a+3b-13)2=0，求等腰三角形的周长。
7.如图14－120所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF=FC，为什么？
8.如图14－119所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间.
参考答案
1.B
2.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如右上图所示.求证：BC=
12AB.
证明：作出△ABC关于AC对称的△AB′C.如右下图所示。∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.∴AB=BB′=AB′
又∵△AB′C与△ABC为对称图形，B′C与BC是对应边∴BC=B′C=3.
解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.
设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，∴α=
180718071212BB′=AB.
观察与分析图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决。，∴∠A=
1807.
∴∠A的度数为4.
.观察与分析欲证△ABC是直角三角形，只需证明∠BCA=90°即可。证明：取AB的中点D，连接CD.如右图所示。∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°.
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