高中数学必修5知识总结

高中数学必修5知识总结

第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，则有ab为C的sinsincsinC2R（R外接圆的半径）正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，

c2RsinC；②

sina，

，

c；③

2Rsinb2RsinC2Ra:b:csin:sin:sinC；④

abcabc．sinsinsinCsinsin

sinC2、三角形面积公式：S1C2bcsin12absinC12acsin．3、余弦定理：在

C中，有a2b2c22bccos，

b2a2c22accos，c2a2b22abcosC．

4、余弦定理的推论：cosb2c2a2，a2c2b2，2bccos2accosCa2b2c2．

2ab5、射影定理：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA

6、

C中①若a2b2c2，则C90；②若a2b2c2，

则C90；③若a2b2c2，则C90．

第二章数列

1．（1）数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，，n｝）的特殊函数，如果数列an的第n项an与n之间

的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

（2）数列的前n项和性质：a=,(n1)s1n

snsn1,(n2)2．等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：①定义法：an1and(常数)an为等差数

列。②中项法：2an1anan2an为等差数列。③通项公式法：

anknb（k,b

为常数）an为等差数列。④前n

项和公式法：

s2nAnBn（A,B为常数）an为等差数列。

（2）等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。（3）等差数列的前n和：Snn(a1an)n(n2，S1)nna12d。（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，

且Aab

2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、

d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。5个元素中知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，

a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；偶数个数成等差，可

设为，a3d,ad,ad,a3d,（公差为2d）

3．等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：①定义法an1q(q为常数），其中q0,an0an②中项法：

an1ana(n2)③通项公式法：anncq；④前n项和公nan1式法：snAAqn(A0,q0且q1)。

（2）等比数列的通项：a1mna1qn或anamqn。

（3）等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，

Sa1(1qn)n1qa1anq1q。特别提醒：求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，当不能判断公比q是否为1时，要讨论

（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。

A=ab提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项.4．等差数列的性质：（1）当公差d0时，ana1(n1)ddna1d是关于n的一次

函数；前n和Sn(n1)nna12dd2n2(ad12)n是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数

列，若公差d0，则为常数列。

（3）当

mnpq时,则有amanapaq，特别地，当

mn2p时，则有aman2ap.

（4）若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{a*pnq}(p,qN)、Sn,S2nSn,S3nS2n也成等

差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an0，则

{lgan}是等差数列.

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇nd；项数为

奇数2n1时，S奇S偶a中，S2n1(2n1)a中（这里a中即an）,

S奇Sn。偶n1（6）若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则amS2m1

bmT2m1（7）已知an成等差数列，求

sn的最值问题：法一:若a10,d0且满足asn0,,则n10n最大；若a1asn最小.法二：二次an10函数法，但要注意数列的特殊性nN*。

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.

5．等比数列的性质：

（1）mnpq时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，

则有a2m.anap.

(2)若{an}是等比数列，则{|an|}、{apnq}(p,qN*)、{kan}成等比数列；若{a}、{ann}、{bn}成等比数列，则{anbnb}成等比数列；若{an}n是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2nSn,S3nS2n，也是等比数列，公比为qn.。当q1，且n为偶数时，数列Sn,S2nSn,S3nS2n，

是常数数列0，不是等比数列.

(3)若a10,q1或a10,0q1,，则{an}为递增数列；若a10,q1或

a10,0q1,则{an}为递减数列；若，若q0，则{an}为摆动数列；

若q1，则{an}为常数列.

(4)当

q1时，Sa1nqna11qaqnb，这里ab0，但

1qa0,b0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，

判断数列{an}是否为等比数列。(5)SmnSmqmSnSnqnSm

(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数

2n1时，S奇a1qS偶.

(7)数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列。6.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。⑵作差法：已知Sn求an，用aSS1,(nS1)n,(n。

nn12)⑶作商法：已知a1a2anf(n)求an，用

f(1),(anf(n)n1)。f(n1),(n2)⑷累加法：若an1anf(n)求an用an(anan1)(an1an2)(a2a1)⑸累乘法：已知an1f(n)求an，用aanan1a2(n2)。

annaa1n1an2a1⑹构造法（1）形如annkan1b、ankan1b（k,b为常数）的递

推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。（2）形

如aan1nka的递推数列都可以用倒数法求通项。

n1b注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成

立的条件了吗？（n2，当n1时，a1S1）；（2）一般地当已知条件中

含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：123n12n(n1)，

1222n21n(n1)(2n1)，132333n3[n(n1)262].

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：Sn1357(1)n(2n1)

（3）倒序相加法：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，采用此法。

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

n(n11)1nn11；②1n(nk)1k(1n1nk)；

③

1k21111k212(k1k1)，1111111(k1)kk(k1)kk11；

kk2k④1(2n1)(2n1)12(12n112n1)

⑤111n(n1)(n2)2[n(n1)1(n1)(n2)]；

⑥

11nknk(nkn)；第三章不等式

1、实数大小比较：

ab0ab；ab0ab；

ab0ab．

2、不等式的性质：①反对称性abba；②传递性ab,bcac；③可加性abacbc；④可乘性ab,c0acbc，

ab,c0acbc；⑤同向可加性ab,cdacbd；⑥同向可

乘性

a0b,cd0；a⑦cb可d乘

方

ab0anbnn,n1；

⑧可开方

ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：5、设a、b是两个正数，则

ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．6、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即ab2ab．7、常用的基本不等式：①

a2b22aba,bR；②

aba2b222a,bR；③

ababa0,b；④

20a2b2a22b2a,bR．8、极值定理：设x、y都为正数，则有

⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值

s24．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．

数列基础知识点训练

1、数列的概念：

（1）已知annn2156(nN*)，则在数列{an}的最大项为（答：125）（2）数列{an}的通项为aann，其中a,b均为正数，则bn1an与an1的大

小关系为（答：anan1）

；（3）已知数列{an}中，ann2n，且{an}是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；

2.等差数列的有关概念：（1）等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an（答：2n10）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的范围是_____（答：83d3）

（3）数列{an}中，anan11(n2,nN*)，152an3，前n项和2Sn2，则a1＝＿，n＝＿（答：a13，n10）；

（4）已知数列{an}的前n项和Sn12nn2，求数列{|an|}的前n项和

T2n（答：T12nn(n6,nN*)n）.n212n72(n6,nN*)

3.等差数列的性质：（1）等差数列{an}，Sn18,anan1an23,S31，n＝_（答：27）

；（2）在等差数列

an中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则（答：B）A、S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、

S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，

S6,S7都大于0

D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0

（3）等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：

225）

（4）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；

（5）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数

列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

SnT3n1，那么an_________（答：6n2）n4n3bn8n7（7）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并

求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（8）若{an}是等差数列，首项a10,a201*a201*0，a201*a201*0，

则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）

4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：

①一个等比数列{an}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，

则a（答：5n1为____6）；

②数列{an}中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求证：

数列｛bn｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：

设等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，

求n和公比q.（答：n6，q1或2）

2

（3）等比数列的前n和：

①等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99（答：44）

；

（4）等比中项：①已知两个正数a,b(ab)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小

关系为______（答：A＞B）

②有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或

0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为，aa2q2,q,a,aq,aq（公比

为q）；但偶数个数成等比时，不能设为

aq3,aq,aq,aq3，，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，

则a10=___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列

{an}中，若a5a69，则

lo3ga1lo3ag2lao3g10（答：10）。（3）已知a0且a1，设

数列

{xn}满

足

loaxg1n1xal(nonNg*，且x1x2x11000，0则x101x102x200（答：

100a100）；

（4）在等比数列

{an}中，

Sn为其前n项和，若

S3013S10,S10S30140，则S20的值为______（答：40）

（5）若{an}是等比数列，且Sn3nr，则r＝（答：－1）

（6）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则q的值为_____（答：－2）（7）设数列

an的前n项和为Sn（nN），关于数列an有下列三个命

题：①若anan1(nN)，则an既是等差数列又是等比数列；

②若Snan2bna、bR，则an是等差数列；

③若Sn11n，则an是等比数列。

这些命题中，真命题的序号是（答：②③）6.数列的通项的求法：

（1）已知数列314,518,7116,9132,试写出其一个通项公式：__________（答：an11n22n1）（2）已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1，求an②计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如

（答：

an

3,n1）；

2n,n2111a12a2nan2n5，求an（答：222(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是

1231220211201*，那么将二进制(11111)2转换成十进

201*个1制数是_______（答：2（2）分组求和法：

201*1）

Sn1357(1)n(2n1)（答：

（3）数列{an}满足

(1)nn）

an

14,n1）

2n1,n2（4）数列{an}中，a11,对所有的n2都有a1a2a3ann2，则

61）16a3a5______（答：

（5）已知数列{an}满足a11，anan11n1n(n2)，则

an=________（答：ann121）

（6）已知数列{an}中，a12，前n项和Sn，若Snn2an，求an（答：

an

4）

n(n1)；1,an3an12，求an（答：an23n11）；3n12n1）1,an3an12n，求an（答：an5（7）已知a1

（8）已知a1

（9）已知a1

1,an1an1，求an（答：an）；

3n23an11an求an（答：an1ananan1，1n2）

（10）已知数列满足a1=1，

（11）数列

{an}满足）

an5a14,SnSn1an3，1求

an（答：

4,n1n134n,27.数列求和的常用方法：

（1）公式法：

①等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2－１，则a1ｎ

2222a2a3an4n1＝_____（答：）；

扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)

必修5知识点总结

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

asinbsincsinC2R．

2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；

csinCabcsinsinsinCsin．

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq．22、等差数列的前n项和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③

sna1a2an

23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn*，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．

S奇S偶nn1②若项数为2n1n*，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）．

（其中S奇nan，

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an1anq（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上

的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，

22则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

2n126、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q．

27、通项公式的变形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比

数列，且2npq（n、p、q*），则anapaq．

na1q129、等比数列an的前n项和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和Sndddd22AnBnna1n→

222可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若

为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

d2n2一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.

对应函数（时为一次函数）（指数型函数）对应函数（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为

中，，则.

是等差数列，所以是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，

所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列

中，

，前n项和为

，若

，n为何值时

最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，

是抛物线=上的离散点，根据题意，，

则因为欲求最大。

最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，

例题：3递增数列，对任意正整数n，

递增得到：

恒成立，设

恒成立，求

恒成立，即，则只需求出。

，因为是递的最大值即

分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然

有最大值

对一切

对于一切

，所以看成函数

的取值范围是：

构造二次函数，，它的定义域是

增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧

在

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前

n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证

2an1anan2(an1anan2)nN都成立。

2am03.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d把①式两边同乘2后得

2sn=122232n2234n1②

用①-②，即：

123nsn=122232n2①

2sn=122232n2234n1②

得

sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1

22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=

n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n1n1

1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nd0acabdb0a⑥；⑦

⑧ab0

nnbn,n1；

anbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零点分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“

由图可看出不等式x23x26x80的解集为：

x|2x1,或x4

(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

例题：求解不等式

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数yax22

000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)（a0）的图象一元二次方程ax2有两相等实根x1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或

f(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）

1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

f(x)例题：求解不等式：解：略例题：求不等式

xx11

1的解集。

3.含绝对值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集为：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函数图像法：

令f(x)|x2||x3|

2x1(x3)则有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax2+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若两根都大于0，即0,0，则有0

0o对称轴x=b2ax

0b0②若两根都小于0，即0,0，则有2af(0)0y

11

对称轴x=b2aox

③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0

④若两根在两实数m,n之间，即mn，

0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，

yf(m)0则有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

例如：若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根，求m的取值范围。

4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。

55220m(1)4(m1)02解：因为有两个不同的根，所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：

①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线

xyC0下方的区域．

②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线

xyC0上方的区域．

（二）由A的符号来确定：

先把x的系数A化为正后，看不等号方向：

①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．41、设a、b是两个正数，则

ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．

ab2ab．

42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③

abab2a0,b0；

2④

ab222ab2a,bR．

44、极值定理：设x、y都为正数，则有：

⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值

s42．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2例题：已知x解：∵x5454p．

14x5，求函数f(x)4x2的最大值。

，∴4x50

由原式可以化为：

f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132

当54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）时取到“=”号

也就是说当x1时有f(x)max2

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